Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweise, dass für alle k, k>0 gilt: m*k < n*k => m<n für alle m,n [mm] \in \IN [/mm]
Das ganze soll mit vollständiger Induktion nach m geschehen. |
Also, Induktionsanfang und Voraussetzung sind klar.
Mein Problem ist die Umformung beim Induktionsschritt, wenn ich m+1 hab.
Wär das ganze EINE Gleichung, wär es kein großes Problem. Aber dadurch, dass ich bei (m+1)*k<n*k darauf kommen soll, dass m+1<n folgt und die zusätzliche 1 nur auf einer Seite der Ungleichung dazukommt, bleibt die ja irgendwie immer erhalten auf meinem Weg, das ganze Richtung Induktionsvoraussetzung umzuformen.
Es ist irgendwie meiner Meinung nach auch ungünstig die Induktion nach m zu machen. Nach k wär es einfacher, denn dann könnt ich die +1 als Nachfolger deklarieren und auf Grund der Injektivität sagen, es gilt genauso für den Vorgänger, aber das ist leider nicht die Aufgabe und ich weiß einfach nicht, wie ich das übertragen kann oder was sonst geht
Hoffe, mir kann jemand helfen. Dank euch schonmal.
mfG
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=430719
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 So 24.10.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweise, dass für alle k, k>0 gilt: m*k < n*k => m<n für
> alle m,n [mm]\in \IN[/mm]
> Das ganze soll mit vollständiger Induktion nach m
> geschehen.
> Also, Induktionsanfang und Voraussetzung sind klar.
> Mein Problem ist die Umformung beim Induktionsschritt,
> wenn ich m+1 hab.
>
> Wär das ganze EINE Gleichung, wär es kein großes
> Problem. Aber dadurch, dass ich bei (m+1)*k<n*k darauf
> kommen soll, dass m+1<n folgt und die zusätzliche 1 nur
> auf einer Seite der Ungleichung dazukommt, bleibt die ja
> irgendwie immer erhalten auf meinem Weg, das ganze Richtung
> Induktionsvoraussetzung umzuformen.
>
> Es ist irgendwie meiner Meinung nach auch ungünstig die
> Induktion nach m zu machen. Nach k wär es einfacher, denn
> dann könnt ich die +1 als Nachfolger deklarieren und auf
> Grund der Injektivität sagen, es gilt genauso für den
> Vorgänger, aber das ist leider nicht die Aufgabe und ich
> weiß einfach nicht, wie ich das übertragen kann oder was
> sonst geht
Hallo,
das Verfahren der vollständigen Induktion funktioniert nur auf die Menge der natürlichen Zahlen. Für k müssen wir mangels aufgeschriebener Voraussetzung annehmen, dass k [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Das mit der VOLLSTÄNDIGEN Induktion ist hier so eine Sache.
Da wir nur für m<n eine Aussage beweisen sollen, läuft m also nur von 1 bis (n-1) und nicht, wie sonst üblich, bis Unendlich.
Der Beweis müsste also beginnen mit "Sei n eine beliebige feste Zahl mit n [mm] \in \IN".
[/mm]
Zu zeigen ist dann
Wenn aus m*k < n*k auch m<n folgt,
dann folgt aus
(m+1)*k < n*k auch m+1<n.
Da es offensichtlich nicht erlaubt ist, eine beidseitige Division durch k vorzunehmen, sollte man vielleicht durch Subtraktion einer Seite einen der beiden Terme zu 0 machen.
Gruß Abakus
> Hoffe, mir kann jemand helfen. Dank euch schonmal.
> mfG
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> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten
> gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=430719
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Ja, also danke schonmal. Zu dem k: das ist angegeben als k [mm] \in \IN \setminus [/mm] 0. Sorry, das hatte ich vergessen, aber das macht ja auch kein großen Unterschied.
Das Problem ist, ich kann auch nicht einfach so irgendwelche Äquivalenzumformungen machen. Wir haben an der Uni grade angefangen mit Analysis, haben da die natürlichen Zahlen definiert und gerade mal so bewiesen, dass wir die addieren und subtrahieren dürfen und definiert, was das überhaupt ist^^
Jedenfalls muss da jede Umformung quasi absolut trivial sein. Der Prof hat das in der Vorlesung bei den Induktionen hingekriegt, indem er gesagt hat, wenn da +1 steht ist das der Nachfolger und hat dann solange in den Summen das umgeformt, dass er hatte Nachfolger(...)=Nachfolger(...).
Dann sagte er, die Abbildung sei injektiv und daraus folge (...)=(...) und das ist die Ind.-Voraussetzung.
Ich könnt ja aus der Ungleichung auch eine Gleichung machen, indem ich einfach sage n=m+a, aber auch dann weiß ich noch nicht weiter, weil die +1 nur auf einer Seite der Gleichung stehen.
Puhh, ganz schöner Roman, aber ich hoffe echt, mir kann jemand helfen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:11 So 24.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst über k die Induktion machen:
1. k=1
m*1<n*1 => m<n ist richtig
2. Ind. Vors:
aus m*k<n*k) => m<n
3. Ind. Beh aus m*(k+1)<n(k+1) =>m<n
mit Hilfe von 2. zeigen
dabei "Gesetze" die ihr über Ungl schon gezeigt habt benutzen.
du musst nicht über n oder m ne Induktion machen,
Gruss leduart
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Hmm, okay, danke.
Die Geschichte ist, die Aufgabe heißt: Beweise, dass...(für die angegebene Implikation die Äquivalenz gilt)
Und dann steht drunter: Hinweise: Für die (von mir) genannte Implikation benutzen Sie die vollständige Induktion nach m.
Ist nun die Frage, ob ich das machen MUSS. Wenn, dann ist es echt hässlich.^^
Falls zu der Variante nach m jemand noch einen Tipp hat, der mir die Erleuchtung bringt, wär das echt genial.
thx,...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 So 24.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Variante mit m scheint mir sinnlos; ob man m+1=r und kr<kn folgt r<n folgert oder es direkt für m folgert ist doch dasselbe. also ist in dem Hinweis einfach ein Druckfehler.
mach die Induktion über k für beliebiges m,n aus N
Gruss leduart
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