Induktionsbeweis 2er Summen < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Di 28.04.2015 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion für n [mm] \in \IN: [/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{2n}(-1)^{i+1}\bruch{1}{i}= \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n+i} [/mm] |
Hallo,
komme bei der Aufgabe im Induktionsschritt leider überhaupt nicht weiter.
IA und IV sind soweit klar. Nun will ich im IS zeigen, dass [mm] \summe_{i=1}^{2n+2}(-1)^{i+1}\bruch{1}{i}= \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{n+1+i} [/mm] ist.
Also: [mm] \summe_{i=1}^{2n+2}(-1)^{i+1}\bruch{1}{i}= \summe_{i=1}^{2n}(-1)^{i+1}\bruch{1}{i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n+2} [/mm] = (nach IV)
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n+i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2n+2}, [/mm] doch ab hier hänge ich und hab keine Ahnung, wie ich von hier zu [mm] ...=\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{n+1+i} [/mm] gelangen soll?
Wäre für jeden Rat dankbar.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Di 28.04.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo ms2008,
zum Induktionsschritt:
[mm]\summe_{i=1}^{2n+2}(-1)^{i+1}\bruch{1}{i}= \summe_{i=1}^{2n}(-1)^{i+1}\bruch{1}{i}+\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{2n+2}=\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n+i}+\bruch{1}{2n+1}-\bruch{1}{2n+2}[/mm] [mm]=\summe_{j=0}^{n-1}\frac{1}{n+1+j}+\bruch{1}{n+1+n}-\bruch{1}{2n+2}=\summe_{j=1}^n\frac{1}{n+j+1}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2n+2}[/mm] [mm] = \summe_{j=1}^n\frac{1}{n+j+1}+\frac{2n+2-n-1}{(n+1)(2n+2)}=\summe_{j=1}^n\frac{1}{n+j+1}+\frac{n+1}{(n+1)(2n+2)}=\summe_{j=1}^n\frac{1}{n+j+1}+\frac{1}{2n+2}[/mm]
[mm] $=\summe_{j=1}^{n+1}\frac{1}{n+1+j}$
[/mm]
Tipp: Ich finde den Weg "andersherum" sehr viel einfacher.
MfG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Di 28.04.2015 | | Autor: | ms2008de |
Thx,
irgendwie dacht ich mir, dass da ne Indexverschiebung kommt, stand aber aufm Schlauch, wie ich diese ausführen soll...
Viele Grüße
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