Induktionsbeweis Fibonacci < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 Di 09.12.2008 | | Autor: | Gakje |
| Aufgabe | Die Fibonacci Zahlen seien definiert durch
[mm] f_1= f_2=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2} [/mm] (n≥3)
Man zeige durch vollständige Induktion, dass für alle n≥1 gilt
[mm] \summe_{i=1}^{n}f_{2i-1} [/mm] = [mm] f_{2n} [/mm] |
Also der Induktionsanfang ist ja leicht, wenn man für n 1 einsetzt, aber ich komm einfach nicht drauf wie es dann weiter gehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Die Fibonacci Zahlen seien definiert durch
> [mm]f_1= f_2=1,f_n=f_{n-1}+f_{n-2}[/mm] (n≥3)
> Man zeige durch vollständige Induktion, dass für alle
> n≥1 gilt
> [mm]\summe_{i=1}^{n}f_{2i-1}[/mm] = [mm]f_{2n}[/mm]
> Also der Induktionsanfang ist ja leicht, wenn man für n 1
> einsetzt, aber ich komm einfach nicht drauf wie es dann
> weiter gehen soll.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wie Induktion geht, weißt Du aber?
Dann schreib jetzt die Induktionsannahme hin,
und im Induktionsschluß das, was beim Schluß [mm] n\to [/mm] n+1 zu zeigen ist.
Falls Du danach dann noch einen Beweisversuch unternommen hast, wäre es sicher hilfreich, den zu sehen. Vielleicht ist er gar nicht unbrauchbar.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Di 09.12.2008 | | Autor: | Gakje |
Also
Induktionsanfang: [mm] \summe_{i=1}^{n}f_{2i-1} [/mm] = [mm] f_{2n} [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
1=1 [mm] \Rightarrow [/mm] A(n)
Damit ist ja bewiesen, dass A(n) gilt
Induktionsschritt: A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)
A(n+1) = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} f_{2i-1} [/mm] = [mm] f_{2n+2}
[/mm]
A(n+1) = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} f_{2i-1} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} f_{2i-1}+f_{2(n+1)-1} [/mm] = [mm] f_{2n} [/mm] + [mm] f_{2n+1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Also
>
> Induktionsanfang: [mm]\summe_{i=1}^{n}f_{2i-1}[/mm] = [mm]f_{2n}[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> 1
> 1=1 [mm]\Rightarrow[/mm] A(n)
>
> Damit ist ja bewiesen, dass A(n) gilt.
Hallo,
nein, damit ist gezeigt, daß A(1) gilt.
Induktionsannahme: es gibt A(n) für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
>
> Induktionsschritt: A(n) [mm]\Rightarrow[/mm] A(n+1)
>
Zu zeigen
> A(n+1) = [mm]\summe_{i=1}^{n+1} f_{2i-1}[/mm] = [mm]f_{2n+2}[/mm]
Beweis:
es ist
> A(n+1) = [mm]\summe_{i=1}^{n+1} f_{2i-1}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} f_{2i-1}+f_{2(n+1)-1}[/mm]
> = [mm]f_{2n}[/mm] + [mm]f_{2n+1}[/mm]
= [mm] f_{2n+2} [/mm] (s. rekursionsvorschrift.
Fertig ist's.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Di 09.12.2008 | | Autor: | Gakje |
danke, auf den letzten schritt kam ich nicht^^
aber, warum is das laut rekursionsvorschrift so??
|
|
|
|
