Induktionsbeweis Potenzmenge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Zeigen Sie für alle [mm] n\in\IN:
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{n}k^3=(\bruch{n(n+1)}{2})^2 [/mm] |
| Aufgabe 2 | | Beweisen Sie für [mm] q\in\IR\backslash\{1\} [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] die Summenformel [mm] 1+q+q^2+...+q^n=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] |
Bei Aufgabe 1 weiß ich gar nicht wie ich anfangen soll,also wärs nett wenn mir jemand einen Ansatz oder einen kleinen Tipp geben könnte.
Zu Aufgabe 2 hab ich schonmal ne Idee...kann es sein,dass ich das mit Fakultät beweisen muss?
Ich habe diese Fragen in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo
also hier ist sowohl bei Aufgabe 1 als auch bei Aufgabe 2 Induktion angesagt. Ich mach mal den Anfang fuer [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 =\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}. [/mm]
Dazu setz mal n=1. Dann ist die Summe [mm] \summe_{k=1}^{1} k^2 [/mm] =1 = [mm] \bruch{1(1+1)(2\cdot 1+1)}{6}. [/mm] Also stimmt die Formel fuer n=1. Jetzt kommt die Induktionsvoraussetzung. Du nimmst an das gilt: [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 =\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}. [/mm] Nun musst du mit dieser Annahme zeigen, dass die Gleichung auch fuer $n+1$ gilt also das [mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6}. [/mm] Fang mal an:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 =\summe_{k=1}^{n} k^2+(n+1)^2=....
[/mm]
Jetzt kannst du die Induktionsbehauptung anwenden. Und dann so unformen das am Ende [mm] \bruch{(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)}{6} [/mm] rauskommt. Dann hast du die Gleichheit fuer alle n [mm] \in \IN [/mm] gezeigt. [mm] \summe_{k=1}^{n} k^3 [/mm] geht das aehnlich.
Bei der zweiten Aufgabe musst du zeigen dass [mm] \summe_{k=1}^{n} q^k=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}. [/mm] Das geht auch wunderbar mit Induktion also wieder Induktionsanfang dann Induktionsbehauptung und dann Induktionsschritt.
Viele Gruesse (schuldigung hab kein sz)
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Also beim Beweis der vollständigen Induktion ist genau da mein Problem. Ich weiß nämlich nie wie ich den Induktionsschritt führen soll. Ich weiß,dass man voraussetzen muss,dass die Formel für n gelte und die Formel für n+1 daraus hergeleitet werden muss,aber ich weiß nicht genau wie man das macht. Wäre sehr nett wenn mir jemand diesen Schritt etwas ausführlicher erklären könnte!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Also beim Beweis der vollständigen Induktion ist genau da
> mein Problem. Ich weiß nämlich nie wie ich den
> Induktionsschritt führen soll.
Zunächst ist die vollständige Induktion nicht zu beweisen, sondern sie ist ein Hilfsmittel zur Beweisführung. Das vorweg einmal. Leider kenne ich Deinen Kenntnisstand nicht, aber falls Du meine Erklärung nicht verstehen solltest, kannst Du Dir vorweg einmal
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion
ansehen. Induktionsbeweise werden häufig gemacht, wenn eine Formel (oder: Aussage) für alle natürlichen Zahlen [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] (oder: für alle [mm] $n\in\IN_0$ [/mm] mit $n>m$ wobei [mm] $m\in\IN_0$) [/mm] gezeigt werden soll. Aus dem Beweis mittels Induktion (=Induktionsbeweis) folgt, dass die angegebene Formel für n=1,2,3,... , also für jedes natürliche [mm] $n\in\IN$, [/mm] gilt.
Induktionsanfang:
Es wird in der Regel stets angegeben, ab welchem $n$ die Formel gelten soll, z.B. [mm] $n\geqslant [/mm] 3$. Den ersten Wert verwendest Du stets für Deinen Induktionsanfang, also hier $n=3$. Würdest Du das nicht tun und etwa bei $n=4$ beginnen und anschließend Deinen Induktionsschritt zeigen, so wüsstest Du lediglich, dass Deine Formel für [mm] $n\geqslant [/mm] 4$ gilt, aber nicht notwendigerweise für $n=3$. Daher müsstest Du $n=3$ zusätzlich zeigen und $n=4$ wäre dür den Induktionsanfang überflüssig. MERKE: Beginnen beim Induktionsanfang stets bei dem kleinsten Wert, für den die Formel gelten soll.
> Ich weiß,dass man
> voraussetzen muss,dass die Formel für n gelte und die
> Formel für n+1 daraus hergeleitet werden muss,aber ich weiß
> nicht genau wie man das macht. Wäre sehr nett wenn mir
> jemand diesen Schritt etwas ausführlicher erklären könnte!
Induktionsschritt:
Ehe Du mit dem Beweis des Induktionsschrittes beginnst, solltest Du zunächst den Induktionsanfang vorweg bewiesen haben. Angenommen Du sollst für [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine Formel (oder: Aussage) beweisen, dann nimmst Du zunächst im Induktionsschritt an, dass Deine Formel für 0,1,...,$n$ gilt. Häufg schreibt man beim Induktionsschritt [mm] $n\longrightarrow [/mm] n+1$. Du sollst nun zeigen, dass Deine Formel (oder: Aussage) für $n+1$ gilt. Dazu musst Du immer im Verlaufe des Induktionsschrittes verwenden, dass Deine Formel (oder: Aussage) für n gilt. Dass die Aussage für n gilt bezeichnet man auch als Induktionsvoraussetzung . Diese lässt sich meist aber nicht direkt anwenden und erfordert häufig einige Umformungen, die von den konkreten zu beweisenden Formeln abhängen. Hast Du sie angewendet, so musst Du versuchen, dass die Gleichung genau das Ergebnis liefert, als würdest Du in Deiner Formel (oder: Aussage), also in Deiner Induktionsvoraussetzung, $n$ durch $n+1$ ersetzen. Wenn Du das geschafft hast, ist Dein Beweis fertig.
Ich erwarte nicht, dass Du all das was ich geschrieben habe auf Anhieb verstehst, aber Du solltest Dir im Hinterkopf behalten was zu machen ist.
Gruß Denny
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Dankeschön schonmal! Die Aufgabe 1 hab ich gelöst...war gar nicht so schwer wie ich dachte! Aber nun hab ich noch ne Frage zu Aufgabe 2,denn da komme ich nicht mehr weiter! Mein Problem ist,dass ich beim Induktionsschritt,dann 3 Unbekannte habe,nämlich n,q und k und ich kann auch keine davon kürzen. Kann mir dabei jemand weiterhelfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:47 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Studentin!
Du hast nur 1 Variable in der Induktion: $n_$ .
$q_$ ist als Konstante anzusehen und $k_$ ist lediglich die Zählervariable für die Summenschreibweise.
Gruß
Loddar
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Stimmt beim Induktionsschritt dieser Ansatz:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}q^{k}=\summe_{k=1}^{n}q^{k}+(n+1)^{k}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+(n+1)^{k}
[/mm]
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Hallo Studentin87,
> Stimmt beim Induktionsschritt dieser Ansatz:
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> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}q^{k}=\summe_{k=1}^{n}q^{k}+(n+1)^{k}=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q}+(n+1)^{k}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du hast falsch eingesetzt, du hast q durch n+1 ersetzt, aber es ist der Exponent k von q, also [mm] q^k, [/mm] den du durch n+1 ersetzen musst:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}q^{k}=\left(\summe_{k=1}^{n}q^{k}\right)+q^{\red{n+1}}$
[/mm]
Dann weiter im Text und du bist schnell am Ziel
LG
schachuzipus
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Ja du hast recht...ich hab falsch eingesetzt,aber jetzt hab ich das Ergebnis raus.
Dankeschön!
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