Induktionsbeweis Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie für jede natürliche Zahl n die beiden Ungleichungen:
a.) [mm] \bruch{n³-5n+3}{2n³+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
b.) [mm] 2*(\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] ) < [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] < 2*( [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1}) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle zusammen.
Im Studium wurde uns diese Aufgabe gestellt. Ich habe bereits bei a.) wie in einem normalen Induktionsbeweis begonnen:
IA: n=1 ergibt [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
IV: [mm] \exists n\in\IN [/mm] für die o.g. Gleichung gilt
Im Induktionsschritt müsste ich doch nun beweisen, dass dieser Sachverhalt auch für n+1 gilt. Dort komme ich bis zu einer gewissen Stelle:
[mm] \bruch{(n+1)³ - 5(n+1) + 3}{2(n+1)³ + 1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{n³ + 3n² + 3n +1 - 5n - 5 +3}{2*(n3+3n²+3n+1)+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{n³-5n+3 + 3n²+3n-4}{2n³+1 + 6n²+6n+2} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Ich habe im letzten Schritt erkennen können, dass gewissermaßen links beginnend im Bruch (mit Zähler und Nenner) der selbe Bruch zu finden ist, wie der in der Aufgabenstellung gegebene. Nun weiß ich aber nicht wie ich fortzufahren habe.. Muss ich den Rest des bruches nun versuchen zu isolieren um den alten Bruch irgendwie alleine in der Gleichung stehen zu haben !? Wie müsste ich dann fortfahren? Für Rat bin ich dankbar :)
Bei b.) blicke ich nicht richtig durch.. kann ich bei einer Doppelungleichung einfach zwischen den Teilen hin und herspringen bzw. rechnen? Also z.B. die 2*( [mm] \wurzel{n} [/mm] - [mm] \wurzel{n-1})mit [/mm] Subtraktion auf den vordersten Term bringen ? Worauf arbeite ich hin um diese Gleichung zu beweisen?
Vielen Dank im Voraus ! Für Ansätze bzw. Lösungshilfen wäre ich dankbar !
M.f.G.
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Huhu,
bist du sicher, dass du die Aufgabe mit vollständiger Induktion lösen sollst?
Die erste Aufgabe ist trivial, da offensichtlich gilt:
$n - 5n + 3 = -4n + 3 < 0$ und $2n +1 > 0$ für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Daher folgt sofort:
[mm] $\bruch{n-5n+3}{2n+1} [/mm] < 0 < [mm] \bruch{1}{2}$.
[/mm]
Beim zweiten teilst du die Ungleichung
$ [mm] 2\cdot{}(\wurzel{n+1} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel{n} [/mm] $ ) < $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] $ < 2*( $ [mm] \wurzel{n} [/mm] $ - $ [mm] \wurzel{n-1}) [/mm] $
Einfach durch [mm] $2\cdot{}(\wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] )$ und erweiterst dann mithilfe der dritten Binomischen Formel.
MFG,
Gono.
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| Aufgabe | | zu a) [mm] \bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{2} [/mm] |
Danke dir!
Leider wird wohl die "hoch 3" Taste nicht übernommen ... tut mir riesig leid bzgl der Korrektur Aufgabe a) ..
Gehe ich bei dritter Potenz genauso vor? Da versteh ichs nämlich nicht so recht!
Wenn ich die b.) Ungleichung teile steht doch da:
1 < [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{n^{2}+1}-2n} [/mm] < [mm] \bruch{\wurzel{n}-\wurzel{n-1}}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}
[/mm]
richtig?
wenn ich nun den rechten Bruch Erweitere mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] bekomme ich rechts den Nenner weg. Den in der Mitte erweitere ich mit [mm] \wurzel{n^{2}+1} [/mm] + 2n aber es steht dann da
1 < [mm] \bruch{\wurzel{n^{2}+1} + 2n}{4} [/mm] < [mm] \wurzel{n^{2}+n} [/mm] - n + [mm] \wurzel{n^{2}-1}-\wurzel{n^{2}-n} [/mm]
Wenn ich das nun umformen will kann ich da nicht wirklich was erkennen, was mir ne klare Aussage geben soll (wegen den versch. Wurzelausdrücken, oder verlassen mich einfach nur meine Wurzelgesetz-Kenntnisse?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> zu a) [mm]\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> Gehe ich bei dritter Potenz genauso vor? Da versteh ichs
> nämlich nicht so recht!
nicht ganz:
2 Schritte: 1. [mm] $\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}+1}<\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}}$ [/mm]
jetzt alles einzeln schreiben: [mm] \bruch{1}{2}-(\bruch{5}{n^2}-\bruch{3}{n^3})
[/mm]
und jetzt zeigen [mm] (\bruch{5}{n^2}-\bruch{3}{n^3})>0 [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1
> Wenn ich die b.) Ungleichung teile steht doch da:
>
> 1 < [mm]\bruch{1}{2*\wurzel{n^{2}+1}-2n}[/mm] <
> [mm]\bruch{\wurzel{n}-\wurzel{n-1}}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}[/mm]
>
> richtig?
nein richtig wäre $1 < [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{n^{2}+n}-2n}$ [/mm]
du solltest erstmal nur die linke Seite behandeln, dann die rechte Seite entsprechend.
dazu einfacher direkt mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] >0 die linke Ungleichung multiplizieren
dann siehst du sicher nen Weg, das zu zeigen.
entsprechend dann die rechte Ungl. mit [mm] \wurzel{n}+\wurzel{n-1} [/mm] >0 .
immer wenn man [mm] \wurzel{a}-\wurzel{b} [/mm] da stehen hat sollte man mit [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b} [/mm] multipl. bzw. erweitern, und immer die Ungleichungen in einer Kette a<b<c usw einzeln zeigen.
Gruss leduart
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Danke für die Antwort! Aber ich verstehe leider deinen Handlungsstrang in a.) nicht so richtig.. wie kommst du auf:
[mm] \bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}+1}<\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}}
[/mm]
?
und was meinst du mit [mm] \bruch{1}{2}-(\bruch{5}{n^2}-\bruch{3}{n^3}) [/mm] (also nicht, warum das so formatiert wurde sondern wie du auf diese rechnung kommst (und das folgende)?)
Vielen Dank und m.f.g.
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Hallo Marcel,
> Danke für die Antwort! Aber ich verstehe leider deinen
> Handlungsstrang in a.) nicht so richtig.. wie kommst du
> auf:
>
> [mm]\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}+1}<\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}}[/mm] ?
Na, leduart hat einfach den Nenner um 1 verkleinert.
Und damit vergrößert sich der Bruch: Bsp. [mm]\frac{1}{4} \ < \ \frac{1}{3}[/mm]
>
> und was meinst du mit
> [mm]\bruch{1}{2}-(\bruch{5}{n^2}-\bruch{3}{n^3})[/mm] (also nicht,
> warum das so formatiert wurde sondern wie du auf diese
> rechnung kommst (und das folgende)?)
Bruchrechnung aus der Unterstufe: [mm]\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}[/mm]
Wobei leduart einen Faktor "verschlabbert" hat.
Richtig: [mm]\ldots=\frac{1}{2}-\left(\frac{5}{2n^2}-\frac{3}{2n^2}\right)[/mm]
Aber das kannst du schreiben als [mm]\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{5}{n^2}-\frac{3}{n^3}\right)[/mm] und es bleibt sich gleich ...
Wenn [mm]\left(\frac{5}{n^2}-\frac{3}{n^3}\right)>0[/mm] ist, dann ist es ja [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(\frac{5}{n^2}-\frac{3}{n^3}\right)[/mm] auch!
Wenn du nun zeigst, dass der Klammerausdruck >0 ist, dass also [mm]\left(\frac{5}{n^2}-\frac{3}{n^3}\right)>0[/mm] ist, dann ist (multipliziere mit -1):
[mm]-\left(\frac{5}{n^2}-\frac{3}{n^3}\right) \ \red{<} \ 0[/mm]
Also steht dann in der Kette
[mm]\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}+1}<\bruch{n^{3}-5n+3}{2n^{3}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{5}{n^2}-\frac{3}{n^3}\right)<\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}[/mm]
>
> Vielen Dank und m.f.g.
Gruß
schachuzipus
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Alles Klar, jetzt hab ichs auch begriffen, Vielen Dank für die ausführliche Erklärung ! Bin halt ein schwerer Fall ! :)
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> dazu einfacher direkt mit [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm] >0 die
> linke Ungleichung multiplizieren
> dann siehst du sicher nen Weg, das zu zeigen.
nein nicht wirklich ... ich soll 1 < [mm] \bruch{1}{2\cdot{}\wurzel{n^{2}+1}-2n} [/mm] mal [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm] >0 nehmen ? Wie komm ich dadrauf bzw. was bringt mir das ?
ich meine, das ist doch keine dritte binomische Formel oder dergleichen wie du meintest ?
> entsprechend dann die rechte Ungl. mit
> [mm]\wurzel{n}+\wurzel{n-1}[/mm] >0 .
ok das versteh ich dann komm ich rechts auf
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+n}-n+\wurzel{n^{2}+1}-\wurzel{n^{2}-n}} [/mm] !? Oder wieder rechenfehler?
Danke schonmal !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 10.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du sollst nicht erst dividieren, sondern die gegebene linke Ungleichung mult. dann verschwinden wegen3. bin Formel die Wurzeln links. und von da aus ist es einfach nur noch abschätzen
Gruss leduart
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