Induktionsbeweis Z-Zahlen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 So 07.11.2004 | | Autor: | Yoko |
Hallo miteinander,
es ist eigentlich ein ganz simpler Beweis aber ich komme einfach nicht drauf.
Ich soll a:= f(1) setzen und zunächst f(n) = [mm] a^{n} [/mm] für die [mm] \IN [/mm] und dann für [mm] \IZ [/mm] zeigen
ich rechne mal vor wie ich es mit den natürlich zahlen gemacht habe
n [mm] \in\IN
[/mm]
I.A. für n=1 richtig
I.S. n=n+1
[mm] f(n+1)=a^{n+1}
[/mm]
[mm] f(n+1)=f(n)*f(1)=a^{n}*a=a^{n+1}
[/mm]
der positive Bereich von [mm] \IZ [/mm] ist ja analog zu der obigen Rechnung.
Aber wie mache ich es mit dem negativen Teil?
bye Yoko
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
hallo Yoko.
Also ich würde das so machen.Du musst es also noch für die negativen ganzen zahlen beweisen!!
f(1)=a das stimmt nach wie vor
[mm] f(n+1)=a^{n+1}
[/mm]
f(n+1)= f(1)*f(n),wobei n<0 = [mm] a^{1}*a^{n}=\bruch{a^{1}}{a^{+n}}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{a^{-1}+a^{+n}}=\bruch{1}{a^{n+1}}=a^{1+n}
[/mm]
ich bin mir nicht 100% sicher aber viell. hat es dir ja was geholfen.Viel glück noch.MFG daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 So 07.11.2004 | | Autor: | nitro1185 |
Mann das war ja völliger blödsinn was ich hier geschrieben habe.tut mir leid. grüße daniel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Yoko,
irgendwie komme ich mit deiner Aufgabe noch nicht klar. Um was für eine Funktion handelt es sich dabei? a:=f(1) reicht doch nicht, um irgendwas zu zeigen.
Dein Beweis für positive Zahlen hilft mir da auch nicht weiter.
Gruß Sigrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Sigrid!
Ich gehe mal davon aus, dass die Funktionalgleichung
$f(x+y) = f(x) [mm] \cdot [/mm] f(y)$
auch noch gegeben war. Stimmt das, Yoko?
Denn ansonsten macht die Aufgabe in der Tat keinen Sinn...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Ich habe mir folgendes überlegt.
Setze [mm] f(-n):=a^{-n} [/mm] für n<0. Probier jetzt Deinen Induktionsbeweis mit dieser zusätzlichen Def. Dann müsste es klappen.
Ich denke nicht, dass Du diese Definition näher begründen musst. Trotzdem: n<0 => -n>0 und damit -n [mm] \in \IN [/mm] usw. Reicht das??
Ich wünsche Dir viel Glück.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Mo 08.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Yoko,
ich gehe mal davon aus, dass Stefans Annahme richtig ist. Sie macht ja auch Sinn. Ich hatte im Hinterkopf eine rekursive Definition und kam deshalb nicht weiter.
Dann brauchst du zunächst den Indunktionsanfang, also [mm] f(-1)=a^{-1}
[/mm]
Zunächst gilt [mm] a=f(a)=f(0+a)=f(0)\cdot\ f(a)=f(0)\cdot\a, [/mm] also f(0)=1
und damit
[mm] 1=f(0)=f(-1+1)=f(-1)\cdot\ f(1)=f(-1)\cdot\ [/mm] a. Daraus folgt aber f(-1) = [mm]\bruch{1}{a}[/mm] = [mm] a^{-1}.
[/mm]
Der Rest geht dann analog zu deinem Beweis für positive n.
Viele Grüße
Sigrid
|
|
|
|
