Induzierte Mengenabbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:48 Do 25.10.2007 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | f:A-->X induziert Mengenabbildung [mm] \tilde f [/mm]:P(A)-->P(X).
B [mm] \subset [/mm] A und f(B):={f(a):a [mm] \in [/mm] B}
Nun ist für B,C [mm] \subset [/mm] A z.z.:
[mm] \tilde f [/mm][mm] (B\cap A)\subset[/mm] [mm] \tilde f [/mm](B) [mm] \cap[/mm] [mm] \tilde f [/mm](A)
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Ich hab keine Ahnung wie ich hier vorgehe. Eine Abbildung induziert eine Mengenabblidung sowie eine Umkehrmengenabbildung. Das ist mir soweit geläufig. Aber kommen mir ein bisschen zu viel Teilmengen vor. Setze ich direkt bei dem zu zeigen an oder muss ich erst was mit den Potenzmengen machen. Vielen Dank für jegliche Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> f:A-->X induziert Mengenabbildung [mm] \tilde{ f}:P(A)-->P(X).
[/mm]
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> B [mm] \subset [/mm] A und f(B):={f(a):a [mm] \inB}
[/mm]
> Nun ist für B,C [mm] \subset [/mm] A z.z.:
>
> [mm] \tilde{ f} (B\cap A)\subset \tilde{f }(B) \cap\tilde{f} [/mm] (A)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich vermute einen Fehler in Deiner Aufgabenstellung:
das soll doch bestimmt heißen [mm] \tilde{ f} (B):=\{f(a):a \in B\} [/mm] für alle Teilmengen B von A.
Dies erklärt uns, wie die Abbildung [mm] \tilde{f} [/mm] funktioniert. [mm] \tilde{f} [/mm] wird angewendet auf Mengen, das ist zunächst sehr ungewohnt.
Was bekommen wir als ergebnis, wenn wir [mm] \tilde{f} [/mm] auf eine Menge B anwenden?
Zunächst mal stellen wir fest: das Ergebnis ist wieder eine Menge.
Welche Elemente in dieser Menge drin liegen, sagt uns [mm] \{f(a):a \in B\}: [/mm] samtliche Funktionswerte, die man erhält, wenn man die Abbildung f auf alle Elemente aus B anwendet, also die Bildmenge von B, falls dieser Begriff bei Euch bereits eingeführt wurde.
Bei dem, was zu zeigen ist, ist wohl auch etwas schiefgegangen. Ich bemühe hier meine hellseherischen Fähigkeiten, und ich behaupte, daß Du zeigen sollst:
Für alle B,C [mm] \subseteq [/mm] A gilt:
[mm]\tilde f[/mm][mm] (B\cap C)\subset[/mm] [mm]\tilde f [/mm](B) [mm]\cap[/mm] [mm]\tilde f [/mm](C)
Bei solchen Teilmengenbeziehungen ist immer zu zeigen, daß jedes Element der einen Menge auch in der anderen liegt.
Nehmen wir uns also ein [mm] x\in \tilde{ f }(B\cap C)\subset\tilde{f}(B) [/mm] her.
Nun geht's los.
[mm] x\in \tilde{ f }(B\cap [/mm] C)
==> (nun gucken wir in der Def. von [mm] \tilde{f} [/mm] nach, was das bedeutet)
[mm] x\in \{f(a):a \in B\cap C\} [/mm] nach Def.
==> es gibt ein [mm] a\in B\cap [/mm] C mit x=...
versuch ab hier erstmal allein weiterzumachen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Do 25.10.2007 | | Autor: | thb |
Hallo Angela, 1000 Dank für Deine Hilfe.
Deine Hellseherischen Fähigkeiten sind bei der zweiten Korrektur phänomenal. Da hat es offenbar Tex zerhauen.
Bei der ersten Korrektur fürchte ich, dass sich die Definition tatsächlich auf f (ohne Schlange) bezieht, d.h. f(B):={f(a):a [mm] \in [/mm] B} :-(
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> Bei der ersten Korrektur fürchte ich, dass sich die
> Definition tatsächlich auf f (ohne Schlange) bezieht, d.h.
> f(B):={f(a):a [mm] \in[ [/mm] B} :-(
Glaub' ich nicht, die Aufgabe wäre doch sonst sinnlos, denn Du sollst doch was mit der tilde-Funktion zeigen, und die wäre ja nirgendwo definiert.
Hingegen wäre ein f(B) definiert, welches kein Mensch benötigt - für die Aufgabe.
Ich hätte allerdings eine weitere Variante für die Aufgabestellung anzubieten, einen Kompromiß zwischen Deinen und meinen Vorstellungen:
"f:A-->X induziert Mengenabbildung [mm] \tilde{ f} [/mm] :P(A)-->P(X)
mit [mm] \tilde{f}(B):=f(B) [/mm] mit
[mm] f(B):=\{f(a):a \in B\} [/mm] für alle [mm] B\subseteq [/mm] A.
Nun ist für B,C [mm] \subset [/mm] A z.z.:
[mm] \tilde{ f} (B\cap C)\subset \tilde{ f} [/mm] (B) [mm] \cap \tilde{ f}(C)"
[/mm]
An meinem Hinweis zur Lösung ändert sich dadurch eigentlich nichts, vielleicht schiebst Du noch eine Zeile ein:
Sei [mm] x\in \tilde{f}(B\cap [/mm] C)
==> [mm] x\in f(B\cap [/mm] C)
==> und dann wie zuvor.
Gruß v. Angela
P.S.: Eigentlich müßtest Du die Aufgabe doch gedruckt vorliegen haben, was steht dann da so alles?
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