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Inf und Sup von Mengen bestimm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 So 27.01.2008
Autor: Steffi1988

Aufgabe
1.)
M = { [mm] (-1)^n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n} [/mm] : n [mm] \in \IN [/mm] }

2.
M = { x [mm] \in \IQ [/mm] : x [mm] \ge [/mm] 0 und 2 < [mm] x^2 [/mm] < 4 }

3.
M = { [mm] \summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4})^k [/mm] : [mm] \in \IN [/mm] }

4.
M = { 1+ [mm] \bruch{1}{4n} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{2m} [/mm] : n , m [mm] \in \IN [/mm] }

5.
M = { [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (k - [mm] \bruch{1}{2^k} [/mm] ) - [mm] \bruch{n^2 + n + 1}{n} [/mm] : [mm] \in \IN [/mm] }

Hallo zusammen :)

Stehe gerade vor diesen Aufgaben...

Wie gehe ich da am besten vor?
Schreibe ich mir einfach die ersten Glieder auf und schätze dann oder wie :)

Bei der (a) kriege ich es noch hin... Jedoch durch "ausrechnen" der ersten glieder.

Dort hab ich sup M = 1.5 und inf M = -1

zu 2.) Hier müsste sup M = 2 und infM = [mm] \wurzel(2) [/mm]

3 , 4 , 5 scheitere ich..


Lg,
Steffi

        
Bezug
Inf und Sup von Mengen bestimm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 So 27.01.2008
Autor: abakus

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> 1.)
>  M = { [mm](-1)^n[/mm] + [mm]\bruch{1}{n}[/mm] : n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> 2.
> M = { x [mm]\in \IQ[/mm] : x [mm]\ge[/mm] 0 und 2 < [mm]x^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

< 4 }

>  
> 3.
> M = { [mm]\summe_{k=1}^{n} (\bruch{1}{4}^k[/mm] : [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> 4.
>  M = { 1+ [mm]\bruch{1}{4n}[/mm] + [mm]\bruch{(-1)^n}{2m}[/mm] : n , m [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> }
>  
> 5.
>  M = { [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (k - [mm]\bruch{1}{2^k}[/mm] ) - [mm]\bruch{n^2 + n + 1}{n}[/mm]
> : [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}

>  
> Hallo zusammen :)
>  
> Stehe gerade vor diesen Aufgaben...
>
> Wie gehe ich da am besten vor?
>  Schreibe ich mir einfach die ersten Glieder auf und
> schätze dann oder wie :)
>  
> Bei der (a) kriege ich es noch hin... Jedoch durch
> "ausrechnen" der ersten glieder.
>  
> Dort hab ich sup M = 1.5 und inf M = -1
>  
> zu 2.) Hier müsste sup M = 2 und infM = [mm]\wurzel(2)[/mm]
>  
> 3 , 4 , 5 scheitere ich..

Nur ein paar Anregungen:
3) Suche in einer Formelsmmlung oder in deinen Aufzeichungen die Summenformel der geometrischen Reihe. Avhte aber darauf, ob der erste Summand dort [mm] a_0 [/mm] oder [mm] a_1 [/mm] heißt.
4) Betrachte getrennt gerade und ungerade Werte für n.
5) Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis n ist n(n+1)/2. Die Summe aller [mm] (1/2)^k [/mm] ist wieder mal die Summe einer geometrischen Reihe.

>  
>
> Lg,
>  Steffi


Bezug
                
Bezug
Inf und Sup von Mengen bestimm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 So 27.01.2008
Autor: Steffi1988

Sei mir bitte nicht böse, aber irgendwie werde ich aus Deinen Tips nicht schlau :(

Die Geometrische Reihe habe ich gefunden:

[mm] s_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} a_{0} [/mm] * [mm] q^k [/mm]

Lg,
Steffi


Bezug
                        
Bezug
Inf und Sup von Mengen bestimm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 So 27.01.2008
Autor: abakus


> Sei mir bitte nicht böse, aber irgendwie werde ich aus
> Deinen Tips nicht schlau :(
>  
> Die Geometrische Reihe habe ich gefunden:
>  
> [mm]s_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{0}[/mm] * [mm]q^k[/mm]
>

Für diese Summe gilt:
[mm] =a_0\bruch{q^{n+1}-1}{q-1} [/mm]

(aber schau lieber noch mal nach).

> Lg,
>  Steffi
>  


Bezug
                                
Bezug
Inf und Sup von Mengen bestimm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 So 27.01.2008
Autor: Steffi1988

Mein [mm] a_{0} [/mm] ist die Partialsumme für den ersten Durchlauf mit k = 0 oder ?

Also

[mm] a_{0} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{4})^k [/mm]
= 1

Also habe ich dann nach Deiner Formel

= [mm] a_{0} [/mm] * [mm] \bruch{q^{n+1} - 1}{q-1} [/mm]

Eingesetzt:
1 * [mm] \bruch{(\bruch{1}{4})^{1+1} - 1}{\bruch{1}{4}-1} [/mm]

= [mm] \bruch{5}{4} [/mm]

Aber was sagt mir das jetzt :)

Bezug
                                        
Bezug
Inf und Sup von Mengen bestimm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 So 27.01.2008
Autor: abakus


> Mein [mm]a_{0}[/mm] ist die Partialsumme für den ersten Durchlauf
> mit k = 0 oder ?
>  
> Also
>
> [mm]a_{0}[/mm] = [mm](\bruch{1}{4})^k[/mm]
> = 1
>  
> Also habe ich dann nach Deiner Formel
>  
> = [mm]a_{0}[/mm] * [mm]\bruch{q^{n+1} - 1}{q-1}[/mm]
>  
> Eingesetzt:
>  1 * [mm]\bruch{(\bruch{1}{4})^{1+1} - 1}{\bruch{1}{4}-1}[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{5}{4}[/mm]
>  
> Aber was sagt mir das jetzt :)

Das sagt erst einmal, dass [mm] \bruch{1}{4}=\bruch{5}{4} [/mm] gelten müsste ;-). Das Problem ist, dass die "Standardformel" mit [mm] a_0 [/mm] beginnt, während dein erstes Glied [mm] a_1 [/mm] ist. Du musst also am Ende von der Summenformel den fehlenden Summanden [mm] a_0=(1/4)^0=1 [/mm] subtrahieren.
Die Summe aller [mm] 0,25^k [/mm] von k=1 bis n ist also
[mm] 1*\bruch{0,25^{n+1}-1}{0,25-1} [/mm] -1
[mm] =\bruch{1-0,25^{n+1}}{0,75} [/mm] -1
[mm] =\bruch{1}{3}-\bruch{4*0,25^{n+1}}{3} [/mm]
[mm] =\bruch{1}{3}-\bruch{0,25^n}{3} [/mm]


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