Infimum und Supremum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mi 22.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Zeige, dass die Menge beschränkt ist und bestimme das Infimum und Supremum. Untersuche nach Maximum und Minimum.
[mm] M_{1}=\{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}
[/mm]
[mm] M_{2}=(0,1) \backslash \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}
[/mm]
[mm] M_{3}=\bigcup_{n\in\IN \backslash {1}}^{} [\bruch{1}{n},1-\bruch{1}{n}]
[/mm]
[mm] M_{4}=\{x\in \IR | |x^{2}-1|<3\}
[/mm]
Bei [mm] M_{1} [/mm] bin ich so ran:
[mm] \bruch{1}{n}\le [/mm] 1, 1 ist also die kleinste obere Schranke
[mm] sup(M_{1})=1
[/mm]
Weil 1 [mm] \in [/mm] M ist max(M)=1
Jetzt mit Archimedes Endoxos, [mm] \varepsilon [/mm] >0. [mm] \exists n_{0} \in\ [/mm] IN: [mm] \bruch{1}{n_{0}}<\epsilon
[/mm]
=>0 ist die größte untere Schranke.
inf(M)=0
Zu [mm] M_{2}
[/mm]
Das geht doch eigentlich genauso, nur dass die 0 und 1 nicht drin sind.
Dann hätte ich sup(M)=2 und max(M)=2
Aber wenn 0 nicht drin ist, wie sieht es dann mit dem Infimum bzw. Minimum aus? Dann gibt es doch kein Minimum oder? Weil [mm] 1/n_0 [/mm] nicht in der Menge drin sind?
Zu [mm] M_{3}:
[/mm]
[mm] M_{3}=1-\bruch{1}{2} \cup 1-\bruch{1}{3} \cup 1-\bruch{1}{4} \cup [/mm] ...
Wie muss ich damit umgehen bzw. wie berechnet man sowas?
Zu [mm] M_{4}:
[/mm]
Hier bin ich nur so weit, dass ich das Maximum habe.
max [mm] \{x^{2}-1<3, -x^{2}-1\}
[/mm]
[mm] \gdw x<\wurzel{2} \wedge [/mm] x<-2
Vielen Dank fürs Lesen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mi 22.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Zeige, dass die Menge beschränkt ist und bestimme das
> Infimum und Supremum. Untersuche nach Maximum und Minimum.
>
> [mm]M_{1}=\{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}[/mm]
>
> [mm]M_{2}=(0,1) \backslash \{\bruch{1}{n} | n \in \IN\}[/mm]
>
> [mm]M_{3}=\bigcup_{n\in\IN \backslash {1}}^{} [\bruch{1}{n},1-\bruch{1}{n}][/mm]
>
> [mm]M_{4}=\{x\in \IR | |x^{2}-1|<3\}[/mm]
>
>
> Bei [mm]M_{1}[/mm] bin ich so ran:
> [mm]\bruch{1}{n}\le[/mm] 1, 1 ist also die kleinste obere Schranke
> [mm]sup(M_{1})=1[/mm]
> Weil 1 [mm]\in[/mm] M ist max(M)=1
>
> Jetzt mit Archimedes Endoxos, [mm]\varepsilon[/mm] >0. [mm]\exists n_{0} \in\[/mm]
> IN: [mm]\bruch{1}{n_{0}}<\epsilon[/mm]
> =>0 ist die größte untere Schranke.
> inf(M)=0
Das ist korrekt.
>
> Zu [mm]M_{2}[/mm]
> Das geht doch eigentlich genauso, nur dass die 0 und 1
> nicht drin sind.
> Dann hätte ich sup(M)=2 und max(M)=2
> Aber wenn 0 nicht drin ist, wie sieht es dann mit dem
> Infimum bzw. Minimum aus? Dann gibt es doch kein Minimum
> oder? Weil [mm]1/n_0[/mm] nicht in der Menge drin sind?
>
> Zu [mm]M_{3}:[/mm]
>
> [mm]M_{3}=1-\bruch{1}{2} \cup 1-\bruch{1}{3} \cup 1-\bruch{1}{4} \cup[/mm]
> ...
> Wie muss ich damit umgehen bzw. wie berechnet man sowas?
Das stimmt so nicht. Wenn ich deine Notation richtig deute, ist
[mm] M_{3}=\bigcup_{n\in\IN}[\bruch{1}{n},1-\bruch{1}{n}]
[/mm]
[mm] =\underbrace{\left[\bruch{1}{2};1-\bruch{1}{2}\right]}_{n=2}\cup\underbrace{\left[\bruch{1}{3};1-\bruch{1}{3}\right]}_{n=3}\cup\ldots
[/mm]
Die Menge besteht also aus Punkten im [mm] \IR^{2}
[/mm]
>
> Zu [mm]M_{4}:[/mm]
> Hier bin ich nur so weit, dass ich das Maximum habe.
> max [mm]\{x^{2}-1<3, -x^{2}-1\}[/mm]
Das ist aber eine falsche Umschreibung von [mm] M_{4}
[/mm]
Beachte mal die Betragsfunktion.
Es gilt: [mm] |x^{2}-1|=x^{2}-1\text{für}x^{2}-1\ge0 [/mm] und
[mm] |x^{2}-1|=-(x^{2}-1)\text{für}x^{2}-1<0
[/mm]
Damit solltest du deine Menge bestimmen können, und damit auch das Supremum/Infimum
> [mm]\gdw x<\wurzel{2} \wedge[/mm]
> x<-2
>
> Vielen Dank fürs Lesen!
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Mi 22.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Zuerst Danke euch beiden für die Antworten.
Ich fange mal mit der ,,leichtesten" für mich an.
Auf die Umschreibung von [mm] M_{4} [/mm] bin ich wegen Beispielaufgaben über die Betragsfunktion bei Ungleichungen gekommen.
Und mit [mm] M_{3} [/mm] hast du auch recht.
Ich sehe grad, dass ich sogar einen Fehler gemacht habe, weil es bei der einen [mm] -x^{2} [/mm] + 1 heissen sollte.
Mein Hauptproblem ist die Formalität. Also [mm] M_{1} [/mm] konnte ich mir aus einer sehr ähnlichen Beispielaufgabe herleiten.
Bei [mm] M_{4}
[/mm]
1. [mm] |x^{2}-1|=x^{2}-1 \text{für} x^{2}-1\ge0 [/mm]
2. [mm] |x^{2}-1|=-(x^{2}-1)\text{für}x^{2}-1<0
[/mm]
Ist es z.B. formal wichtig das so aufzuschreiben?
Zu finden ist ja ein x das folgendes erfüllt
[mm] x^{2}-1<3 [/mm] und
[mm] -(x^{2}-1)<3
[/mm]
Anfangs kam das mit der Wurzel raus, weil ich falsch gerechnet habe.
x muss hier -2<x<2 sein
Dann [mm] sup(M_{4})=2, [/mm] weil 2 tatsächlich größer ist.
und [mm] inf(M_{4})=-2, [/mm] tatsächlich kleiner...
Aber wie macht man das formal korrekt?
Zu [mm] M_{2}.
[/mm]
Kann es sein, dass der einzige Unterschied der ist, dass die 1 kein Maximum ist und die 0 kein Minimum, weil 0 und 1 NICHT Elemente in der definierten Menge sind?
Vor [mm] M_{3} [/mm] sitze ich da, schreibe mir die Tupel auf...und überlege was da passiert. Klar ist mir zunächst, dass dieses n ja unendlich groß werden kann, was ähnliche Auswirkung wie bei [mm] M_{1} [/mm] hat. Aber die Vereinigung verwirrt mich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:35 Do 23.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu [mm] M_3 [/mm] mal dir doch mal die paar ersten Punkte und die letzten auf!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Do 23.09.2010 | | Autor: | janina90 |
Hallo Leduart.
Wie zeichnet man die Tupel ein, wie muss ich sie interpretieren.
[mm] [\bruch{1}{2};1-\bruch{1}{2}]
[/mm]
[mm] [\bruch{1}{3};1-\bruch{1}{3}]
[/mm]
[mm] [\bruch{1}{4};\bruch{3}{4}]
[/mm]
.
.
.
[mm] [\bruch{1}{n};1-\bruch{1}{n}]
[/mm]
[mm] \bruch{1}{n} \Rightarrow [/mm] 0
[mm] 1-\underbrace{\bruch{1}{n}}_{=0} \Rightarrow [/mm] 1
So wäre ja sup(M)=1 und inf(M)=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:54 Do 23.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leduart.
>
> Wie zeichnet man die Tupel ein, wie muss ich sie
> interpretieren.
Was soll das mit den Tupeln ?
Es war
$ [mm] M_{3}=\bigcup_{n\in\IN \backslash {1}}^{} [\bruch{1}{n},1-\bruch{1}{n}] [/mm] $
Das ist eine Vereinigung von abgeschlossenen Intervallen !!!!!
Hast Du das
https://matheraum.de/read?i=714779
eigentlich gelesen ?
FRED
>
> [mm][\bruch{1}{2};1-\bruch{1}{2}][/mm]
>
> [mm][\bruch{1}{3};1-\bruch{1}{3}][/mm]
>
> [mm][\bruch{1}{4};\bruch{3}{4}][/mm]
> .
> .
> .
> [mm][\bruch{1}{n};1-\bruch{1}{n}][/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{n} \Rightarrow[/mm] 0
>
> [mm]1-\underbrace{\bruch{1}{n}}_{=0} \Rightarrow[/mm] 1
>
> So wäre ja sup(M)=1 und inf(M)=0
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Ups...da hab ich Blödsinn gedacht. Ich saß zuletzt ständig an so Tupelaufgaben und deshalb ist mir das hier so vorgekommen.
Ja, jetzt macht es natürlich Sinn, wenn ich auf eine Zahlengerade ein paar abgeschlossene Intervalle einzeichne.Das Endergebnis der Vereinigung ist dann ja quasi ein Intervall zwischen 0 und 1. Aber die 0 und 1 sind tatsächlich nicht drin. Sondern nur alles zwischen drin.
Ist meine Argumentation die ich vorhin erwähnt habe in Ordnung? Also im letzten Beitrag von mir.
Ja, ich habe mir den Beitrag angeschaut mit den Tipps/Ergebnissen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 25.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 Mi 22.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
1. [mm] inf(M_2)=0, sup(M_2)=1, M_2 [/mm] hat kein Min. und kein Max.
2. [mm] M_3=(0,1)
[/mm]
3. [mm] M_4=(-2,2)
[/mm]
FRED
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