Inh. Diffgl. 2.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Mo 25.06.2012 | | Autor: | ggT |
| Aufgabe | Betrachte die inhomogene lineare Differentialgleichung 2.Ordnung:
$y'' = 6y' - 9y + [mm] xe^{3x}$ [/mm]
Gib die Lösungsgesamtheit der Diffentialgleichung an. [mm] \\ [/mm] |
Wie immer hab ich nun mit der homogenen Differentialgleichung begonnen: [mm] \\
[/mm]
$y'' - 6y' + 9y = 0$ [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] e^{\lambda t}$, [/mm] $y' = [mm] \lambda e^{\lambda t}$, [/mm] $y'' = [mm] \lambda^{2} e^{\lambda t}$ \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} e^{\lambda t} [/mm] - [mm] 6\lambda e^{\lambda t} [/mm] + [mm] e^{\lambda t} [/mm] = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{\lambda t}*(\lambda^{2} [/mm] - [mm] 6\lambda [/mm] + 9) = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} [/mm] - [mm] 6\lambda [/mm] + 9 = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda [/mm] = 3$ [mm] \\
[/mm]
Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] c_{1}e^{3x} [/mm] + [mm] c_{2}xe^{3x}$ \\ \\
[/mm]
Nun zur inhomogenen Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
$y'' - 6y' + 9y = [mm] xe^{3x}$ \\
[/mm]
So was muss ich nun machen, das Ziel ist mir klar, ich muss jetzt erstmal eine spezielle Lösung für die inhomogene Differentialgleichung finden, aber wie komme ich dahin? [mm] \\
[/mm]
|
|
| |
|
Hallo,
> Nun zur inhomogenen Differentialgleichung: [mm]\\
[/mm]
>
> [mm]y'' - 6y' + 9y = xe^{3x}[/mm] [mm]\\
[/mm]
>
> So was muss ich nun machen, das Ziel ist mir klar, ich muss
> jetzt erstmal eine spezielle Lösung für die inhomogene
> Differentialgleichung finden, aber wie komme ich dahin? [mm]\\
[/mm]
Suche jetzt eine partikuläre Lösung 'vom Typ der rechten Seite'. Bedenke dabei, dass die 3 im Exponenten der Störfunktion doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung ist. In deinen Unterlagen solltest du die Vorgehensweise beschrieben finden. Sonst frage einfach nochmal nach.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 25.06.2012 | | Autor: | ggT |
Wie immer hab ich nun mit der homogenen Differentialgleichung begonnen: [mm] \\
[/mm]
$y'' - 6y' + 9y = 0$ [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] e^{\lambda t}$, [/mm] $y' = [mm] \lambda e^{\lambda t}$, [/mm] $y'' = [mm] \lambda^{2} e^{\lambda t}$ \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} e^{\lambda t} [/mm] - [mm] 6\lambda e^{\lambda t} [/mm] + [mm] e^{\lambda t} [/mm] = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^{\lambda t}*(\lambda^{2} [/mm] - [mm] 6\lambda [/mm] + 9) = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda^{2} [/mm] - [mm] 6\lambda [/mm] + 9 = 0$ [mm] \\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \lambda [/mm] = 3$ [mm] \\
[/mm]
Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
$y = [mm] c_{1}e^{3x} [/mm] + [mm] c_{2}xe^{3x}$ \\ \\
[/mm]
Nun zur inhomogenen Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
$y'' - 6y' + 9y = [mm] xe^{3x}$ \\
[/mm]
Ok, hab was gefunden, was mich allerdings nicht sonderlich erfreut hat. :) Mit den Bezeichnungen orientiere ich mich am Buch, was ich die letzten Stunden zur Hand hatte. [mm] \\
[/mm]
$x$ hat den $Grad 1$, daher ist $m = 1$ [mm] \\
[/mm]
der Exponent lautet $3x$, das heißt [mm] $\mu [/mm] = 3$ [mm] \\
[/mm]
$3$ ist nun aber gleichzeitig eine doppelte Nullstelle (siehe oben), was bedeutet, dass $k = 2$ ist [mm] \\
[/mm]
$m + k = 3$, was soviel heißt, dass die partikuläre Diff.gleichung als ein Produkt eines Polynoms 3.Grades und einer Exponentialfunktion vorliegt, es ergibt sich also folgendes: [mm] \\
[/mm]
[mm] $y_{p}(x) [/mm] = [mm] (ax^{3} [/mm] + [mm] bx^{2} [/mm] + cx + [mm] d)e^{3x}$ [/mm] (mit unbekannten Konstanten) [mm] \\
[/mm]
So und nun würde ich die 1. und 2.Ableitung davon bilden und es dann in die inhomogene Ausgangsdifferentialgleichung einsetzen. Hab mich da nur dummerweise 2mal eben verrechnet, daher frag ich lieber vorher nach, bevor ich nochmal wild umforme.
|
|
|
| |
|
Hallo,
prinzipiell sollte dein Ansatz klappen. Leichter tust du dich aber, wenn du bedenkst, dass man für den Fall, dass a k-fache Nullstelle des CP ist, einfach mit [mm] x^k [/mm] multipliziert:
[mm] y_p=x^2*(a+bx)*e^{3x}
[/mm]
Das sind zwei Konstanten weniger (die überzähligen sollten sich in deiner Version zu Null ergeben).
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mo 25.06.2012 | | Autor: | ggT |
Nun zur inhomogenen Differentialgleichung: [mm] \\
[/mm]
$y'' - 6y' + 9y = [mm] xe^{3x}$ \\
[/mm]
Ok, hab was gefunden, was mich allerdings nicht sonderlich erfreut hat. :) Mit den Bezeichnungen orientiere ich mich am Buch, was ich die letzten Stunden zur Hand hatte. [mm] \\
[/mm]
$x$ hat den $Grad 1$, daher ist $m = 1$ [mm] \\
[/mm]
der Exponent lautet $3x$, das heißt [mm] $\mu [/mm] = 3$ [mm] \\
[/mm]
$3$ ist nun aber gleichzeitig eine doppelte Nullstelle (siehe oben), was bedeutet, dass $k = 2$ ist [mm] \\
[/mm]
$m + k = 3$, was soviel heißt, dass die partikuläre Diff.gleichung als ein Produkt eines Polynoms 3.Grades und einer Exponentialfunktion vorliegt, es ergibt sich also folgendes: [mm] \\
[/mm]
[mm] $y_{p}(x) [/mm] = [mm] x^{2}(a+bx)e^{3x}$ [/mm] (mit unbekannten Konstanten) [mm] \\
[/mm]
Jetzt kommen die Ableitungen: [mm] \\
[/mm]
[mm] $y_{p}' [/mm] = [mm] 2x(a+bx)e^{3x}+x^{2}be^{3x} [/mm] + [mm] x^{2}(a+bx)3e^{3x}$ \\
[/mm]
$= [mm] 2xe^{3x}(a+bx)+bx^{2}e^{3x}+3x^{2}e^{3x}(a+bx)$ \\
[/mm]
$= [mm] 2xe^{3x}(a+bx) [/mm] + [mm] x^{2}e^{3x}(b+3(a+bx))$ \\ \\
[/mm]
[mm] $y_{p}'' [/mm] = [mm] 2e^{3x}(a+bx)+2x*3e^{3x}(a+bx)+2xe^{3x}b [/mm] + [mm] 2xe^{3x}(b+3(a+bx))+x^{2}*3e^{3x}(b+3(a+bx))+x^{2}e^{3x}*3b$ \\
[/mm]
$= [mm] 2ae^{3x} [/mm] + [mm] 2bxe^{3x}+6axe^{3x} [/mm] + [mm] 6bx^{2}e^{3x} [/mm] + [mm] 2bxe^{3x} [/mm] + [mm] 2bxe^{3x} [/mm] + [mm] 6axe^{3x} [/mm] + [mm] 6bx^{2}e^{3x}+6bx^{2}e^{3x}+9ax^{2}e^{3x}+9bx^{3}e^{3x}+3bx^{2}e^{3x}$ \\
[/mm]
$= [mm] 2ae^{3x}+6bxe^{3x} [/mm] + [mm] 12axe^{3x} [/mm] + [mm] 21bx^{2}e^{3x} [/mm] + [mm] 9ax^{2}e^{3x}+9bx^{3}e^{3x}$ \\
[/mm]
Soweit die Ableitungen... [mm] \\
[/mm]
Nun in inhomogene Ausgangsdifferentialgleichung einsetzen: [mm] \\
[/mm]
$y'' - 6y' + 9y = [mm] xe^{3x}$ \\
[/mm]
[mm] $xe^{3x} [/mm] = [mm] (2ae^{3x}+6bxe^{3x} [/mm] + [mm] 12axe^{3x} [/mm] + [mm] 21bx^{2}e^{3x} [/mm] + [mm] 9ax^{2}e^{3x}+9bx^{3}e^{3x}) [/mm] - [mm] 6(2xe^{3x}(a+bx) [/mm] + [mm] x^{2}e^{3x}(b+3(a+bx))) [/mm] + [mm] 9(x^{2}(a+bx)e^{3x})$ \\
[/mm]
Jetzt kann man auf beiden Seiten [mm] $e^{3x}$ [/mm] eliminieren und erhält: [mm] \\
[/mm]
$x = (2a+6bx + 12ax + [mm] 21bx^{2} [/mm] + [mm] 9ax^{2}+9bx^{3}) [/mm] - 6(2x(a+bx) + [mm] x^{2}(b+3(a+bx))) [/mm] + [mm] 9(x^{2}(a+bx))$ \\
[/mm]
$x = (2a+6bx + 12ax + [mm] 21bx^{2} [/mm] + [mm] 9ax^{2}+9bx^{3}) [/mm] - [mm] 6(2ax+2bx^{2}+bx^{2}+3ax^{2}+3bx^{3})+9(ax^{2}+bx^{3})$ \\
[/mm]
$x = [mm] 2a+6bx+12ax+21bx^{2}+9ax^{2}+9bx^{3}-12ax-12bx^{2}-6bx^{2}-18ax^{2}-18bx^{3}+9ax^{2}+9bx^{3}$ \\
[/mm]
$x = [mm] 2a+6bx+3bx^{2}$ \\
[/mm]
Hm, werd ich nun nicht so draus schlau...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die [mm] 21bx^2 [/mm] in y'' sind falsch ich habe [mm] 18bx^2
[/mm]
aber rechne bitte nach.
einfacher mit [mm] (ax^2+bx^3)
[/mm]
oder noch einfacher erst mal [mm] y_p=bx^3 *e^{3x} [/mm] ausprobieren!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:47 Di 26.06.2012 | | Autor: | ggT |
Ja, hab nun auch die [mm] $18bx^{2}$ [/mm] raus.
Kommt nun eine deutlich besser Lösung raus. Macht für mich alles zumindest Sinn.
Danke an euch beide für die Hilfe. ;)
|
|
|
|
