Inho. Lin. Dif.Gl. 1.Ord < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Fr 31.07.2009 | | Autor: | LowBob |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] \bruch{y'}{cos(x)}+\bruch{y}{sin(x)\*cos(x)}-1=0
[/mm]
( [mm] y=cot(\bruch{x}{2})\*[C+2ln(cos(\bruch{x}{2}))-cos(x)] [/mm] ) |
Hallo zusammen!
Ich hab schon ne weile rumgerechnet und komme leider nicht auf das richtige Ergebnis.
Hier meine Zwischenergebnisse:
Umgestellt: [mm] y'+y\*\bruch{1}{sin(x)}=cos(x)
[/mm]
Lösung der homogenen Gleichung
[mm] y'+y\*\bruch{1}{sin(x)}=0
[/mm]
Trennung der Variablen: [mm] \bruch{dy}{y}=-\bruch{dx}{sin(x)}
[/mm]
Nach der Integration: [mm] ln|y|=ln|c|-ln|tan(\bruch{x}{2})|=ln|\bruch{c}{tan(\bruch{x}{2})}|
[/mm]
[mm] y=\bruch{c}{tan(\bruch{x}{2})}=c\*cot(\bruch{x}{2})
[/mm]
Variation der Konstanten: [mm] y=\bruch{K(x)}{tan(\bruch{x}{2})}=K(x)\*\bruch{sin(x)}{1-cos(x)}
[/mm]
[mm] y'=K'(x)\*\bruch{1}{tan(\bruch{x}{2})}-K(x)\*\bruch{1}{1-cos(x)}
[/mm]
Nach dem Einsetzen: [mm] K'(x)\*\bruch{1}{tan(\bruch{x}{2})}=cos(x)
[/mm]
[mm] K'(x)=cos(x)\*tan(\bruch{x}{2})
[/mm]
So, und jetzt sollte eigentlich die unbestimmte Integration zum Ergebnis führen.
Da dem bei mir aber nicht so ist, wollte ich mal fragen ob ich bis dato irgendwas übersehen habe???
Gruß
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Hallo LowBob,
> Ermitteln Sie die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
> [mm]\bruch{y'}{cos(x)}+\bruch{y}{sin(x)\*cos(x)}-1=0[/mm]
>
> ( [mm]y=cot(\bruch{x}{2})\*[C+2ln(cos(\bruch{x}{2}))-cos(x)][/mm] )
> Hallo zusammen!
>
> Ich hab schon ne weile rumgerechnet und komme leider nicht
> auf das richtige Ergebnis.
>
> Hier meine Zwischenergebnisse:
>
> Umgestellt: [mm]y'+y\*\bruch{1}{sin(x)}=cos(x)[/mm]
>
> Lösung der homogenen Gleichung
>
> [mm]y'+y\*\bruch{1}{sin(x)}=0[/mm]
>
> Trennung der Variablen: [mm]\bruch{dy}{y}=-\bruch{dx}{sin(x)}[/mm]
>
> Nach der Integration:
> [mm]ln|y|=ln|c|-ln|tan(\bruch{x}{2})|=ln|\bruch{c}{tan(\bruch{x}{2})}|[/mm]
>
> [mm]y=\bruch{c}{tan(\bruch{x}{2})}=c\*cot(\bruch{x}{2})[/mm]
>
> Variation der Konstanten:
> [mm]y=\bruch{K(x)}{tan(\bruch{x}{2})}=K(x)\*\bruch{sin(x)}{1-cos(x)}[/mm]
>
> [mm]y'=K'(x)\*\bruch{1}{tan(\bruch{x}{2})}-K(x)\*\bruch{1}{1-cos(x)}[/mm]
>
> Nach dem Einsetzen:
> [mm]K'(x)\*\bruch{1}{tan(\bruch{x}{2})}=cos(x)[/mm]
>
> [mm]K'(x)=cos(x)\*tan(\bruch{x}{2})[/mm]
>
> So, und jetzt sollte eigentlich die unbestimmte Integration
> zum Ergebnis führen.
>
> Da dem bei mir aber nicht so ist, wollte ich mal fragen ob
> ich bis dato irgendwas übersehen habe???
Ersetze jetzt
[mm]\cos\left(x\right)=2*\cos^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)-1[/mm]
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Sa 01.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Moin!
Wow! Wo hast du das denn her?
>
> [mm]\cos\left(x\right)=2*\cos^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)-1[/mm]
>
Meinst du so?
$ [mm] K'(x)=\left(2*\cos^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)-1\right)\*tan(\bruch{x}{2}) [/mm] $
Ich habe allerdings keine Ahnung wie ich das jetzt integrieren sol...
Gruß
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Multipliziere aus und verwende beim ersten Summanden die Definition des Tangens als Sinus durch Cosinus. Dann noch das bekannte [mm]2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x[/mm].
Und jetzt erst integrieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Sa 01.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
Danke für eure Hilfe!
Es kommt ja alles so hin. Allerdings würde ich gern wissen wo ihr die her habt:
$ [mm] \cos\left(x\right)=2\cdot{}\cos^{2}\left(\bruch{x}{2}\right)-1 [/mm] $
$ 2 [mm] \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} [/mm] = [mm] \sin [/mm] x $
Denn in keinem meiner Bücher stehen die drinn und ohne eure Hilfe wäre ich nie auf das Ergebnis gekommen...
Und dann hab ich noch mal ne kleine Frage, warum meine Umformung nicht hin kommt.
[mm] K'(x)=cos(x)\*tan\left(\bruch{x}{2}\right)=cos(x)\*\bruch{1-cos(x)}{sin(x)}=\bruch{cos(x)}{sin(x)}-\bruch{cos^{2}(x)}{sin(x)}
[/mm]
[mm] K(x)=\integral_{}^{}{\bruch{cos(x)}{sin(x)} dx}-\integral_{}^{}{\bruch{cos^{2}(x)}{sin(x)} dx}=ln(sin(x))-[cos(x)+ln(tan(\bruch{x}{2}))]+C
[/mm]
Gruß
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Die folgenden Formeln sind zentral:
1. trigonometrischer Pythagoras
[mm]\sin^2 x + \cos^2 x = 1[/mm]
2. Formeln für das doppelte Argument
a) [mm]\sin(2x) = 2 \sin x \cos x[/mm]
b) [mm]\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x[/mm]
Die Kombination von 2.b) mit 1. erlaubt es, [mm]\cos(2x)[/mm] alleine durch [mm]\cos^2 x[/mm] bzw. [mm]\sin^2 x[/mm] auszudrücken. Das führt auf die bei der vorliegenden Differentialgleichung verwendete Formel (dort ist nur [mm]x[/mm] durch [mm]\frac{x}{2}[/mm] ersetzt).
Die Formeln in 2. sind letzten Endes Spezialfälle der Additionstheoreme. Setze in diesen [mm]y=x[/mm].
3. Additionstheoreme
a) [mm]\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y[/mm]
b) [mm]\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y[/mm]
Zur zweiten Frage: Deine Art der Integration ist auch richtig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Sa 01.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Hallo,
ich nochmal.
Also entweder ich kann nicht tippen, oder eine Lösung stimmt nicht...
[mm] $K(x)=[C+2ln(cos(\bruch{x}{2}))-cos(x)]$
[/mm]
Mit $ C=0 $ und $ x=1 $ komme ich so auf $-0,99$
Hier komme ich auf
[mm] $K(x)=ln(sin(x))-[cos(x)+ln(tan(\bruch{x}{2}))]+C=-0,31 [/mm] $
Da stimmt doch was nicht!!!
Gruß
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Doch - alles stimmt! Das Problem liegt im Begriff des unbestimmten Integrals. Man schreibt ja
[mm]\int f(x)~\mathrm{d}x = F(x) + C[/mm]
wo [mm]C[/mm] für eine nicht näher bestimmte Integrationskonstante steht. Richtigerweise müßte man aber
[mm]\int f(x)~\mathrm{d}x = \left\{ F \, \left| \ \exists C: \ F(x) = F_0(x) + C \, \right. \right\}[/mm]
schreiben (wobei [mm]F_0[/mm] eine fest gewählte Stammfunktion von [mm]f[/mm] sei). Nur macht das keiner.
Und in der Tat ist die Menge aller Stammfunktionen [mm]K[/mm] der ersten Variante gleich der Menge aller Stammfunktionen [mm]K[/mm] der zweiten Variante, nur erhält man nicht für dasselbe [mm]C[/mm] dieselbe Stammfunktion. Die Stammfunktionen für dasselbe C unterscheiden sich additiv um [mm]\ln 2[/mm]. Warum das so ist, kannst du ja einmal selber herauszufinden versuchen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:26 Sa 01.08.2009 | | Autor: | LowBob |
Danke!
OK, dann bin ich ja beruhigt, dass meine Lösung auch richtig war. Ich habe mir zwar schon gedacht, dass es an der Integrationskonstante liegt wollte es mir aber nicht zu einfach machen.
Da demnächst Klausuren anliegen werde ich wohl nicht tiefer einsteigen können um das mit dem ln herauszufinden. Aber dafür werde ich bestimmt noch viele andere lustige Fragen an euch haben 
Gruß
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