Inhomog lineare DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Sa 03.12.2016 | | Autor: | Stala |
| Aufgabe | Man bestimme die allgemeine LÖsung der inhomogenen Gleichung
y'' + [mm] 2\rho [/mm] y' + [mm] \omega_0^2y [/mm] = a [mm] \cos(\omega [/mm] x)
im Fall [mm] \omega_0 [/mm] > [mm] \rho [/mm] und [mm] \omega_0, \rho, [/mm] a [mm] \omega [/mm] pos. reelle Konstanten
Tipp: Es empfiehlt sich nicht eine Variation der Konstanten durchzuführen. Es darf ohne Beweis die Beziehung verwnedet werden:
A [mm] \cos \omega [/mm] x + B [mm] \sin \omega [/mm] x = [mm] \sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega [/mm] x + [mm] \varphi) [/mm] mit [mm] \varphi \in [/mm] [0, 2 [mm] \pi[ [/mm] |
Hallo liebes Forum. Ich grübele schon eine ganze Weile über der LÖsung dieser Aufgaben. In einer vorhergehenden Teilaufgabe habe ich als Fundamentalsystem der homogenen Gleichung im Fall [mm] \omega [/mm] > [mm] \rho [/mm] errechnet:
y = [mm] \left( e^{-\rho x} \cos \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) , e^{-\rho x} \sin \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) \right) [/mm]
Für die inhomogene Gleichung soll man ja einen speziellen Ansatz wählen. Aus der VL ist der Satz bekannt:
Sind die Koeffezienten der DGL
[mm] y^{n} [/mm] + [mm] a_1 y^{(n-1)} [/mm] ... + [mm] a_n [/mm] y = [mm] x^s e^{\alpha x} \cos (\beta [/mm] x)
reell und ist r die Ordnung von [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \beta [/mm] als Nullstelle des char. Polynoms, so hat die DGL eine Lösung der Form:
[mm] y_0 [/mm] = (P(x) [mm] \cos (\beta [/mm] x) + Q(x) [mm] \sin ((\beta x)))e^{\alpha x}
[/mm]
wo P und Q Polynome sind, deren Grad höchstens r+s ist.
Die Voraussetzungen sind ja alle erfüllt, die Nullstelle des char. Polynoms ist [mm] \( \lambda_1 [/mm] = - [mm] \rho [/mm] - [mm] i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \) [/mm] und [mm] \( \lambda_2 [/mm] = - [mm] \rho [/mm] + [mm] i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \), [/mm] also r=0. Außerdem sind s = [mm] \alpha [/mm] = 0, also müsste ich ja mit dem Ansatz P;Q relle Konstanten sein.
[mm] y_0(x) [/mm] = [mm] A(\cos (\omega [/mm] x) + [mm] B\sin (\omega [/mm] x)) = [mm] \sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega [/mm] x + [mm] \varphi) [/mm] zum Erfolg gelangen.
Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
[mm] \sqrt{A^2 + B^2} \left( -\omega^2 \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) + \omega_0^2 \sin(\omega x + \varphi) \right) [/mm] = a [mm] \cos(\omega [/mm] x)
Weitere Umformungen führen auf:
[mm] \sqrt{A^2 + B^2} [/mm] = [mm] \frac{a \cos(\omega x)}{\left( (\omega_0^2-\omega^2) \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) \right)} [/mm]
Kann mir jemand sagen, ob ich hier weitermachen muss? Oder ob ich völlig auf dem falschen Dampfer bin?
VG
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> Man bestimme die allgemeine LÖsung der inhomogenen
> Gleichung
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> y'' + [mm]2\rho[/mm] y' + [mm]\omega_0^2y[/mm] = a [mm]\cos(\omega[/mm] x)
>
> im Fall [mm]\omega_0[/mm] > [mm]\rho[/mm] und [mm]\omega_0, \rho,[/mm] a [mm]\omega[/mm] pos.
> reelle Konstanten
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> Tipp: Es empfiehlt sich nicht eine Variation der Konstanten
> durchzuführen. Es darf ohne Beweis die Beziehung verwnedet
> werden:
> A [mm]\cos \omega[/mm] x + B [mm]\sin \omega[/mm] x = [mm]\sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega[/mm]
> x + [mm]\varphi)[/mm] mit [mm]\varphi \in[/mm] [0, 2 [mm]\pi[[/mm]
> Hallo liebes Forum. Ich grübele schon eine ganze Weile
> über der LÖsung dieser Aufgaben. In einer vorhergehenden
> Teilaufgabe habe ich als Fundamentalsystem der homogenen
> Gleichung im Fall [mm]\omega[/mm] > [mm]\rho[/mm] errechnet:
>
> y = [mm]\left( e^{-\rho x} \cos \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) , e^{-\rho x} \sin \left(x\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2}\right) \right)[/mm]
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> Für die inhomogene Gleichung soll man ja einen speziellen
> Ansatz wählen. Aus der VL ist der Satz bekannt:
>
> Sind die Koeffezienten der DGL
>
> [mm]y^{n}[/mm] + [mm]a_1 y^{(n-1)}[/mm] ... + [mm]a_n[/mm] y = [mm]x^s e^{\alpha x} \cos (\beta[/mm]
> x)
>
> reell und ist r die Ordnung von [mm]\alpha[/mm] + i [mm]\beta[/mm] als
> Nullstelle des char. Polynoms, so hat die DGL eine Lösung
> der Form:
>
> [mm]y_0[/mm] = (P(x) [mm]\cos (\beta[/mm] x) + Q(x) [mm]\sin ((\beta x)))e^{\alpha x}[/mm]
>
> wo P und Q Polynome sind, deren Grad höchstens r+s ist.
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> Die Voraussetzungen sind ja alle erfüllt, die Nullstelle
> des char. Polynoms ist [mm]\( \lambda_1[/mm] = - [mm]\rho[/mm] -
> [mm]i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \)[/mm] und [mm]\( \lambda_2[/mm] = - [mm]\rho[/mm] +
> [mm]i\sqrt{\omega_0^2 - \rho^2} \),[/mm] also r=0. Außerdem sind s
> = [mm]\alpha[/mm] = 0, also müsste ich ja mit dem Ansatz P;Q relle
> Konstanten sein.
>
> [mm]y_0(x)[/mm] = [mm]A(\cos (\omega[/mm] x) + [mm]B\sin (\omega[/mm] x)) = [mm]\sqrt{A^2 + B^2} \sin (\omega[/mm]
> x + [mm]\varphi)[/mm] zum Erfolg gelangen.
Hallo,
bis hier sieht alles gut aus.
Du solltest an dieser Stelle die Ansatzfunktion in der Form [mm]A\cos\omega x+B\sin\omega x[/mm] in die DGL einsetzen. Dann bekommst du durch Koeffizientenvergleich zwei Gleichungen, mit denen du A und B bestimmen kannst.
>
> Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt:
>
> [mm]\sqrt{A^2 + B^2} \left( -\omega^2 \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) + \omega_0^2 \sin(\omega x + \varphi) \right)[/mm]
> = a [mm]\cos(\omega[/mm] x)
>
> Weitere Umformungen führen auf:
>
> [mm]\sqrt{A^2 + B^2}[/mm] = [mm]\frac{a \cos(\omega x)}{\left( (\omega_0^2-\omega^2) \sin(\omega x + \varphi) + 2\rho \omega \cos(\omega x + \varphi) \right)}[/mm]
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> Kann mir jemand sagen, ob ich hier weitermachen muss? Oder
> ob ich völlig auf dem falschen Dampfer bin?
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> VG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 03.12.2016 | | Autor: | Stala |
Danke, das war danach noch sehr viel Rehnerei und Umformerei, aber so bin ich auf ein Ergebnis gekommen, dass sinnvoll aussieht.
Vielen Dank!
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