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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Vedaykin |
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Hallo!
Aufgabe ist es, die Stammfunktion dieser inhomogenen Differentialgleichung erster Ordnung und zweiten Grades zu finden:
[mm] y'=\bruch{1+y^2}{x^3+4x^2}
[/mm]
Ich habe versucht die allgemeine Lösung der zugeordneten homogenen DGL zu finden, also:
[mm]y'=\bruch{y^2}{x^3+4x^2}[/mm]
Die Anwendung der Partiellen-Integration führte mich in eine Sackgasse:
[mm] y'=\bruch{y^2}{x^3+4x^2}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{y^2}{x^3+4x^2}
[/mm]
Es folgt die Trennung der Variablen und aufstellen des Integrals
[mm] \integral{\bruch{1}{y^2}dy}=\integral{\bruch{1}{x^3+4x^2}dx}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{y^2}dy}=\integral{x^{-2}*(x+4)^{-1}dx} [/mm] ich wählte [mm] u'=x^{-2} [/mm] und [mm] v=(x+4)^{-1}
[/mm]
[mm] \bruch{{-1}}{y}=(x+4)^{-1}*\bruch{-1}{x}-\integral{\bruch{1}{x}*\bruch{1}{(x+4)^2}dx} [/mm]
Hier habe ich gestoppt, den Weg weiter zu verfolgen. Es gab für mich keine sichtbare Lösung dieses Integrals durch Partielle-Integration.
Auch Substitution funktionierte nicht, da der Zähler nicht die Ableitung des Nenners ergab und die Ableitung des Nenners ergab auch keine Konstante. Der einzige Weg, der mich weiterführte, war durch Partialbruchzerlegung. Ich hatte die Lösung für die allgemeine homogene Lösung, kam aber bei der Variation der Konstanten nicht weiter. Nach kürzen der Brüche hatte ich immer noch C(x) und C'(X) in meiner Gleichung.
[mm] \integral{\bruch{1}{x^2*(x+4)}dx}=\integral{\bruch{A}{x^2}dx}+\integral{\bruch{B}{x+4}dx}
[/mm]
wenn x=0 ist [mm] A=\bruch{1}{4}
[/mm]
wenn x=-4 ist [mm] B=\bruch{1}{16}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{y}=\bruch{1}{4}*\integral{\bruch{1}{x^2}dx}+\bruch{1}{16}*\integral{\bruch{1}{x+4}dx}
[/mm]
[mm] \bruch{-1}{y}=\bruch{-1}{4x}+\bruch{1}{16}*ln(x+4)+C
[/mm]
[mm] y=\bruch{1}{\bruch{1}{4x}-\bruch{1}{16}*ln(x+4)+C}
[/mm]
Es folgt schritt 2. Suchen der partiellen Lösung der zugeordneten inhomogenen Differentialgleichung (VdK).
C=C(x)
[mm] y=\bruch{1}{\bruch{1}{4x}-\bruch{1}{16}*ln(x+4)+C(x)}
[/mm]
y'= ergibt einen ziemlich wirren ausdruck, der noch verworrender wird, wenn man ihn in die Gleichung [mm] y'=(1+y'^2)/(x^3+4x^2) [/mm] einsetzt, um C'(x) zu erhalten. Es kürzt sich C(x) nicht raus. Entweder bedeutet das, ich habe mich verrechnet, oder ich habe den falschen weg gewählt. Das Problem war, [mm] y'=(1+y^2)/(x^3+4x^2) [/mm] zu lösen.
Das ist mein erster Beitrag in diesem Forum, und bitte um entschuldigung, wenn ich mich nicht genau an die Forenregeln gehalten habe. Viel Spass beim Rechnen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Vedaykin,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Probier' es doch mal sofort mit der Trennung der Variablen:
[mm]y' \ = \ \bruch{1+y^2}{x^3+4x^2}[/mm] [mm]\gdw[/mm] [mm]\blue{\integral}\bruch{dy}{1+y^2} \ = \ \blue{\integral}\bruch{dx}{x^3+4x^2}[/mm]
Links lautet die Stammfunktion [mm] $\arctan(y)$, [/mm] und rechts funktioniert die Integration - wie Du ja bereits erkannt hast - über die Partialbruchzerlegung.
Gruß
Loddar
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