Inhomogene DGS < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Inhomogene Differentialgleichungssysteme |
Hallo,
Ich brauche dringend Hilfe...
Es geht um inhomogene DGS mittels Ansatzmethode.
Unten wird zuerst di Angabe beschrieben :
(Obwohl diese sehr lange Aufgaben sind werde ich versuchen diese etwa zu verkuerzen ).
Also,
L¨osen Sie die folgenden inhomogenen Differentialgleichungssysteme mit der Ansatzmethode:
a)
y'= [mm] \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}y+ \begin{pmatrix}
0 \\
2e^t
\end{pmatrix} [/mm] mit Eigenwerte [mm] \lambda_1,_2=1
[/mm]
b) y'= [mm] \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}y+ \begin{pmatrix}
cost \\
0
\end{pmatrix} [/mm] mit Eigenwerte [mm] \lambda_1,_2=1
[/mm]
c) y'= [mm] \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}y+ \begin{pmatrix}
cost \\
0
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}
0 \\
2e^t
\end{pmatrix} [/mm] mit Eigenwerte [mm] \lambda_1,_2=1
[/mm]
zum a)
Ich finde finde zuerst Eigenvektoren zum [mm] \lambda_1,_2=1
[/mm]
Die algebreiche Vielfachheit a(1)=2
Eigenvektor [mm] \vec [/mm] x= [mm] \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} [/mm] geometriche Vielfachheit g(1)=1
d.h. die Matrix A ist nicht diagonalisierbar.
Erste Loesung [mm] \vec y_1=\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}e^t
[/mm]
Da es zu wenig Loesungen gibt muss ich weiter mit :
[mm] (A-I)^2=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix} [/mm] und finde [mm] \vec x_1=\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix} [/mm] und [mm] \tilde u_2=\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix} [/mm] . [mm] \tilde u_2 [/mm] muss lin. unabh. von [mm] \vec x_1 [/mm] sein.
und endlich [mm] \vec y_2=[I+t(A-I)] \tilde u_2e^t=\begin{pmatrix}
1+t \\
t
\end{pmatrix}e^t
[/mm]
Fundamentalsystem lautet : [ [mm] \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}e^t,\begin{pmatrix}
1+t \\
t
\end{pmatrix}e^t
[/mm]
[mm] Y_h=C_1 \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}e^t+C_2 \begin{pmatrix}
1+t \\
t
\end{pmatrix}e^t
[/mm]
Unser Stoervektor lautet [mm] \vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2e^t
\end{pmatrix} [/mm] bzw. [mm] \vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t
[/mm]
Aber zuerst etwas allgemein zur Ansatzmethode
[mm] \vec [/mm] f=( [mm] \vec r_0+ \vec r_1t+...+r_mt^m)e^ \alpha^t [/mm] cos [mm] \beta*t+( \vec s_0+ \vec s_1t+...+s_mt^m)e^ \alpha^t [/mm] sin [mm] \beta*t
[/mm]
Falls [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \beta [/mm] = [mm] \lambda_k [/mm] haben wir Resonanzfall
In unserem Fall laut [mm] \vec f=\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t [/mm] haben wir m=0 ( da es kein Grad gibt)
[mm] \alpha [/mm] =1 und [mm] \beta [/mm] =0 . Daher [mm] \alpha [/mm] + i [mm] \beta [/mm] =1 also Resonanzfall v=2-1+1=2 . Im Resonanzfall wird Polynom fuer 2 Grad erhoeht und zwar
[mm] \vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)e^t [/mm] cos0*t+( [mm] \vec s_0+ \vec s_1t+s_2t^2)e^t [/mm] sin0*t
[mm] \vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)e^t
[/mm]
( [mm] \vec y_p(t))'=( [/mm] ( [mm] \vec a_0+a_1)+( \vec a_1+ 2\vec a_2)t+ \vec a_2t^2))e^t. [/mm]
Einsetzen [mm] (Y_p(t))'=Ay_p(t)+ \vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t
[/mm]
( ( [mm] \vec a_0+a_1)+( \vec a_1+ 2\vec a_2)t+ \vec a_2t^2))e^t=A* \vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)e^t [/mm] + [mm] \vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t
[/mm]
Dividieren durch [mm] e^t [/mm] und Koeffizientenvergleich liefert:
[mm] t^2 [/mm] : [mm] \vec a_2=A* \vec [/mm] _a2
[mm] t^1 [/mm] : [mm] \vec a_1+2* \vec a_2=A* \vec a_1
[/mm]
[mm] t^0 [/mm] : [mm] \vec a_0+ \vec a_1=A* \vec_a0+ \begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix} [/mm]
Also :
[mm] t^2: [/mm] (A-I)* [mm] \vec a_2=0
[/mm]
[mm] t^1: [/mm] (A-I)* [mm] \vec a_1=2* \vec a_2
[/mm]
[mm] t^0: [/mm] (A-I)* [mm] \vec a_0= \vec a_1- \begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}
[/mm]
Endlich komme ich zu meinem Problem.
Also, wie finde ich die [mm] \vec a_1 [/mm] usw. ???
zum b)
Also das gleiche Verfahren geht es bis zum loesen des homogenen Teils.
was ich mir aber nicht unklar ist ob ich den Stoervektor so bilde :
[mm] \vec f=(\vec f\begin{pmatrix}
cost \\
0
\end{pmatrix} [/mm] bzw. [mm] \vec f=\vec f\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}cost
[/mm]
Wie beim Beispiel a) habe ich in diesem fall m=0 aber jetzt habe ich kein [mm] \alpha [/mm] und aber schon ein [mm] \beta. [/mm]
d.h. m=0, [mm] \alpha=0 [/mm] und [mm] \beta [/mm] =1.
Auch in diesem Fall haben wir Resonanzfall und nach Ansatz haben wir
[mm] \vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)cost+( \vec s_0+ \vec s_1t+s_2t^2)sint
[/mm]
( [mm] \vec y_p(t))'=( \vec a_1+ [/mm] 2 [mm] \vec [/mm] a_2t)*cost- ( [mm] \vec a_0+ \vec [/mm] a_1t+ [mm] \vec a_2t^2)sint+( \vec s_1+2 \vec [/mm] s_2t)sint+ ( [mm] \vec s_0+ \vec [/mm] s_1t+ [mm] \vec s_2t^2)cost
[/mm]
Falls ich bis jetzt gut bin, wie finde ich weiter die [mm] \vec a_1 [/mm] usw.
Ich danke fuer Ihre Geduld, dass Ihr die Aufgaben gelesen habt und hoffe dass Jemand eine Antwort mir dazu geben wird .
Vielen Dank fuer Verstaendniss,
Freundliche Gruesse,
Fidan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo fidanfidan,
> Inhomogene Differentialgleichungssysteme
> Hallo,
> Ich brauche dringend Hilfe...
>
> Es geht um inhomogene DGS mittels Ansatzmethode.
> Unten wird zuerst di Angabe beschrieben :
> (Obwohl diese sehr lange Aufgaben sind werde ich versuchen
> diese etwa zu verkuerzen ).
> Also,
> L¨osen Sie die folgenden inhomogenen
> Differentialgleichungssysteme mit der Ansatzmethode:
> a)
> y'= [mm]\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}y+ \begin{pmatrix}
0 \\
2e^t
\end{pmatrix}[/mm]
> mit Eigenwerte [mm]\lambda_1,_2=1[/mm]
>
> b) y'= [mm]\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}y+ \begin{pmatrix}
cost \\
0
\end{pmatrix}[/mm]
> mit Eigenwerte [mm]\lambda_1,_2=1[/mm]
>
> c) y'= [mm]\begin{pmatrix}
2 & -1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}y+ \begin{pmatrix}
cost \\
0
\end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\begin{pmatrix}
0 \\
2e^t
\end{pmatrix}[/mm] mit Eigenwerte
> [mm]\lambda_1,_2=1[/mm]
>
> zum a)
>
> Ich finde finde zuerst Eigenvektoren zum [mm]\lambda_1,_2=1[/mm]
> Die algebreiche Vielfachheit a(1)=2
> Eigenvektor [mm]\vec[/mm] x= [mm]\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}[/mm] geometriche Vielfachheit g(1)=1
> d.h. die Matrix A ist nicht diagonalisierbar.
> Erste Loesung [mm]\vec y_1=\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}e^t[/mm]
>
> Da es zu wenig Loesungen gibt muss ich weiter mit :
>
> [mm](A-I)^2=\begin{pmatrix}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{pmatrix}[/mm] und finde [mm]\vec x_1=\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\tilde u_2=\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}[/mm] .
> [mm]\tilde u_2[/mm] muss lin. unabh. von [mm]\vec x_1[/mm] sein.
> und endlich [mm]\vec y_2=[I+t(A-I)] \tilde u_2e^t=\begin{pmatrix}
1+t \\
t
\end{pmatrix}e^t[/mm]
>
> Fundamentalsystem lautet : [ [mm]\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}e^t,\begin{pmatrix}
1+t \\
t
\end{pmatrix}e^t[/mm]
>
> [mm]Y_h=C_1 \begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}e^t+C_2 \begin{pmatrix}
1+t \\
t
\end{pmatrix}e^t[/mm]
>
> Unser Stoervektor lautet [mm]\vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2e^t
\end{pmatrix}[/mm]
> bzw. [mm]\vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t[/mm]
>
> Aber zuerst etwas allgemein zur Ansatzmethode
> [mm]\vec[/mm] f=( [mm]\vec r_0+ \vec r_1t+...+r_mt^m)e^ \alpha^t[/mm] cos
> [mm]\beta*t+( \vec s_0+ \vec s_1t+...+s_mt^m)e^ \alpha^t[/mm] sin
> [mm]\beta*t[/mm]
> Falls [mm]\alpha[/mm] + i [mm]\beta[/mm] = [mm]\lambda_k[/mm] haben wir Resonanzfall
> In unserem Fall laut [mm]\vec f=\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t[/mm]
> haben wir m=0 ( da es kein Grad gibt)
> [mm]\alpha[/mm] =1 und [mm]\beta[/mm] =0 . Daher [mm]\alpha[/mm] + i [mm]\beta[/mm] =1 also
> Resonanzfall v=2-1+1=2 . Im Resonanzfall wird Polynom fuer
> 2 Grad erhoeht und zwar
> [mm]\vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)e^t[/mm] cos0*t+( [mm]\vec s_0+ \vec s_1t+s_2t^2)e^t[/mm]
> sin0*t
> [mm]\vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)e^t[/mm]
> ( [mm]\vec y_p(t))'=([/mm]
> ( [mm]\vec a_0+a_1)+( \vec a_1+ 2\vec a_2)t+ \vec a_2t^2))e^t.[/mm]
> Einsetzen [mm](Y_p(t))'=Ay_p(t)+ \vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t[/mm]
>
> ( ( [mm]\vec a_0+a_1)+( \vec a_1+ 2\vec a_2)t+ \vec a_2t^2))e^t=A* \vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)e^t[/mm]
> + [mm]\vec f\begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}e^t[/mm]
>
> Dividieren durch [mm]e^t[/mm] und Koeffizientenvergleich liefert:
> [mm]t^2[/mm] : [mm]\vec a_2=A* \vec[/mm] _a2
> [mm]t^1[/mm] : [mm]\vec a_1+2* \vec a_2=A* \vec a_1[/mm]
> [mm]t^0[/mm] : [mm]\vec a_0+ \vec a_1=A* \vec_a0+ \begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}[/mm]
> Also :
>
> [mm]t^2:[/mm] (A-I)* [mm]\vec a_2=0[/mm]
> [mm]t^1:[/mm] (A-I)* [mm]\vec a_1=2* \vec a_2[/mm]
>
> [mm]t^0:[/mm] (A-I)* [mm]\vec a_0= \vec a_1- \begin{pmatrix}
0 \\
2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Endlich komme ich zu meinem Problem.
> Also, wie finde ich die [mm]\vec a_1[/mm] usw. ???
>
Bestimme zunächst den Vektor [mm]\vec a_2[/mm].
Dieser ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.
> zum b)
>
> Also das gleiche Verfahren geht es bis zum loesen des
> homogenen Teils.
> was ich mir aber nicht unklar ist ob ich den Stoervektor
> so bilde :
>
> [mm]\vec f=(\vec f\begin{pmatrix}
cost \\
0
\end{pmatrix}[/mm]
> bzw. [mm]\vec f=\vec f\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}cost[/mm]
>
> Wie beim Beispiel a) habe ich in diesem fall m=0 aber jetzt
> habe ich kein [mm]\alpha[/mm] und aber schon ein [mm]\beta.[/mm]
> d.h. m=0, [mm]\alpha=0[/mm] und [mm]\beta[/mm] =1.
> Auch in diesem Fall haben wir Resonanzfall und nach Ansatz
> haben wir
> [mm]\vec y_p(t)=( \vec a_0+ \vec a_1t+a_2t^2)cost+( \vec s_0+ \vec s_1t+s_2t^2)sint[/mm]
>
> ( [mm]\vec y_p(t))'=( \vec a_1+[/mm] 2 [mm]\vec[/mm] a_2t)*cost- ( [mm]\vec a_0+ \vec[/mm]
> a_1t+ [mm]\vec a_2t^2)sint+( \vec s_1+2 \vec[/mm] s_2t)sint+ ( [mm]\vec s_0+ \vec[/mm]
> s_1t+ [mm]\vec s_2t^2)cost[/mm]
> Falls ich bis jetzt gut bin, wie
> finde ich weiter die [mm]\vec a_1[/mm] usw.
>
Der Ansatz lautet hier
[mm]\vec y_p(t)= \vec a_0 cost+\vec s_0 sint[/mm]
> Ich danke fuer Ihre Geduld, dass Ihr die Aufgaben gelesen
> habt und hoffe dass Jemand eine Antwort mir dazu geben wird
> .
>
> Vielen Dank fuer Verstaendniss,
>
> Freundliche Gruesse,
>
> Fidan
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruss
MathePower
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