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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Inhomogene lineare DGL
Inhomogene lineare DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Inhomogene lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Sa 12.02.2011
Autor: zocca21

Aufgabe
Bestimmen sie alle allgemeinen reele Lösungen

y" - 2y' + y = sinh(x)

Meine homogene Lösung ist doch nun:

[mm] \lambda_1 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_2=1 [/mm]

[mm] f_h [/mm] = [mm] C_1 [/mm] * [mm] e^x [/mm] + [mm] C_2 [/mm] * [mm] e^x [/mm]

Meine Wronski Matrix:

[mm] \pmat{ e^x & e^x \\ e^x & e^x } [/mm]

Unsere gleichung um die Partikuläre Lösung:

[mm] f_p [/mm] = [mm] C_1(x) [/mm] * [mm] e^x [/mm] + [mm] C_2(x) [/mm] * [mm] e^x [/mm]

ist nun

M(x) * [mm] \pmat{ C'1(x) \\ C'2(x) } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 \\ sinh(x) } [/mm]

Nun würde ich eigentlich die Inverse der Wronski Matrix machen und dann Integrieren.
Jedoch habe ich hier ein Problem, dass die Wronski Matrix wie ich sie aufgestellt habe ja die Determinante 0 hat und somit keine Inverse.

Wo ist mein Fehler?

Vielen Dank

        
Bezug
Inhomogene lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 Sa 12.02.2011
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Bestimmen sie alle allgemeinen reele Lösungen
>  
> y" - 2y' + y = sinh(x)
>  Meine homogene Lösung ist doch nun:
>  
> [mm]\lambda_1[/mm] = 1 und [mm]\lambda_2=1[/mm]
>  
> [mm]f_h[/mm] = [mm]C_1[/mm] * [mm]e^x[/mm] + [mm]C_2[/mm] * [mm]e^x[/mm]


Du hast hier eine doppelte Lösung [mm]\ļambda_{1}=\lambda_{2}=1[/mm]

Daher ergibt sich die Lösung der homogenen DGL zu:

[mm]y_h = C_{1}* e^ {x}+ C_{2} *\red{x}*e^{x}[/mm]



>  
> Meine Wronski Matrix:
>  
> [mm]\pmat{ e^x & e^x \\ e^x & e^x }[/mm]
>  
> Unsere gleichung um die Partikuläre Lösung:
>  
> [mm]f_p[/mm] = [mm]C_1(x)[/mm] * [mm]e^x[/mm] + [mm]C_2(x)[/mm] * [mm]e^x[/mm]
>  
> ist nun
>
> M(x) * [mm]\pmat{ C'1(x) \\ C'2(x) }[/mm] = [mm]\pmat{ 0 \\ sinh(x) }[/mm]
>  
> Nun würde ich eigentlich die Inverse der Wronski Matrix
> machen und dann Integrieren.
>  Jedoch habe ich hier ein Problem, dass die Wronski Matrix
> wie ich sie aufgestellt habe ja die Determinante 0 hat und
> somit keine Inverse.
>  
> Wo ist mein Fehler?


Die zwei Lösungen, die Du angibst, sind linear abhängig.


>  
> Vielen Dank


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Inhomogene lineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:33 Sa 12.02.2011
Autor: zocca21

Danke sehr..habs gelöst ;)

Bezug
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