Inj. / Surj. von Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 06.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Hallo!
Ich habe eine Frage:
Wie weise ich bei einer Abbildung f: [mm] (\IR, [/mm] +) [mm] \to (\IR, [/mm] +), bzw. [mm] f:(\IR\setminus{0}, [/mm] *) [mm] \to (\IR\setminus{0}, [/mm] *) mit f: a [mm] \mapsto a^{2} [/mm] nach, daß sie surjektiv, bzw. injektiv ist?
Was surjektiv und injektiv bedeuten, ist mir relativ klar, auch wie ich das bei Mengen nachweise. Ich weiß nur nicht, wie ich die die Abbildungen in der Gruppe miteinbauen soll?
Idee: Ich nehme statt a [mm] \in [/mm] Menge M einfach ein a,b [mm] \in \IR [/mm] und weise es mit einer additiven Verknüpfung nach? Geht sowas?
Gruß
Michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:01 Sa 06.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich nehme mal an, dass im Falle [mm] $(\IR,+)$ [/mm] unter [mm] $a^2$ [/mm] dann $a [mm] \circ [/mm] a = a+a = 2a$ zu verstehen ist.
Du musst also zeigen, dass die Abbildung
$f: [mm] \begin{array}{ccc} \IR & \to & \IR \\[5pt] x & \mapsto & 2x \end{array}$
[/mm]
injektiv ist (surjektiv ist sie offenbar nicht -> warum?).
Anschließend musst du im Falle [mm] $(\IR \setminus \{0\},\cdot)$ [/mm] die Abbildung
$f: [mm] \begin{array}{ccc} \IR \setminus\{0\} & \to & \IR \setminus \{0\}\\[5pt] x & \mapsto & x^2 = x \cdot x\end{array}$
[/mm]
betrachten. Sie ist aber weder injektiv noch surjektiv. (Warum?)
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 So 07.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Hi Stefan,
Danke für deine Antwort! Ich habe mich eben mit ein paar Kommuli ... Kommuni ... Mitstudenten  getroffen und wir sind zu folgenden Ergebnissen gekommen:
> Ich nehme mal an, dass im Falle [mm](\IR,+)[/mm] unter [mm]a^2[/mm] dann [mm]a \circ a = a+a = 2a[/mm]
> zu verstehen ist.
Wir haben von der Assistentin des Professors ein Beispiel dazu bekommen. Deshalb denken wir, daß bei [mm](\IR,+)[/mm] f ebenfalls a quadriert, also [mm]a^{2} + a^{2} \mapsto (a + a)^{2} = (a + a)(a + a)[/mm], wonach f kein Homomorphismus ist.
Bei $ ( [mm] \IR [/mm] ^{x}, *) [mm] \to [/mm] ( [mm] \IR [/mm] ^{x}, *) $ haben wir also einen Homomorphismus. Jetzt war die nächste Frage: Wenn ich die Abbildung von f auf [mm] \IR \setminus\{0\} [/mm] einschränke, was kann ich noch über f aussagen.
Meine Idee: Da das Bild von f bei allen [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] gleich $ [mm] \IR [/mm] _{>0} $
ist (da [mm] a\mapstoa^{2}) [/mm] bildet ja nun $ [mm] \IR [/mm] _{>0} $ auf [mm] $\IR [/mm] _{>0} $ ab und die Abbildung wäre bijektiv und mit dem Homomorphismus zusammen ein Isomorphismus.
Das scheint aber nicht ganz zu stimmen, wie du hier schreibst:
> [mm]f: \begin{array}{ccc} \IR \setminus\{0\} & \to & \IR \setminus \{0\}\\[5pt] x & \mapsto & x^2 = x \cdot x\end{array}[/mm]
>
> betrachten. Sie ist aber weder injektiv noch surjektiv.
> (Warum?)
Kannnst du mir erklären, warum das Bild weder injektiv, noch surjektiv ist?
Gruß und Danke
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 09.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Michael!
> > Ich nehme mal an, dass im Falle [mm](\IR,+)[/mm] unter [mm]a^2[/mm] dann [mm]a \circ a = a+a = 2a[/mm]
>
> > zu verstehen ist.
> Wir haben von der Assistentin des Professors ein Beispiel
> dazu bekommen. Deshalb denken wir, daß bei [mm](\IR,+)[/mm] f
> ebenfalls a quadriert, also [mm][mm]a^{2}[/mm] + [mm]a^{2} \mapsto[/mm] (a + [mm]a)^{2}[/mm] = (a + a)(a + [mm]a)[/mm],[/mm] wonach f kein Homomorphismus ist.
Gut mag sein, dann ist es aber seltsam (denn bei einer Abbildung zwischen Gruppen ist die Potenz normalerweise die sukzessive Gruppenverknüpfung, hier also "+"). Aber gut, wenn ihr das an anderer Stelle auch schon mal so hattet...
Bei [mm]( \IR ^{x}, *) \to ( \IR ^{x}, *)[/mm] haben wir also einen Homomorphismus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt war die nächste Frage: Wenn ich die Abbildung von f auf [mm]\IR \setminus\{0\}[/mm] einschränke, was kann ich noch über f aussagen.
Meine Idee: Da das Bild von f bei allen [mm]\IR\setminus\{0\}[/mm] gleich [mm]\IR _{>0}[/mm]
ist (da [mm]a\mapstoa^{2})[/mm] bildet ja nun [mm]\IR _{>0} [/mm] auf [mm]\IR _{>0}[/mm] ab und die Abbildung wäre bijektiv und mit dem Homomorphismus zusammen ein Isomorphismus.
Also:
[mm]f: \begin{array}{ccc} \IR_{>0} & \to & \IR_{>0}\\[5pt] x & \mapsto & x^2 = x \cdot x\end{array}[/mm]
ist bijektiv, richtig.
Dagegen ist
[mm]f: \begin{array}{ccc} \IR_{>0} & \to & \IR \setminus\{0\} \\[5pt] x & \mapsto & x^2 = x \cdot x\end{array}[/mm]
injektiv, aber nicht surjektiv, wohingegen
[mm]f: \begin{array}{ccc} \IR \setminus\{0\} & \to & \IR_{>0} \\[5pt] x & \mapsto & x^2 = x \cdot x\end{array}[/mm]
surjektiv, aber nicht injektiv ist.
Demzufolge ist
[mm]f: \begin{array}{ccc} \IR \setminus\{0\} & \to & \IR \setminus\{0\}\\[5pt] x & \mapsto & x^2 = x \cdot x\end{array}[/mm]
weder surjektiv noch injektiv.
> Das scheint aber nicht ganz zu stimmen, wie du hier schreibst:
> [mm]f: \begin{array}{ccc} \IR \setminus\{0\} & \to & \IR \setminus \{0\}\\[5pt] x & \mapsto & x^2 = x \cdot x\end{array}[/mm]
>
> betrachten. Sie ist aber weder injektiv noch surjektiv.
> (Warum?)
Natürlich stimmt das, was ich da schreibe.
Die Abbildung ist nicht surjektiv, weil es kein $x [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] gibt mir [mm] $x^2=-1$, [/mm] und sie ist nicht injektiv, weil gilt: [mm] $(-1)^2 [/mm] = 1 = [mm] 1^2$, [/mm] also die $1$ (wie jede positive reelle Zahl) zwei Urbilder hat.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | mommermi |
Ja klar! Hatte kurz [mm] \IR\setminus\{0\} [/mm] mit [mm] \IR_{>0} [/mm] verwechselt. Jetzt ist aber alles klar!
Danke!
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