Injektiv., Surjekt. lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Sa 19.01.2008 | | Autor: | mr.flo |
| Aufgabe | f: [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] , [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] (x_{1}+x_{2},1)
[/mm]
f: [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] , [mm] f(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] (x_{3},x_{1}+x_{2}) [/mm] |
Hallo,
ich bereite mich gerade auf meine LA1 Klausur vor und habe Probleme, Injektivität und Surjektivität zu zeigen.
Das Problem ist: Ich habe noch kein gutes Verfahren, um das bei m.E. relativ einfachen Abbildungen zu zeigen.
Ich dachte mir, dass man es auf zwei Arten machen kann:
Injektiv: Man setzt [mm] (x_{1}+x_{2},1) [/mm] = [mm] (x_{1}'+x_{2}',1) [/mm] und folgert daraus, dass [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{1}' [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] = [mm] x_{2}'
[/mm]
Oder: Ich nehme an, dass f nicht injektiv ist, sage f(x) = f(x') und schließe daraus, dass x' [mm] \not= [/mm] x ist. Bei Widerspruch ist f injektiv
Surjektiv: Ich suche für f(x) ein x, mit dem ich y komplett darstellen kann. Etwa [mm] x=(\lambda, \mu) \in \IR² [/mm] . Bei einfachen Abbildungen geht das ja, aber wie finde ich das x bei etwas schwereren Abbildungen?
Sind das soweit brauchbare Verfahren? Oder habt ihr da bessere Ideen?
Jetzt kommen aber die Probleme:
Bei der ersten Aufgabe kriege ich für die Injektivität dann sowas:
[mm] x_{1}+x_{2} [/mm] = [mm] x_{1}'+x_{2}' [/mm] und 1 = 1
Wie gehts weiter? Ich sehe da keinen Weg, [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{1}' [/mm] und [mm] x_{2}=x_{2}' [/mm] zu folgern.
Bei der Widerspruchs-Variante bekomme ich dasselbe Problem.
Surjektivität: setze [mm] (x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] (\lambda,0). [/mm] Und das wars?
Okay, ich lasse es glaube ich erstmal hierbei und fände es gut, wenn ich dann zwischendrin noch ein paar Fragen stellen könnte.
Vielen Dank schonmal und viele Grüße,
Florian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> f: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] , [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm](x_{1}+x_{2},1)[/mm]
Zur Injektivität:
Vergleiche mal $f(-1,1)$ mit $f(0,0)$. Und es ist
$(-1,1) [mm] \not=(0,0)$
[/mm]
Also?
Zur Surjektivität:
Gibt es den beispielsweise [mm] $(x_1,x_2) \in \IR^2$ [/mm] mit [mm] $f(x_1,x_2)=(0,2)$?
[/mm]
> f: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] , [mm]f(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] =
> [mm](x_{3},x_{1}+x_{2})[/mm]
Diese Abbildung wird surjektiv sein, aber nicht injektiv. Kannst Du das nachprüfen?
Du kannst hier natürlich auch mit [mm] $f(x_1,x_2,x_3)=f(y_1,y_2,y_3)$ [/mm] ein Gleichungssystem erstellen, bei dem Du am Ende erkennst, dass man damit Punkte [mm] $(x_1,x_2,x_3) \not=(y_1,y_2,y_3)$ [/mm] angeben kann, die dennoch [mm] $f(x_1,x_2,x_3)=f(y_1,y_2,y_3)$ [/mm] erfüllen. Das wäre ein möglicher Rechenweg, wenn man sich noch nicht mit gewissen Arten von Abbildungen "auskennt", um die Injektivität zu widerlegen...
Analog könntest Du zeigen, dass man zu jedem [mm] $y=(y_1,y_2) \in \IR^2$ [/mm] ein [mm] $x=(x_1,x_2,x_3) \in \IR^3$ [/mm] findet mit $f(x)=y$.
Aber:
Die Abbildungen oben haben besonders schöne Eigenschaften:
Das erste ist eine affin lineare Abbildung, das zweite ist eine lineare Abbildung.
Es gibt zum einen Zusammenhänge zwischen einer affin linearen Abbildung mit einer linearen Abbildung, zum anderen gibt es schöne Sätze für lineare Abbildungen:
Zum Beispiel findest Du hier
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/linalg.pdf
ab Kapitel 7 (und ggf. auch sonst) Aussagen/Sätze etc. für lineare Abbildungen.
Ich würde hier z.B. so argumentieren:
Zu der ersten Abbildung:
Die erste Abbildung ist eine affin lineare Abbildung. Die zugehörige lineare Abbildung ist nicht injektiv, da der Kern der zugehörigen linearen Abbildung z.B. nicht nur die $0=(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] enthält (sondern beispielsweise auch $(-1,1)$). Da die Dimension des Urbildraumes und des Zielraumes, jeweils der [mm] $\IR^2$, [/mm] beide gleich und endlich sind (die Dimension ist nämlich 2), kann die zugehörige lineare Abbildung auch nicht surjektiv sein.
(Im Falle, dass die beiden Dimensionen gleich und jeweils endlich sind, ist eine lineare Abbildung genau dann injektiv, wenn sie surjektiv ist, was wiederum genau dann gilt, wenn sie bijektiv ist.)
Damit kann diese affin-lineare Abbildung auch nicht surjektiv sein.
(Vielleicht noch einfacher, um die Surjektivität zu widerlegen:
Dass die Abbildung nicht surjektiv ist, erkennt man alleine schon daran, dass für alle [mm] $x=(x_1,x_2) \in \IR^2$ $f(x)=f(x_1,x_2) \not=(0,0)$.)
[/mm]
Zu der zweiten Abbildung:
Diese Abbildung ist linear. Die Dimension des Urbildraumes ($=3$) und des Zielraumes ($=2$) sind beide endlich. Da die Dimension des Urbildraumes $>$ als die des Zielraumes ist, ist jede lineare Abbildung [mm] $\IR^3 \to \IR^2$ [/mm] nicht injektiv.
(Insbesondere ist damit die obige, spezielle lineare Abbildung als Abbildung [mm] $\IR^3 \to \IR^2$ [/mm] nicht injektiv!)
Dass die Abbildung surjektiv ist, erkennt man z.B. daran, dass
$f(0,0,1)=(1,0)$ und $f(1,0,0)=(0,1)$ und [mm] $\{(0,1), (1,0)\}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] bildet.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 20.01.2008 | | Autor: | mr.flo |
Hallo Marcel,
danke für deine Antwort. Injektivität ist jetzt klar. Wir hatten schon noch Sätze dazu, z.b. das Argument über den Kern. Wenn ich das verwende, ist es (zumindest für diese Aufgabentypen) sehr leicht.
Wegen $ (-1,1) [mm] \not=(0,0) [/mm] $ ist Kern f = [mm] \emptyset. [/mm] Also nicht injektiv.
Bei der anderen nicht injektiv, weil der Kern nicht nur aus dem Nullvektor besteht, sondern z.B. auch aus [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}.
[/mm]
Bei der Surjektivität hat es noch nicht ganz klick gemacht.
Bei der ersten Abbildung f: $ [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] $ , $ [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] (x_{1}+x_{2},1) [/mm] $ können nur Vektoren der Form [mm] \vektor{\alpha \\ 1} [/mm] mit [mm] \alpha \in \IR [/mm] rauskommen, also auch nicht (0,2). Folglich nicht surjektiv, oder?
Bei der zweiten > f: $ [mm] \IR^3 \to \IR^2 [/mm] $ , $ [mm] f(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] $ = $ [mm] (x_{3},x_{1}+x_{2}) [/mm] $ würde ich rein intuitiv sagen, dass die surjektiv ist, da jeder Vektor aus [mm] \IR^2 [/mm] erzeugt werden kann.
Klick hat es noch nicht so 100%ig gemacht, weil ich die Argumentation mit der Basis noch nicht ganz verstanden habe.
In meinem Skript steht:
f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] (B Basis von V [mm] \Rightarrow [/mm] <f(B)> = W )
Ich verstehe das so, dass wenn man eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] nimmt, also [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und damit [mm] (x_{3},x_{1}+x_{2}) [/mm] erzeugen kann, dann ist f surjektiv. Stimmt das?
Meine Unsicherheit besteht hier allerdings darin, dass das ganze doch auch für die andere, nicht surjektive Abbildung gelten würde.
Bei f: $ [mm] \IR^2 \to \IR^2 [/mm] $ , $ [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] $ = $ [mm] (x_{1}+x_{2},1) [/mm] $ ist [mm] \vektor{1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2. [/mm] Mit dieser Basis kann ich [mm] (x_{1}+x_{2},1) [/mm] erzeugen. Wo liegt der Denkfehler?
Ich danke Dir schonmal und freue mich auf deine Antwort.
Viele Grüße,
Florian
P.S.: Den Begriff "Affin" hatten wir nie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 So 20.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Florian,
> Hallo Marcel,
>
> danke für deine Antwort. Injektivität ist jetzt klar. Wir
> hatten schon noch Sätze dazu, z.b. das Argument über den
> Kern. Wenn ich das verwende, ist es (zumindest für diese
> Aufgabentypen) sehr leicht.
>
> Wegen [mm](-1,1) \not=(0,0)[/mm] ist Kern f = [mm]\emptyset.[/mm] Also nicht
> injektiv.
irgendwie schmeist Du da einiges durcheinander. Bei der Abbildung kann man durchaus sagen, dass [mm] $\Kern f=\emptyset$. [/mm] Daraus folgt dann aber, dass die $0$ kein Urbild hat, also dass $f$ schonmal nicht surjektiv sein kann. Und dass $f$ nicht injektiv ist, folgt z.B. wegen $f(-1,1)=f(0,0)$.
Ich hoffe, Du wolltest hier nicht den Satz anwenden, dass eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn der Kern nur den Nullvektor enthält. Denn wie gesagt:
Hier handelt es sich NICHT um eine lineare Abbildung. Wenn Du den Begriff einer affin linearen Abbildung noch nicht kennst, so schlag das ggf. bei Wikipedia nach. Das ist im Wesentlichen einfach eine lineare Abbildung, bei der man einen festen Vektor hinzuaddiert, d.h. hier könnte man Deine Abbildung umschreiben:
$ [mm] f(x_{1},x_{2})=(x_{1}+x_{2},0)+(0,1)$
[/mm]
Die zugehörige lineare Abbildung wäre [mm] $g(x_1,x_2)=(x_{1}+x_{2},0)$ [/mm] und hier könnte man $g$ auf Injektivität und Surjektivität untersuchen (mit den Sätzen für lineare Abbildungen), um damit dann entsprechendes für $f$ zu folgern.
Das zu der ersten Abbildung. Wenn Du Dir die zweite Abbildung anguckst, so solltest Du feststellen, dass diese Abbildung eine lineare Abbildung ist, wir BEI DER ZWEITEN Abbildung also sofort die entsprechenden Sätze für lineare Abbildung anwenden dürfen.
> Bei der anderen nicht injektiv, weil der Kern nicht nur aus
> dem Nullvektor besteht, sondern z.B. auch aus [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 0}.[/mm]
Ja, der Kern enthält hier mehr als nur den Nullvektor (bei linearen Abbildungen ist die $0$ übrigens immer im Kern enthalten, alleine schon deshalb kann es sich bei der ersten nicht um eine lineare Abbildung handeln).
> Bei der Surjektivität hat es noch nicht ganz klick
> gemacht.
>
> Bei der ersten Abbildung f: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] ,
> [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm](x_{1}+x_{2},1)[/mm] können nur Vektoren der
> Form [mm]\vektor{\alpha \\ 1}[/mm] mit [mm]\alpha \in \IR[/mm] rauskommen,
> also auch nicht (0,2). Folglich nicht surjektiv, oder?
Ja, das wäre eine andere mögliche Begründung bei dieser ersten, AFFIN LINEAREN Abbildung, warum diese nicht surjektiv sein kann.
> Bei der zweiten > f: [mm]\IR^3 \to \IR^2[/mm] , [mm]f(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm]
> = [mm](x_{3},x_{1}+x_{2})[/mm] würde ich rein intuitiv sagen, dass
> die surjektiv ist, da jeder Vektor aus [mm]\IR^2[/mm] erzeugt werden
> kann.
> Klick hat es noch nicht so 100%ig gemacht, weil ich die
> Argumentation mit der Basis noch nicht ganz verstanden
> habe.
>
> In meinem Skript steht:
>
> f ist surjektiv [mm]\gdw[/mm] (B Basis von V [mm]\Rightarrow[/mm] <f(B)> = W
> )
Ja, und genau das ist doch hier gegeben:
$(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ ist eine Basis des [mm] $\IR^3$. [/mm] Und alleine schon $f(0,0,1)=(1,0)$ und $f(1,0,0)=(0,1)$ ist eine Basis des [mm] $\IR^2$, [/mm] durch Linearkombination dieser beiden Vektoren kann man schon jeden Vektor des [mm] $\IR^2$ [/mm] erzeugen. Wenn wir da dann auch noch $f(0,1,0)$ hinzunehmen, spannen diese 3 Vektoren sicherlich erst recht den [mm] $\IR^2$ [/mm] auf, also nehmen wir einfach die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] aus Deinem Satz und erkennen, dass $f$ surjektiv ist.
> Ich verstehe das so, dass wenn man eine Basis des [mm]\IR^3[/mm]
> nimmt, also [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> und damit [mm](x_{3},x_{1}+x_{2})[/mm] erzeugen kann, dann ist f
> surjektiv. Stimmt das?
Nein, hier verstehe ich gar nicht, was Du meinst. Der Satz sagt z.B. hier, wenn man ihn in der Richtung [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] anwenden will:
Nimm irgendeine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] her (und da könntest Du ja auch ein nichttriviale hernehmen, z.B. $(1,0,0), (1,1,0),(1,1,1)$).
Schau Dir die zugehörigen Bilder unter f (bei der letzten Basis wären das: $f(1,0,0) [mm] \in \IR^2, [/mm] f(1,1,0) [mm] \in \IR^2, [/mm] f(1,1,1) [mm] \in \IR^2$) [/mm] an und prüfe, ob das ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist. Falls das klappt, dann ist $f$ surjektiv. Wenn Du Lust hast, kannst Du das auch nochmal für diese andere Basis hier nachrechnen, aber da wird natürlich das gleiche Ergebnis herauskommen, nämlich, dass auch das ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist und damit $f$ surjektiv.
> Meine Unsicherheit besteht hier allerdings darin, dass das
> ganze doch auch für die andere, nicht surjektive Abbildung
> gelten würde.
>
> Bei f: [mm]\IR^2 \to \IR^2[/mm] , [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm](x_{1}+x_{2},1)[/mm]
> ist [mm]\vektor{1 \\ 0 }, \vektor{0 \\ 1}[/mm] eine Basis des [mm]\IR^2.[/mm]
> Mit dieser Basis kann ich [mm](x_{1}+x_{2},1)[/mm] erzeugen. Wo
> liegt der Denkfehler?
Hier verstehe ich gar nicht, was Du meinst. Zum ersten Mal nochmal zur Erinnerung: Diese Abbildung ist NICHT linear, sondern affin linear. Also die Aussage, dass die Abbildung genau dann surjektiv ist, wenn die Bilder einer Basis ein Erzeugendensystem bilden, kannst Du so erstmal nicht direkt auf diese Abbildung anwenden, da sie gar nicht linear ist.
Man könnte das halt wieder auf eine lineare Abbildung - wie oben angedeutet - zurückführen, aber ich hoffe mal, dass ihr bald den Begriff einer affin linearen Abbildung kennenlernt.
Also nochmal kurz zurück zu der ersten Abbildung:
Das ist eine Abbildung [mm] $\IR^2 \to \IR^2$, [/mm] wäre sie surjektiv, müßte es für jedes Element $y$ aus dem Zielbereich, was hier der [mm] $\IR^2$ [/mm] ist, ein $x$ aus dem Definitionsbereich existieren mit $f(x)=y$. Und wie oben gesehen ist hier [mm] $\Kern f=\emptyset$, [/mm] also gibt es hier für $y=0=(0,0)$ kein $x [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit $f(x)=0$.
Also nochmal zur ersten Abbildung:
Du könntest dort auch [mm] $f(x_1,x_2)=(x_1+x_2,1)=(x_1+x_2,0)+(0,1)$ [/mm] schreiben und dann entsprechende Sätze auf die zugehörige lineare Abbildung [mm] $g(x_1,x_2)=(x_1+x_2,0)$ [/mm] anwenden, um damit dann Rückschlüsse auf $f$ zu ziehen. Aber bei $f$ selbst handelt es sich NICHT um eine lineare Abbildung.
P.S.:
Ich würde Dir auch nochmal empfehlen, Dich mit entsprechenden Sätzen zu befassen, was eine Basis ist, Basisergänzungssatz, was ein Erzeugendensystem ist, was lineare Abbildungen mit Basisvektoren machen etc. und bitte versuche auch, die Beweise zu verstehen. Denn davon hat man mehr, als wenn man weiß, dass es da irgendwo vielleicht einen Satz gibt, den man anwenden kann. Zumal man so auch sicherlich die Aussagen der Sätze besser lernen kann, wenn man die Beweise dazu mal verstanden hat.
P.P.S.:
Bevor Du Sätze für lineare Abbildungen auf Abbildungen anwendest, so solltest Du halt auch erstmal prüfen, ob es sich überhaupt um eine lineare Abbildung handelt. Oben war das erste - wie gesagt - eine affin lineare Abbildung, man kann diese dann auf eine lineare zurückführen etc., aber die Abbildung selbst ist halt dennoch nicht linear.
Die zweite Abbildung oben ist eine lineare Abbildung.
Wenn Du allerdings nun die Abbildung:
$f: [mm] \IR^2 \to \IR^2$, $f(x_1,x_2):=(x_1+1,\cos(x_1)+x_2^3+7)$
[/mm]
auf Injektivität und Surjektivität untersuchen wolltest, so wäre es (jedenfalls ohne weiteres) nicht möglich, mit Aussagen für lineare Abbildungen zu argumentieren, da diese Abbildung nicht linear ist (und sie ist auch nicht affin linear).
Gruß,
Marcel
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