Injektiv, Surjektiv < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Lara1985 |
Hallo Ihr, ich hoffe Ihr könnt mir helfen, vorweg diese Aufgabe wurde auch schon bei Mathebord reingestellt, allerdings bekomme ich dort keine wirklich hilfreichen Tipps, also versuche ich es hier noch mal:
Untersuchen Sie die Funktion g: [mm] \IR² \to \IR [/mm] , z:=g(x,y):=x+y auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität.
Also zur Injektivität haben wir eine Möglichkeit gefunden:
x+y=z
1+0=1
0+1=1 damit wäre es nicht Injektiv! Kann man das so machen?
Und bei Surjektiv kennen wir zwar die Definition, wissen aber nicht, wie wir das umsetzen sollen, also erst mal die Definition lautet:
Zu jedem y Element in Y muss es mindestens ein x Element in X geben mit
f(x)=y
Also wäre dankbar, wenn Ihr mir einen Tipp geben könntet, gruß Lara
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> Untersuchen Sie die Funktion g: [mm]\IR² \to \IR[/mm] ,
> z:=g(x,y):=x+y auf Injektivität, Surjektivität und
> Bijektivität.
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> Also zur Injektivität haben wir eine Möglichkeit gefunden:
> x+y=z
> 1+0=1
> 0+1=1 damit wäre es nicht Injektiv! Kann man das so
> machen?
Hallo,
Dein Gedanke ist goldrichtig, Du hast ein Gegenbeispiel für Injektivität gefunden. Nur - Du mußt es anders aufschreiben, so geht es nie und nimmer durch die Korrektur, weil man nicht klipp und klar die Gedankengänge nachvollziehen kann.
Aufschreiben kannst Du es so:
Angenommen, g wäre injektiv.
Dann gilt für alle (x,y),(x',y') [mm] \in \IR [/mm] : g((x,y))=g((x',y')) ==> (x,y)=(x',y').
Es ist jedoch g((1,0))=1=g((0,1)) und (1,0) [mm] \not= [/mm] (0,1).
Also ist g nicht injektiv.
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> Und bei Surjektiv kennen wir zwar die Definition, wissen
> aber nicht, wie wir das umsetzen sollen, also erst mal die
> Definition lautet:
> Zu jedem y Element in Y muss es mindestens ein x Element
> in X geben mit
> f(x)=y
Gut. Die Kenntnis der Definitionen ist die halbe Miete...
Bezogen auf Deine Funktion g würde das heißen:
Zu jedem y [mm] \in \IR [/mm] gibt es ein (a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] mit g((a,b))=a+b=y.
Damit ist der Auftrag klar: zu einem vorgegebenen y mußt Du so ein Zahlenpaar finden, welches die Bedingung oben erfüllt. Das ist nicht schwer, oder?
Gruß v. Angela
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