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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Sa 14.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und auf Surjektivität.
1) $f:\IR\to\IR$, $f(x)=\frac{x-1}{x^2+1}$ für alle $x\in\IR$
2) $f:\IO\setminus\{3\}\to\IQ$ , $f(x)=\frac{x+4}{x-3}$ für alle $x\in\IQ\setminus\{3\}$
3) $f:\IN\times\IN\to\IZ$ , $f(n,m)=n-m$ für alle $(n,m)\in\IN\times\IN$
4) $f:\IN\to\mathcal{P}(\IN}$ , $f(n)=\{x| x\in\IN\textnormal{ und }x\textnormal{ teilt }n\}$ für alle $n\in\IN$
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Moin an Euch!
1) , 2) und eigendlich auch 3) sind soweit klar.
Habe jedoch Schwierigkeiten bei 4)
Klar ist eigendlich $f$ ist injektiv, da $n$ ja durch seine Teiler eindeutig bestimmt wird nur wie zeige ich das?? Hat da jemand eine Idee??
Desweiteren ist $f$ nicht surjektiv da z.B. $\{1,4\}\in\mathcal{P}(\IN)$ aber kein Urbild vorhanden ist. Mein Ansatz wäre:
Annahme $f$ sei surjektiv dann existiert zu jeder Menge T\subseteq\mathcal{P}(\IN) ein $n\in\IN$ , so dass $f(n)=T$
Sei $T=\{1,4\}\in\mathcal{P}(\IN)$
Dann existiert ein $k\in\IN$, so dass $4* k=n$
also $n=4*k=2*2*k=2*k'$ mit $k'=2k$
also ist $n$ auch durch $2$ teilbar und und somit gehörte 2 auch in die Menge $T*$ die Menge aller positiven Teiler von $n$.
stimmt das so??
MfG
Sashman
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 02:57 So 15.10.2006 | | Autor: | MichaelN |
Hallo Sasham,
Ich denke, das 4. surjektiv ist! Sei n = 2, dann gibt es Elemente x1=1 und x2=2 mit der Eigenschaft x teilt n und somit wurde {2} auf {1,2} abgebildet.
Also [mm] \IN [/mm] abgebildet auf [mm] \mathcal{P}. [/mm] Insbesondere ist jedes n [mm] \in \IN [/mm] durch x=1 [mm] \in \IN [/mm] teibar.
Ich denke auch das Abbildung 4. injektiv ist. Den aus f(n) = f(n') folgt
n/x = n'/x und somit n = n' !
Gruß Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 15.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin MichaelN!
Dank für deine Antwort.
Denke aber dass sie falsch ist. warum?:
[mm] \underline{surjektiv}
[/mm]
du hast zu zeigen dass für alle [mm] $M\subseteq\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] ein Urbild [mm] \in\IN [/mm] vorhanden ist. Du zeigst jedoch nur das das Bild für $n=2$ eine Teilmenge der Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] ist.
[mm] \underline{injektiv}
[/mm]
bin auch der Meinung das $f$ injektiv ist nur glaube ich das du das Bild nicht richtig erfasst hast. Das Bild von $f$ ist die Menge aller ganzen Teiler von $n$. Und nicht nur eines Teilers. Als erklärendes Beispiel:
bestimme die Lösungsmenge von $x>4 [mm] x\in\IN$ [/mm] dann ist doch [mm] $LM=\{x|x<4 x\in\IN\}.$ [/mm] also alle [mm] $x\in\IN$ [/mm] die kleiner 4 sind und nicht nur 1 oder 3.
Doch selbst wenn ich nicht recht hätte wäre dein Ansatz falsch:
Sei $n=6$ dann $2|n$ (2 teilt n) also $f(6)=2$ leider ist aber auch $f(8)=2$. Damit folgte aus $f(n)=f(n')$ nicht $n=n'$.
Damit wäre $f$ nicht injektiv.
Die Schwierigkeit bleit also zu zeigen und das exakt, dass
$f(n)=f(n')$ [mm] $\Rightarrow [/mm] n=n'$ also dass aus
[mm] f(n)=M_n=\{1,t_1,t_2,\dots,t_k,n\}=\{1,t_1',t_2',\dots,t_k',n'\}=M_{n'}=f(n')$ [/mm] n=n' folgt ( hier bezeichnen [mm] t_i [/mm] bzw [mm] t_i' [/mm] die Teiler von n bzw n').
MfG Sashman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 So 15.10.2006 | | Autor: | diego |
Hallo sashman,
leider kann ich deine Frage nicht beantworten, da ich nicht mal weiß wie ich 2. und 3. lösen soll.
Vielleicht kannst du mir ja helfen?
Bei 2) habe ich mir folgendes überlegt:
Da (ich zumindest jedem von mir getesteten) x ein y zuordnen konnte, glaube ich das es surjektiv ist (außerdem ist kein hoch zwei drin). Dabei habe ich auch festgestellt, dass ich nie mehr als ein Urbild ahtte, weiß aber immer noch nicht wie ich das beweisen kann.
Bei 3) würde ich sagen ist es surjektiv, aber nicht injektiv. Nicht injektiv, da wenn ich n=m setze immer als Ergebniss Null erhalte
f(5, 5) = 5-5 = 0 und f(3, 3) = 3-3 = 0
Weil ich kann zumindest nicht rauslesen, dass n [mm] \not= [/mm] m sein muss, oder?
Ichg versuche mal dein 4 nachzuvollziehen, kann dir aber nicht viel versprechen...
Gruß Yvonne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 15.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin Diego!
zu 2)
[mm] \underline{injektiv}
[/mm]
$f$ ist injektiv
habe mit Hilfe der Polynomdivision $f(x)$ in eine mir angenehmer erscheinende Form gebracht:
[mm] $f(x)=\frac{x+4}{x-3}=1+\frac{7}{x-3}$
[/mm]
und dann [mm] $f(x)=f(x')\Rightarrow [/mm] x=x'$ gezeigt natürlich in der "neuen" Form
[mm] \underline{surjektiv}
[/mm]
$f$ ist nicht surjektiv
du kanst genau wie in deiner anderen diese Aufgabe betreffende Frage
zeigen das es kein [mm] $x\in\IQ\setminus\{3\}$ [/mm] gibt, mit $f(x)=1$.
hier noch mal der Link zur eigenen Frage
kannst den selben Wortlaut verwenden tausche nur die jeweiligen Zahlenbereiche und natürlich $f$ aus.
Umstellen ergibt sowas wie $0=7$ eine falsche Aussage [mm] \to [/mm] $f$ nicht surjektiv.
zu 3)
[mm] \underline{injektiv}
[/mm]
genauso nur mit einem anderen Beispiel hab ich das auch
$f(1,1)=f(2,2)=0$ aber [mm] $(1,1)\not=(2,2)$ \Rightarrow [/mm] $f$ nicht injektiv
[mm] \underline{surjektiv}
[/mm]
schau dir doch dazu mal die Aufgaben 1.2.10 und die dazugehörigen Lösungen im Script an.
sei [mm] $z\in\IZ$ [/mm] belibig
$z=n-m$ also $n=z+m$
nun mußt du dein m noch geschickt wählen so das weiterhin [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt und das ganze gescheit formulieren.
Wie setze $n=z+m$ mit (Bedingungen an $m$) dann ist [mm] $(z+m,m)\in\IN$
[/mm]
dann gilt $f(z+m,m)=z$ und da $z$ beliebig gewählt war ist $f$ surjektiv
bis dahin Sashman
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 15.10.2006 | | Autor: | diego |
Hallo sashman,
zu4) bei der Injektivität hast du doch durch dein Beispiel eigentlich bewiesen, dass es nicht injektiv ist, da doch sobald man ein Gegenbeispiel hat die Sache "bewiesen" bzw. nicht bewiesen ist.
Bei der Surjektivität hast du ja {1, 4 } [mm] \in [/mm] P(M). Ist es da nicht auch wichtig wie du M definiert hast, da wenn M = {1, 4} dann ist 2 nicht in der Potenzmenge, wäre aber M wie auf S.21 {1,2,3,4} dann wäre 2 auch [mm] \in [/mm] P(M).
Weiß nicht ob dir meine Überlegung wirklich hilft...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:48 So 15.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin diego!
Ich glaube da hast du was mißverstanden. Es ist auch zugegebener Maßen ein wenig verwirrend.
Die obige Mitteilung hat nur den Zweck mitzuteilen, warum ich die Antwort von Micha für falsch halte.
Nämlich 1. weil ich glaube er hat die Bildmenge nicht richtig erfaßt (darum auch das Beispiel mit $x<4$ und im
zweiten Teil hab ich nur gezeigt das wenn seine Auffassung der Bildmenge wirklich richtig wäre also (nennen wir also diese Abbildung einfach [mm] $f_{Micha}$)
[/mm]
[mm] $f_{Micha}(n)=\{\textnormal{irgendein }x\in\IN \textnormal{ das n teilt }\}$
[/mm]
nicht injektiv wäre aus oben genannten Gründen. ( Beispiel mit f(6) und f(8))
MfG
Sashman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:35 Mo 16.10.2006 | | Autor: | MichaelN |
Hallo Sasham,
ich denke du hast Recht! Meine Lösung bzw. Lösungsansätze sind falsch.
Muss die ganze Kurseinheit noch mal durcharbeiten.
Gruß Michael
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Hab das ganze so gelöst:
Habe vorausgesetzt das die Mengen $f(n)$ bzw. $f(n')$ geordnet seien.
Da sie gleich sein sollen müssen áuch ihre Elemente gleich sein. Und die hab ich "gliedweise" verglichen. Natürlich auch die größten Elemente der Mengen also $n$ und $n'$, welche ja auch gleich sein müssen.
Also ist $f$ injektiv.
MfG
Sashman
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