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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität:
[mm] f_{1}: \IR^2\to \IR^3, x\mapsto [/mm] Ax+b, [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 4 & 1 }, b=\vektor{1 \\ 0 \\ -1}. [/mm] |
Hallo zusammen,
Zur Injektivität: Es muss doch aus f(x)=f(y) immer folgen x=y
wenn ich das hier einsetze, erhalte ich Ax+b=Ay+b [mm] \gdw [/mm] Ax=Ay [mm] \gdw [/mm] Ax-Ay=0 und wegen der Linearität: A(x-y)=0...soweit so gut=) Ich müsste doch jetzt irgendwie über den Rang der Matrix argumentieren können, oder? Ist es nicht so, dass wenn der defekt der Matrix 0 ist, dass man dann maxinal eine Lösung für das homogene Problem Az=0 erhält (für z:=x-y), weil man dann linkseindeutigkeit erhält?
Also kann man die Injektivität schon mit dem Rang der Matrix argumentieren, oder geht das erst bei der Surjektivität? Falls das nicht geht, wie zeigt man, dann dass hier x=y folgt?
Gruß
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Huhu,
> Ich müsste doch jetzt irgendwie über den Rang der Matrix argumentieren können, oder?
Jap.
> Ist es nicht so, dass wenn der defekt der Matrix 0 ist, dass
> man dann maxinal eine Lösung für das homogene Problem
> Az=0 erhält (für z:=x-y), weil man dann
> linkseindeutigkeit erhält?
Jap
> Also kann man die Injektivität schon mit dem Rang der Matrix argumentieren
> Falls das nicht geht, wie zeigt man, dann dass hier x=y folgt?
Es bleibt dir IMMER der Standardweg das entstandene LGS zu lösen.
MFG,
Gono.
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Ok danke, also kann ich argumentieren, dass der defekt der Matrix Null ist und damit die gegebene Abbildung [mm] x\mapsto [/mm] Ax+b injektiv ist? Das kann ich doch dann verallgemeinern und sagen, dass JEDE matrix mit dem rang=2 eine solche injektive Abbildung darstellt? (Für die beiden Räume in meinem Bsp.)
Zur surjektivität:
Auch hier kann ich doch mit dem rang der Matrix argumentieren?
Da der Matrixrang kleiner ist, als der Rang des Zielraumes, können nicht alle Elemente erreicht werden und deshalb kann die Abbildung nicht surjektiv sein.
Ist das alles mathematisch korrekt so? (im hinblick auf die kommende klausur, sollte ich dahingehend möglichst präzise argumentieren)
Gruß
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> Ok danke, also kann ich argumentieren, dass der defekt der
> Matrix Null ist und damit die gegebene Abbildung [mm]x\mapsto[/mm]
> Ax+b injektiv ist?
Hallo,
ja.
> Das kann ich doch dann verallgemeinern
> und sagen, dass JEDE matrix mit dem rang=2 eine solche
> injektive Abbildung darstellt? (Für die beiden Räume in
> meinem Bsp.)
Ja, für [mm] 3\times [/mm] 2- Matrizen ist das so.
In der Klausur würde ich aber ungefragt überhaupt nichts verallgemeinern.
>
> Zur surjektivität:
> Auch hier kann ich doch mit dem rang der Matrix
> argumentieren?
> Da der Matrixrang kleiner ist, als der Rang des Zielraumes,
> können nicht alle Elemente erreicht werden und deshalb
> kann die Abbildung nicht surjektiv sein.
So kannst Du das nicht schreiben, obgleich Du es richtig meinst.
Sag' einfach: rang A = dim (Bild A)= 2, dim [mm] \IR^3=3, [/mm] also ist Bild [mm] A\not=\IR^3 [/mm] und die Abbildung somit nicht surjektiv.
Gruß v. Angela
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