Injektive Abb zweier Mengen < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 So 03.02.2013 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | X: { 1,2,3}
Y : {a,b,c,d}
Gesucht ist eine Injektive Abbildung |
Hallo,
Ich habe als Lösung für eine injektive Abbildung noch f(x)=4x vor Augen.
Denn nach Def. $ f(x)=f(y) => x=y ,ist, 4x=4y => x=y$
Ich sehe aber nicht so recht wie ich das aus meinen Mengen erkennen kann inwieweit ich Abbildungen bauen darf. Ginge auch 5x oder 20x ?
lg
Micha
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Hallo Micha,
> X: { 1,2,3}
> Y : {a,b,c,d}
>
> Gesucht ist eine Injektive Abbildung
> Hallo,
>
> Ich habe als Lösung für eine injektive Abbildung noch
> f(x)=4x vor Augen.
> Denn nach Def. [mm]f(x)=f(y) => x=y ,ist, 4x=4y => x=y[/mm]
>
> Ich sehe aber nicht so recht wie ich das aus meinen Mengen
> erkennen kann inwieweit ich Abbildungen bauen darf. Ginge
> auch 5x oder 20x ?
Dies sind Beispiele für injektive Abbildungen von [mm]\IR\to\IR[/mm] (zB.)
Aber die bilden ja nicht von deiner gegebenen Menge [mm]X[/mm] in [mm]Y[/mm] ab.
Du weißt ja, dass injektiv bedeutet, dass keine zwei (verschiedene) Elemente aus X auf ein- und dasselbe Element aus Y abgebildet werden dürfen.
Bastel dir durch konkrete Angabe der Bilder eine injektive Abbildung.
Ich mache mal eine, die nicht injektiv ist:
[mm]f:X\to Y[/mm] mit [mm]f(1)=d, f(2)=a, f(3)=d[/mm]
$f$ ist nicht injektiv, da 1 und 3 dasselbe Bild (d) haben.
Nun kannst du sicher leicht eine injektive Abbildung angeben ...
>
> lg
> Micha
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 03.02.2013 | | Autor: | Coup |
Es ist mir noch nicht klar geworden.
Für f(1),f(2),f(3) kann ich ja erstmal auf beliebige Werte aus Y aber höchstens einen aus der Zielmenge wählen. So verstehe ich es schonmal.
Dein nicht injektives Beispiel hat mir gezeigt das es nicht injektiv sein kann, da mehr als 1 Element getroffen wird ( Bild ).
Aber ich kann ja auch sagen.
f(1) = a
f(2) = b
f(3) = c
oder ?
Dann wäre das ja nicht der Fall.
Ich weis aber nicht wie ich das konkret als Abbildung formuliere.
Danke schonmal.. :)
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Hallo nochmal,
> Es ist mir noch nicht klar geworden.
> Für f(1),f(2),f(3) kann ich ja erstmal auf beliebige
> Werte aus Y aber höchstens einen aus der Zielmenge
> wählen. So verstehe ich es schonmal.
> Dein nicht injektives Beispiel hat mir gezeigt das es
> nicht injektiv sein kann, da mehr als 1 Element getroffen
> wird ( Bild ).
> Aber ich kann ja auch sagen.
> f(1) = a
> f(2) = b
> f(3) = c
> oder ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist eine injektive Zuordnung!
> Dann wäre das ja nicht der Fall.
> Ich weis aber nicht wie ich das konkret als Abbildung
> formuliere.
HAst du doch getan 
Def. [mm] $f:X\to [/mm] Y$ durch:
$f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$
Dieses f ist eine Abbildung, denn jedes Element aus X wird abgebildet.
Außerdem ist f injektiv.
Also alles bestens ...
>
> Danke schonmal.. :)
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 So 03.02.2013 | | Autor: | Coup |
Ist dies wirklich so simpel ?
Habe dann mal versucht das ganze aufs surjektive zu übertragen.
Mir fällt dann sofort aus das es nicht bijektiv sein kann da ich in Y mehr Elemente als in X habe und so die injektivität und surjektivität nicht gleichzeitig erreicht werden kann.
Für surjektiv def. nur durch X->Y
f(1)=a,
f(2)=b,
f(3)=c,
f(1)=d,
Das "mindestens", erlaubt mir ja doppelte Bilder.
wäre das ok so ?
Ich danke dir !
An dieser Stelle möchte ich noch eine andere Frage eineditieren.
Ich habe in einer anderen Aufgabe ähnliche Mengen definiert sowie eine gleiche Aufgabenstellung.
Die Mengen sind A={-1,-2,-3} , B = {0,1,2,3,4}
Hier steht als Lösung einer injektiven Abbildung : f(a):= a+3.
Verstehe ich das richtig so :
-1+3 wäre 2(ist in Zielmenge)
-2+3 wäre 1(ist in Zielmenge)
-3+3 wäre 0(ebenfalls)
somit injektive Abbildung da jedes Element aus a nur höchstens auf eins abbildet?
Kann ich für meine erste Aufgabe oben auch soeine einzelne Abbildung bauen sofern ich das richtig verstanden habe ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:14 So 03.02.2013 | | Autor: | Helbig |
> Ist dies wirklich so simpel ?
>
> Habe dann mal versucht das ganze aufs surjektive zu
> übertragen.
> Mir fällt dann sofort aus das es nicht bijektiv sein kann
> da ich in Y mehr Elemente als in X habe und so die
> injektivität und surjektivität nicht gleichzeitig
> erreicht werden kann.
>
> Für surjektiv def. nur durch X->Y
> f(1)=a,
> f(2)=b,
> f(3)=c,
> f(1)=d,
>
> Das "mindestens", erlaubt mir ja doppelte Bilder.
Nein! Das tut's nun wirklich nicht. Der 1 kann durch f genau eines der Elemente in Y zugeordnet werden, sonst ist f keine Funktion!
Gruß,
Wolfgang
>
> wäre das ok so ?
> Ich danke dir !
>
> An dieser Stelle möchte ich noch eine andere Frage
> eineditieren.
> Ich habe in einer anderen Aufgabe ähnliche Mengen
> definiert sowie eine gleiche Aufgabenstellung.
> Die Mengen sind A={-1,-2,-3} , B = {0,1,2,3,4}
> Hier steht als Lösung einer injektiven Abbildung : f(a):=
> a+3.
> Verstehe ich das richtig so :
> -1+3 wäre 2(ist in Zielmenge)
> -2+3 wäre 1(ist in Zielmenge)
> -3+3 wäre 0(ebenfalls)
> somit injektive Abbildung da jedes Element aus a nur
> höchstens auf eins abbildet?
??? Sondern weil verschiedene Elemente aus A auf verschiedene Elemente aus B abgebildet werden, in Formeln:
aus a [mm] $\ne$ [/mm] b folgt f(a) [mm] $\ne$ [/mm] f(b).
Oder gleichwertig im Umkehrschluß:
aus f(a) = f(b) folgt a=b.
>
> Kann ich für meine erste Aufgabe oben auch soeine einzelne
> Abbildung bauen sofern ich das richtig verstanden habe ?
Das könntest Du, wenn die Zielmenge Y eine Menge von Zahlen wäre.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 03.02.2013 | | Autor: | Coup |
ah, vielen Dank Wolfgang !
Ich habe dann noch eine Frage hierzu
> > Nein! Das tut's nun wirklich nicht. Der 1 kann durch f genau eines der Elemente in Y zugeordnet werden, sonst ist f keine Funktion!
Da hatte ich einen kleinen Fehler mit der Bildererklärung ja.
Aber das surjektive Beispiel war richtig oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 So 03.02.2013 | | Autor: | Helbig |
>
> Dann kann ich ja aber keine surjektive Abbildung finden.
> Denn nach Def. existiert zu jedem y aus Y mindestens ein x
> aus X mit f(x)=y.
>
> Oder was verstehe ich grad diesbezüglich falsch ?
Das ist genau richtig verstanden!
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 So 03.02.2013 | | Autor: | Helbig |
> Hallo nochmal,
>
>
> > Es ist mir noch nicht klar geworden.
> > Für f(1),f(2),f(3) kann ich ja erstmal auf beliebige
> > Werte aus Y aber höchstens einen aus der Zielmenge
> > wählen. So verstehe ich es schonmal.
> > Dein nicht injektives Beispiel hat mir gezeigt das es
> > nicht injektiv sein kann, da mehr als 1 Element getroffen
> > wird ( Bild ).
> > Aber ich kann ja auch sagen.
> > f(1) = a
> > f(2) = b
> > f(3) = c
> > oder ?
>
>
Hier müßte noch vorausgesetzt werden, daß die a, b, c untereinander verschieden sind. Wäre etwa a=b, so wäre f keineswegs injektiv.
Gruß Wolfgang
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Hallo Wolfgang.
Durch die Angabe von Y als Aufzählung der Elemente a,b,c, d ist doch klar, dass die Elemente verschiedenen sind.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 So 03.02.2013 | | Autor: | Coup |
Ich möchte nicht für Verwirrung sorgen und grad nicht bei mir. Denn ihr versteht ja super worum es geht.
Aber nochmal klipp und klar zu den beiden Mengen X:{1,2,3},Y:{a,b,c,d}
Injektiv ist klar. Habe ich verstanden.
Ich habe es dank Wolfgang dann auch so verstanden das es keine einzelne klare Abbildung gibt da ich Variablen in meiner Zielmenge habe und mir deshalb meine Injektivität "bauen" muss genau wie oben gemacht.
ABER
Gibt es hier echt keine subjektive Abbildung aufgrund der Tatsache das die Menge X zu klein ist ?
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Hallo nochmal,
kann gerade nicht zitieren, da ich vom Mobiltel. schreibe.
Ja. Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine injektive Abb. von X-> Y zu basteln.
Versuche doch mal, alle injektiven Abb. von X-> Y anzugeben. So viele sind es nicht.
Und ja, surjektiv kann es nicht sein aus dem von dir genannten Grund.
Es können nicht alle Elemente von Y als Bild vorkommen.
Gruß,
schachuzipus
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Hallo,
> Aber nochmal klipp und klar zu den beiden Mengen
> X:{1,2,3},Y:{a,b,c,d}
>
> Injektiv ist klar. Habe ich verstanden.
> Ich habe es dank Wolfgang dann auch so verstanden das es
> keine einzelne klare Abbildung gibt da ich Variablen in
> meiner Zielmenge habe und mir deshalb meine Injektivität
> "bauen" muss genau wie oben gemacht.
>
> ABER
> Gibt es hier echt keine subjektive Abbildung aufgrund der
> Tatsache das die Menge X zu klein ist ?
Nun, bisher wurde noch nicht klar gesagt, ob die Menge X denn die Ausgangsmenge und Y die Zielmenge sein soll - wenn das so ist, dann gibt es keine surjektive Abbildung.
Wäre jedoch Y die Ausgangsmenge und X die Zielmenge, so wäre:
f(a)=1, f(b)=2, f(c)=3, f(d)=2 eine Abbildung, die surjektiv aber nicht injektiv ist.
Schränkt man zusätzlich von der Ausgangsmenge Y die Definitionsmenge auf eine Menge mit 3 Elementen ein, so kann man auch eine bijektive Abbildung konstruieren.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 So 03.02.2013 | | Autor: | Coup |
Wenn die Bedingung also nun geändert werden würde. Z.b Y -> X
So gäbe es also eine surjektive Abbildung. richtig ?
Denn so wie mir Wikipedia gelehrt hat, kann ich ja von der Ausgangsmenge auf mehrere Elemente in der Zielmenge abbilden (Subjektivität) aber eben nicht umgekehrt.
Dein Beispiel hat mir das grad klar gemacht.
So sind auch nun beide Richtungen verständlich geworden.
Ihr seid die besten !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 So 03.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn die Bedingung also nun geändert werden würde. Z.b Y
> -> X
nur nochmal zur Klarstellung: Es ist [mm] $X=\{1,2,3\}$ [/mm] und für [mm] $Y=\{a,b,c,d\}$
[/mm]
sollte man etwa kurz fordern [mm] $|Y|=4\,,$ [/mm] denn Wolfgangs Einwand ist da
vollkommen berechtigt:
Mal ganz naiv könnte man sich mal
[mm] $$\{3n,\;2+4*n:\;\;n \in \IN\}$$
[/mm]
angucken, und sieht sofort, dass $6=3*2$ und $6=2+4*1$ ist...
> So gäbe es also eine surjektive Abbildung. richtig ?
Ja: Es gibt eine surjektive Abbildung $g [mm] \colon [/mm] Y [mm] \to [/mm] X$ mit [mm] $X,Y\,$ [/mm] wie oben!
Schreib' mir doch einfach mal eine hin. (Es wird aber KEINE INJEKTIVE
$Y [mm] \to [/mm] X$ geben!)
> Denn so wie mir Wikipedia gelehrt hat, kann ich ja von der
> Ausgangsmenge auf mehrere Elemente in der Zielmenge
> abbilden (Subjektivität) aber eben nicht umgekehrt.
Das umgekehrte geht halt nicht, weil bei dem Begriff einer Funktion/Abbildung
[mm] $\tilde{f} \colon [/mm] D [mm] \to [/mm] Z$ explizit gefordert wird, dass für jedes $x [mm] \in [/mm] D$ genau ein $y [mm] \in [/mm] Z$ existiert
mit [mm] $y=\tilde{f}(x)\,.$
[/mm]
Generell gilt (diese Sätze kannst Du alle mal versuchen, zu beweisen,
sofern ihr die Begriffe "endliche Menge" und "Anzahl der Elemente einer
endlichen Menge" bereits definiert habt; ist [mm] $X\,$ [/mm] eine endliche Menge, so
schreiben wir [mm] $|X|\,$ [/mm] für die Anzahl der Elemente von [mm] $X\,$):
[/mm]
Sind [mm] $X,Y\,$ [/mm] endliche Mengen, so gilt, dass genau dann $|X| [mm] \le [/mm] |Y|$ ist,
wenn es eine injektive Abbildung $X [mm] \to [/mm] Y$ gibt.
Weil aber auch gilt, dass genau dann eine injektive Abbildung $X [mm] \to [/mm] Y$
existiert, wenn es eine SURJEKTIVE Abbildung [mm] $\red{Y\;} \to [/mm] X$ gibt (das
gilt sogar dann, wenn man auf die Forderung der Endlichkeit von [mm] $X\,$ [/mm] und
[mm] $Y\,$ [/mm] verzichtet!), kann man direkt schließen:
Sind [mm] $X,Y\,$ [/mm] endliche Mengen, so gilt, dass genau dann $|X| [mm] \le [/mm] |Y|$ ist,
wenn es eine SURJEKTIVE Abbildung [mm] $\red{Y\;} \to [/mm] X$ gibt!
P.S. Wie kannst Du mithilfe dieser Sätze folgern, dass für endliche Mengen
[mm] $X,Y\,$ [/mm] nun $|X|=|Y|$ genau dann gilt, wenn es eine BIJEKTIVE Abbildung
$X [mm] \to [/mm] Y$ gibt?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 So 03.02.2013 | | Autor: | Coup |
> Hallo,
>
> > Wenn die Bedingung also nun geändert werden würde. Z.b Y
> > -> X
>
> nur nochmal zur Klarstellung: Es ist [mm]X=\{1,2,3\}[/mm] und für
> [mm]Y=\{a,b,c,d\}[/mm]
Genau.
Surjektiv wär aufjedenfall. f(a) = 1, f(b)=2, f(c)=3 , f(d)=3 z.b
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 03.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Hallo,
> >
> > > Wenn die Bedingung also nun geändert werden würde. Z.b Y
> > > -> X
> >
> > nur nochmal zur Klarstellung: Es ist [mm]X=\{1,2,3\}[/mm] und für
> > [mm]Y=\{a,b,c,d\}[/mm]
>
> Genau.
>
> Surjektiv wär aufjedenfall. f(a) = 1, f(b)=2, f(c)=3 ,
> f(d)=3 z.b
Das stimmt so.
Schau aber auch mal unter folgenden Links zu dem Thema:
![[]](/images/popup.gif) anderes Lernen
Youtube-Video dazu
>
>
> > Gruß,
> > Marcel
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 So 03.02.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo schachuzipus,
>
> Durch die Angabe von Y als Aufzählung der Elemente a,b,c,
> d ist doch klar, dass die Elemente verschiedenen sind.
Dann sollte man es auch explizit sagen, da dies in dieser Aufgabe eine wichtige Rolle spielt! Wenn ich vier Symbole aufschreibe, heißt das nicht, daß diese vier Symbole auch vier Dinge bezeichnen. Gerade im Zusammenhang mit dieser Aufgabe halte ich das für wesentlich.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 So 03.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Wolfgang,
> Hallo schachuzipus,
> >
> > Durch die Angabe von Y als Aufzählung der Elemente a,b,c,
> > d ist doch klar, dass die Elemente verschiedenen sind.
>
> Dann sollte man es auch explizit sagen, da dies in dieser
> Aufgabe eine wichtige Rolle spielt! Wenn ich vier Symbole
> aufschreibe, heißt das nicht, daß diese vier Symbole auch
> vier Dinge bezeichnen. Gerade im Zusammenhang mit dieser
> Aufgabe halte ich das für wesentlich.
da stimme ich Dir vollkommen zu: Entweder sollte irgendwo stehen, dass
die Elemente aus [mm] $Y\,$ [/mm] paarweise verschieden sind, oder aber es sollte
irgendwo [mm] $|Y|=4\,$ [/mm] stehen.
Denn es gibt auch Aufgaben, wo zwei Darstellungen des selben Elements
der Menge drinvorkommen, es aber nicht unbedingt offensichtlich ist, dass
da das gleiche Elemente aufgezählt wurde: Generell ist das eine Sache,
bei der gerade Studienanfänger über sowas gerne mal stolpern...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge [mm] $\{a,a,b\}$, [/mm] wobei [mm] $a\neq [/mm] b$?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:26 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Schachuzipus,
> Hallo Marcel,
>
> was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge
> [mm]\{a,a,b\}[/mm], wobei [mm]a\neq b[/mm]?
[mm] $$\{a,a,b\}=\{a,b\}$$
[/mm]
und damit [mm] $|\{a,a,b\}|=|\{a,b\}|=2\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
> Hallo Schachuzipus,
>
> > Hallo Marcel,
> >
> > was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge
> > [mm]\{a,a,b\}[/mm], wobei [mm]a\neq b[/mm]?
>
> [mm]\{a,a,b\}=\{a,b\}[/mm]
> und damit [mm]|\{a,a,b\}|=|\{a,b\}|=2\,.[/mm]
Genauso sehe ich das auch.
Aber es ist doch nicht üblich, Elemente doppelt aufzuzählen.
Sonst wäre ja man nur mit Fallunterscheidungen beschäftigt.
Was, wenn die Zahlen in der Menge $X$ nur "Symbole" sind, was, wenn $1=2$ oder $1=3$ ...
Ich denke trotz eurer Einwände immer noch, dass die Aufgabe so gemeint ist, dass alle Elemente in beiden Mengen verschieden sind ...
>
> Gruß,
> Marcel
Zurück!
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
>
> > Hallo Schachuzipus,
> >
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge
> > > [mm]\{a,a,b\}[/mm], wobei [mm]a\neq b[/mm]?
> >
> > [mm]\{a,a,b\}=\{a,b\}[/mm]
> > und damit [mm]|\{a,a,b\}|=|\{a,b\}|=2\,.[/mm]
>
>
>
> Genauso sehe ich das auch.
>
> Aber es ist doch nicht üblich, Elemente doppelt
> aufzuzählen.
bei endlichen Mengen sowieso eher nicht!
> Sonst wäre ja man nur mit Fallunterscheidungen
> beschäftigt.
>
> Was, wenn die Zahlen in der Menge [mm]X[/mm] nur "Symbole" sind,
> was, wenn [mm]1=2[/mm] oder [mm]1=3[/mm] ...
Na, "sowas in der Art" dachte ich mir zu Studienbeginn: Wo es doch erst
hieß, dass die [mm] $1=1_K$ [/mm] die des Körpers sei, und man dann [mm] $n*1:=\sum_{m=1}^n [/mm] 1$
definiert hat (eigtl. sollte da [mm] $n*1_K=\sum_{m=1}^n 1_K$ [/mm] stehen, und
beim Laufindex ist [mm] $1\,$ [/mm] die $1 [mm] \in \IN$) [/mm] etc. pp. - wo man sich schnell mal verwirren lassen kann,
welche [mm] $1\,$ [/mm] die aus [mm] $\IN$ [/mm] und welche die aus [mm] $K\,$ [/mm] ist etc. pp.
> Ich denke trotz eurer Einwände immer noch, dass die
> Aufgabe so gemeint ist,
Dagegen gibt es doch keine Einwände: Der Einwand richtet sich eher an
den Aufgabensteller, der dies nicht explizit mitformuliert - zudem steht das
auch auf vielen Aufgabenblättern der Uni nicht mit drauf, sondern wird
quasi "ohne ein Wort dazuzusagen" einfach angenommen. Aufmerksame
Student(inn)en beschweren sich bei sowas auch meist - und wie ich finde:
Durchaus zu Recht!
> dass alle Elemente in beiden Mengen
> verschieden sind ...
Na, warum auch immer, aber man geht in der Tat meist davon aus, dass
jeder weiß, dass bei solchen Aufgaben die Zahlen $1,2,3,...$ aus [mm] $\IN$ [/mm]
gemeint sind. Denn Deinen Einwand oben hatte ich auch schon gedacht,
mal zu sagen: Wer sagt dass $X [mm] \subseteq \IN$ [/mm] gemeint ist?
Aber da wollte ich's nun doch nicht übertreiben, viele
Analysisveranstaltungen beinhalten (vom Sinn her) den Satz:
"Wir nehmen die natürlichen Zahlen als 'von-Gott-gegeben' an; und wir
gehen davon aus, dass sie zählen und diese Zahlen notieren können..."
Übrigens hatte ich neulich mal in Ungedanken irgendwo zuerst eine
Variable - oder Funktion - dummerweise [mm] $\pi$ [/mm] genannt...
Daher nochmal: [mm] $\{1,2,3\}=X$ [/mm] soll halt - erfahrungsgemäß - als $X [mm] \subseteq \IN$
[/mm]
erkannt werden, und dabei soll auch irgendwoher klar sein, dass die
Elemente [mm] $1,2,3\,$ [/mm] paarweise verschieden sind. (Das muss man ja auch
wissen...)
Bei [mm] $Y=\{a,b,c,d\}$ [/mm] sieht das wieder anders aus, wie ich finde. Denn wie
gesagt, es gibt ja auch solche Mengen:
[mm] $$M:=\{n*3:\;\;n \in \IN\} \cup \{2+m*2: \;\;m \in \IN\}=\{3n,\;2+2n:\;\; n \in \IN\}\,,$$
[/mm]
die man nicht unbedingt "einfacher schreiben" will...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
>
>
> > Hallo Schachuzipus,
> >
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge
> > > [mm]\{a,a,b\}[/mm], wobei [mm]a\neq b[/mm]?
> >
> > [mm]\{a,a,b\}=\{a,b\}[/mm]
> > und damit [mm]|\{a,a,b\}|=|\{a,b\}|=2\,.[/mm]
>
>
>
> Genauso sehe ich das auch.
>
> Aber es ist doch nicht üblich, Elemente doppelt
> aufzuzählen.
Hallo schachu,
doch das kommt oft vor (manchmal merkt man es nicht):
Ist z.B. A eine nichtleere Menge und [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation auf A, so setzt man doch für a [mm] \in [/mm] A:
[mm] [a]=\{b \in A: b \sim a\}.
[/mm]
Dann setzt man doch [mm] A/\sim =\{[a]: a \in A\}
[/mm]
Ist dann a,b [mm] \in [/mm] A und a [mm] \ne [/mm] b und a [mm] \sim [/mm] b, so ist [a]=[b]
FRED
>
> Sonst wäre ja man nur mit Fallunterscheidungen
> beschäftigt.
>
> Was, wenn die Zahlen in der Menge [mm]X[/mm] nur "Symbole" sind,
> was, wenn [mm]1=2[/mm] oder [mm]1=3[/mm] ...
>
> Ich denke trotz eurer Einwände immer noch, dass die
> Aufgabe so gemeint ist, dass alle Elemente in beiden Mengen
> verschieden sind ...
>
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Zurück!
>
> schachuzipus
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo Marcel,
> >
> >
> > > Hallo Schachuzipus,
> > >
> > > > Hallo Marcel,
> > > >
> > > > was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge
> > > > [mm]\{a,a,b\}[/mm], wobei [mm]a\neq b[/mm]?
> > >
> > > [mm]\{a,a,b\}=\{a,b\}[/mm]
> > > und damit [mm]|\{a,a,b\}|=|\{a,b\}|=2\,.[/mm]
> >
> >
> >
> > Genauso sehe ich das auch.
> >
> > Aber es ist doch nicht üblich, Elemente doppelt
> > aufzuzählen.
>
> Hallo schachu,
>
> doch das kommt oft vor (manchmal merkt man es nicht):
>
> Ist z.B. A eine nichtleere Menge und [mm]\sim[/mm] eine
> Äquivalenzrelation auf A, so setzt man doch für a [mm]\in[/mm]
> A:
>
> [mm][a]=\{b \in A: b \sim a\}.[/mm]
>
> Dann setzt man doch [mm]A/\sim =\{[a]: a \in A\}[/mm]
>
> Ist dann a,b [mm]\in[/mm] A und a [mm]\ne[/mm] b und a [mm]\sim[/mm] b, so ist [a]=
oder nehmen wir doch mal direkt passend
[mm] $$\IQ=\{a/b: a \in \IZ \text{ und }b \in \IN\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Di 05.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > >
> > > > Hallo Schachuzipus,
> > > >
> > > > > Hallo Marcel,
> > > > >
> > > > > was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge
> > > > > [mm]\{a,a,b\}[/mm], wobei [mm]a\neq b[/mm]?
> > > >
> > > > [mm]\{a,a,b\}=\{a,b\}[/mm]
> > > > und damit [mm]|\{a,a,b\}|=|\{a,b\}|=2\,.[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > Genauso sehe ich das auch.
> > >
> > > Aber es ist doch nicht üblich, Elemente doppelt
> > > aufzuzählen.
> >
> > Hallo schachu,
> >
> > doch das kommt oft vor (manchmal merkt man es nicht):
> >
> > Ist z.B. A eine nichtleere Menge und [mm]\sim[/mm] eine
> > Äquivalenzrelation auf A, so setzt man doch für a [mm]\in[/mm]
> > A:
> >
> > [mm][a]=\{b \in A: b \sim a\}.[/mm]
> >
> > Dann setzt man doch [mm]A/\sim =\{[a]: a \in A\}[/mm]
> >
> > Ist dann a,b [mm]\in[/mm] A und a [mm]\ne[/mm] b und a [mm]\sim[/mm] b, so ist [a]=
>
> oder nehmen wir doch mal direkt passend
> [mm]\IQ=\{a/b: a \in \IZ \text{ und }q \in \IN\}\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Ja, das ist das was ich sagte, in einem Spezialfall
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Di 05.02.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > > Aber es ist doch nicht üblich, Elemente doppelt
> > > > aufzuzählen.
> > >
> > > Hallo schachu,
> > >
> > > doch das kommt oft vor (manchmal merkt man es nicht):
> > >
> > > Ist z.B. A eine nichtleere Menge und [mm]\sim[/mm] eine
> > > Äquivalenzrelation auf A, so setzt man doch für a [mm]\in[/mm]
> > > A:
> > >
> > > [mm][a]=\{b \in A: b \sim a\}.[/mm]
> > >
> > > Dann setzt man doch [mm]A/\sim =\{[a]: a \in A\}[/mm]
> > >
> > > Ist dann a,b [mm]\in[/mm] A und a [mm]\ne[/mm] b und a [mm]\sim[/mm] b, so ist [a]=
> >
> > oder nehmen wir doch mal direkt passend
> > [mm]\IQ=\{a/b: a \in \IZ \text{ und }\red{q} \in \IN\}\,.[/mm]
das [mm] $q\,$ [/mm] sollte übrigens ein [mm] $b\,$ [/mm] sein - keine Ahnung, was ich mir da
dachte, als ich das getippt hatte ^^ ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Ja, das ist das was ich sagte, in einem Spezialfall
Das meinte ich mit "passend dazu" (wobei ich das Wort "oder" streichen
sollte, das verwirrt: ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") ).
Diesen Spezialfall finde ich besonders gut, weil - fast - jede/r (glaubt,) mit
den rationalen Zahlen umgehen kann (zu können)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Di 05.02.2013 | | Autor: | Helbig |
Hallo Schachuzipus,
> >
> > > Hallo Marcel,
> > >
> > > was ist deiner Meinung nach die Kardinalität der Menge
> > > [mm]\{a,a,b\}[/mm], wobei [mm]a\neq b[/mm]?
> >
> > [mm]\{a,a,b\}=\{a,b\}[/mm]
> > und damit [mm]|\{a,a,b\}|=|\{a,b\}|=2\,.[/mm]
>
>
>
> Genauso sehe ich das auch.
>
> Aber es ist doch nicht üblich, Elemente doppelt
> aufzuzählen.
>
> Sonst wäre ja man nur mit Fallunterscheidungen
> beschäftigt.
Nein.
> Was, wenn die Zahlen in der Menge [mm]X[/mm] nur "Symbole" sind,
> was, wenn [mm]1=2[/mm] oder [mm]1=3[/mm] ...
Das hängt auch hier ganz davon ab, für was die Symbole stehen. Wenn 0 das neutrale Element der Addition und 1 das neutrale Element der Multiplikation eines Ringes ist, und dieser Ring genau ein Element enthält, ist tatsächlich [mm] $0=1=2=3\,,$ [/mm] wobei 1 = 0 + 1, 2 = 1+1, etc. definiert sei.
Aber wir können annehmen, daß mit 0, 1, 2 natürliche Zahlen bezeichnet werden, und 0 [mm] $\ne [/mm] 1 folgt tatsächlich aus den Peano-Axiomen.
>
> Ich denke trotz eurer Einwände immer noch, dass die
> Aufgabe so gemeint ist, dass alle Elemente in beiden Mengen
> verschieden sind ...
Ich denke auch, daß die Aufgabe so gemeint ist. Und darauf wollte ich hinweisen.
Gruß,
Wolfgang
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