Injektive Abbildung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:24 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | Seien A, B Mengen und f: A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Man zeige: Es gibt Funktionen g: A [mm] \to [/mm] C, h: C [mm] \to [/mm] B mit f=h [mm] \circ [/mm] g, wobei g surjektiv und h injektiv ist.
Bemerkung: Man gebe C explizit an. |
Hallo,
könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Wäre sehr nett. Danke!
Für Tipps und Anregungen wäre ich sehr dankbar.
Grüße kiri
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Blech |
> Seien A, B Mengen und f: A [mm]\to[/mm] B eine Abbildung. Man zeige:
> Es gibt Funktionen g: A [mm]\to[/mm] C, h: C [mm]\to[/mm] B mit f=h [mm]\circ[/mm] g,
> wobei g surjektiv und h injektiv ist.
> Bemerkung: Man gebe C explizit an.
> Hallo,
> könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen? Wäre sehr nett.
> Danke!
> Für Tipps und Anregungen wäre ich sehr dankbar.
Mal Dir zwei Reihen von Punkten parallel nebeneinander. Die linke ist A, die rechte ist B. Jetzt zieh von jedem Punkt in A eine Linie zu einem Punkt in B; die Linien sind Dein f. Ziehe die Linien so, daß f weder injektiv noch surjektiv ist.
Wie müßtest Du nun eine dritte Reihe mit Punkten zwischen den beiden einfügen (das ist C), damit die Linien von A zu C surjektiv und die von C zu B injektiv sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, das habe ich jetzt gemacht. Aber irgendwie habe ich immer noch ein Brett vor dem Kopf und weiß nicht genau, was mir das für die Aufgabe bringen soll...
Grüße kiri
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> okay, das habe ich jetzt gemacht. Aber irgendwie habe ich
> immer noch ein Brett vor dem Kopf und weiß nicht genau, was
> mir das für die Aufgabe bringen soll...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht kannst Du etwas genauer beschreiben, was Du getan hast. (Du solltest das grundsätzlich tun, sonst können wir ja nicht richtig helfen, wenn wir nicht sehen, wo die Probleme liegen.)
Ist es Dir in Deinem Bildchen mit einem f, welches werder injektiv noch surjektiv ist, gelungen, so eine Menge C einzufügen, so daß Du das gesuchte g und h einzeichnen konntest?
An welcher Stelle stehst Du gerade?
Falls bis jetzt überhaupt nichts dabei herausgekommen ist, will ich Dir noch einen deutlicheren Tip geben.
Füg' zwischen den Mengen A und B mal die Menge f(A) ein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
aahhh... Ist f(A)=C ??
Aber wie zeige ich denn allgemein, dass es solche Funktionen mit?
Schon einmal vielen Dank!
Grüße kiri
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> Hallo,
> aahhh... Ist f(A)=C ??
Wenn Du das so bestimmst, also sagst C:=f(A), dann ist das so.
Diese Menge C hat ja den Vorteil, daß es sie in der geschilderten Situation immer gibt, denn das f eine Abbildung ist, muß es ja f(A) geben.
Die Fuktion g, welche von A in f(A) abbildet, muß sich doch nicht unbedingt großartig von f unterscheiden,
und die Funktion h von f(A) nach B muß nicht unbedingt eine sehr aufregende sein...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, das verstehe ich.
Könnt ihr mir jetzt nochmal helfen, das formal richtig aufzuschreiben?
Vielen Dank!
Grüße kiri
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 27.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo kiri
Der Weg bei uns ist imme andersrum. Du schreibst auf, so gut du kannst, wir versuchen zu korrigieren.
Nur selbermachen -mit nötiger Korrektur- hilft dir auf die Dauer.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Sa 27.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay, dann werde ich das gleich morgen früh probieren!
Schon mal danke!
Grüße kiri
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 So 28.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
also, probieren wir es mal:
Sei C:=f(A). Dann soll gezeigt werden, dass Funktionen g: A [mm] \to [/mm] f(A) und h: f(A) [mm] \to [/mm] B exisitieren mit f=h [mm] \circ [/mm] g.
Da nach Voraussetzung f: A [mm] \to [/mm] C eine Abbildung ist, existiert auf jedenfall f(A). Nun wissen wir noch, dass g surjektiv ist, das bedeutet also:
Zu jedem z [mm] \in [/mm] f(A) existiert ein x [mm] \in [/mm] A mit g(x)=z. Weiterhin ist h injektiv, was bedeutet:
Seien [mm] z_1,z_2 \in [/mm] f(A). Dann folgt aus [mm] h(z_1)=h(z_2), [/mm] dass [mm] z_1=z_2.
[/mm]
Nun ist f(x)=(h [mm] \circ [/mm] g)(x)=h(g(x))=h(z) ...
Hmmm, helft mir bitte, das Durcheinander zu ordnen, komme da irgendwie nicht drauf. :(
Grüße kiri
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:51 So 28.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Habe gerade einen Fehler entdeckt. Wie kann man seinen Beitrag editieren?
Es muss natürich wie folgt heißen. h ist injektiv, das bedeutet:
Seien $ [mm] z_1,z_2 \in [/mm] $ f(A). Dann folgt aus $ [mm] h(z_1)=h(z_2), [/mm] $ dass $ [mm] z_1=z_2. [/mm] $
Grüße kiri.
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> Habe gerade einen Fehler entdeckt. Wie kann man seinen
> Beitrag editieren?
Hallo,
wenn Du Deinen eigenen Artikel anklickst, hast Du unten in der Leiste, wo Du z.B. "weitere Mitteilung schreiben ", "weitere Frage stellen" auch die Möglichkeit, Deinen eigenen Artikel zu bearbeiten.
Im aktuellen Fall habe ich es bereits für Dich getan.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
> also, probieren wir es mal:
> Sei C:=f(A). Dann soll gezeigt werden, dass Funktionen g:
> A [mm]\to[/mm] f(A) und h: f(A) [mm]\to[/mm] B exisitieren mit f=h [mm]\circ[/mm] g.
> Da nach Voraussetzung f: A [mm]\to[/mm] C eine Abbildung ist,
> existiert auf jedenfall f(A). Nun wissen wir noch, dass g
> surjektiv ist, das bedeutet also:
> Zu jedem z [mm]\in[/mm] f(A) existiert ein x [mm]\in[/mm] A mit g(x)=z.
> Weiterhin ist h injektiv, was bedeutet:
> Seien [mm]z_1,z_2 \in[/mm] f(A). Dann folgt aus [mm]h(z_1)=h(z_2),[/mm] dass
> [mm]z_1=z_2.[/mm]
>
> Nun ist f(x)=(h [mm]\circ[/mm] g)(x)=h(g(x))=h(z) ...
>
> Hmmm, helft mir bitte, das Durcheinander zu ordnen, komme
> da irgendwie nicht drauf. :(
Hallo,
ich glaube ja, daß Du der Sache "irgendwie" auf der Spur bist, aber bewiesen ist nichts.
Du schreibst:
> Nun wissen wir noch, dass g surjektiv ist, das bedeutet also:
Nein, wir wissen das nicht. Wir haben bisher überhaupt kein g. Wir sollen doch erst zeigen, daß es so ein g gibt!
Wenn Du jetzt einfach sagst: g ist surjektiv, dann kannst Du zwar furchtbar viel beweisen - was völlig irrelevant ist für die Aufgabenstellung. Denn hier steht die Frage im Raum, ob es solch ein surjektives g gibt.
Du mußt hier was Konkretes für g angeben.
Welche Funktion bildet denn ganz sicher surjektiv von A auf f(A) ab?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:13 So 28.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
die identische Abbildung? Nein, oder?
Oh, mist. Ich weiß es einfach nicht... :(
Grüße kiri
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> die identische Abbildung? Nein, oder?
Als Antwort auf meine Frage paßt identische Abbildung leider überhaupt nicht:
[mm] f:A\to [/mm] B, also ist C:=f(A) ja ganz sicher eine Teilmenge von B.
Die Identische Abbildung jedoch bildet von [mm] A\to [/mm] A ab, und im allgemeinen ist ja nicht [mm] A\subseteq [/mm] B.
Leg' die identische Abbildung aber nicht so weit weit weg, wir können sie später noch gebrauchen.
Wir machen jetzt mal ein Beispiel.
f:{1,2,3} [mm] \to \{a,b,c,d,e,f\}
[/mm]
mit
f(1):=a
f(2):=a
f(3):= b
Dann ist ja [mm] C:=f(A)=\{a,b\} [/mm] (Mal Dir Bildchen mit Pfeilen dazu.)
Nun def. doch mal eine Funktion [mm] g:{1,2,3}\to \{a,b\}, [/mm] welche surjektiv ist. Möglichst so, daß sich die Funktionswerte nicht so arg von denen von f unterscheiden...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 So 28.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
okay.
g habe ich wie folgt definiert:
g: A [mm] \to [/mm] f(A) , also speziell in unserem Beispiel:
g: {1, 2, 3} [mm] \to [/mm] {a, b} mit g(1):=a, g(2):=a, g(3):=b
Diese Abbildung ist auf jedenfall surjektiv (aber nicht injektiv).
Weiterhin kann ich jetzt ja h definieren mit:
h: f(A) [mm] \to [/mm] B, also in unserem Beispiel könnte man h wie folgt definieren:
h: {a, b} [mm] \to [/mm] {a, b, c, d, e, f} mit h(a):=a und h(b):=b.
Diese Abbidung h ist auf jedenfall injektiv (aber nicht surjektiv).
Wie geht es jetzt weiter?
Grüße kiri
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> Hallo,
> okay.
> g habe ich wie folgt definiert:
>
> g: A [mm]\to[/mm] f(A) , also speziell in unserem Beispiel:
> g: {1, 2, 3} [mm]\to[/mm] {a, b} mit g(1):=a, g(2):=a, g(3):=b
> Diese Abbildung ist auf jedenfall surjektiv (aber nicht
> injektiv).
>
> Weiterhin kann ich jetzt ja h definieren mit:
> h: f(A) [mm]\to[/mm] B, also in unserem Beispiel könnte man h wie
> folgt definieren:
> h: {a, b} [mm]\to[/mm] {a, b, c, d, e, f} mit h(a):=a und h(b):=b.
> Diese Abbidung h ist auf jedenfall injektiv (aber nicht
> surjektiv).
Hallo,
das ist Dir jetzt recht gut geglückt.
Du hättest die oben von Dir definierte Funktion g noch etwas anders aufschreiben können:
g: {1, 2, 3} [mm] \to [/mm] {a, b}
g(1):=f(1), g(2):=f(2), g(3):=f(3).
Diese Funktion g ist die Funktion, die man erhält, wenn man den Wertebereich B von f auf f(A) einschränkt.
Deine Funktion h ist die identische Abbildung auf f(A).
Nun steht hier alles schon so allgemein, daß Dir die Übertragung auf den "echten" allgemeinen Fall nicht mehr viele Schwierigkeiten machen wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 So 28.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
erst einmal vielen Dank.
Ich versuche jetzt einmal die Lösung der Aufgabe zu formulieren:
Sei C:f(A). Dann gelten für die Abbildungen g und h entsprechend:
g: A [mm] \to [/mm] f(A) und h: f(A) [mm] \to [/mm] B. Ferner seien a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B beliebig.
Die Funktion g bildet damit A auf den Bildbereich f(A) der Funktion f ab.
Die Funktion g ist also die Funktion, die man erhält, wenn man den Wertebereich B von f auf f(A) einschränkt. Es kann damit also g(a):=f(a) gelten. g ist damit auch surjektiv.
Die Funktion h ist dann die identische Abbildung auf f(A) und damit ebenfalls injektiv. Es gilt damit auch:
f=(h [mm] \circ [/mm] g)(a)=h(g(a))=h(f(a))=f(a)=f .
Ist das so richtig formuliert und aufgeschrieben?
Danke für deine Mühe. 
Grüße kiri
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> Hallo,
> erst einmal vielen Dank.
> Ich versuche jetzt einmal die Lösung der Aufgabe zu
> formulieren:
>
> Sei C:f(A). Dann gelten für die Abbildungen g und h
> entsprechend:
> g: A [mm]\to[/mm] f(A) und h: f(A) [mm]\to[/mm] B. Ferner seien a [mm]\in[/mm] A und
> b [mm]\in[/mm] B beliebig.
> Die Funktion g bildet damit A auf den Bildbereich f(A) der
> Funktion f ab.
> Die Funktion g ist also die Funktion, die man erhält, wenn
> man den Wertebereich B von f auf f(A) einschränkt. Es kann
> damit also g(a):=f(a) gelten. g ist damit auch surjektiv.
> Die Funktion h ist dann die identische Abbildung auf f(A)
> und damit ebenfalls injektiv. Es gilt damit auch:
> f=(h [mm]\circ[/mm] g)(a)=h(g(a))=h(f(a))=f(a)=f .
>
> Ist das so richtig formuliert und aufgeschrieben?
Nein, so ganz richtig ist das noch nicht, es enthält aber Richtiges.
Ich mache das jetzt mal für Dich - nicht um Dir Zeit zu sparen, sondern damit Du siehst, wie man so etwas macht.
Nochmal die Aufgabe:
"Aufgabe
Seien A, B Mengen und f: A $ [mm] \to [/mm] $ B eine Abbildung. Man zeige: Es gibt Funktionen g: A $ [mm] \to [/mm] $ C, h: C $ [mm] \to [/mm] $ B mit f=h $ [mm] \circ [/mm] $ g, wobei g surjektiv und h injektiv ist.
Bemerkung: Man gebe C explizit an."
Bew.:
f ist eine Abbildung, die von [mm] A\to [/mm] B abbildet. Also gibt es die Menge f(A) und ich definiere [mm] C:=f(A)={f(x)\in B| x\in A\}
[/mm]
Nun definiere ich Funktionen g,h wie folgt:
g: [mm] A\to [/mm] f(A) mit g(x):=f(x) für alle [mm] x\in [/mm] A.
Dies ist wirklich eine Funktion, denn es ist für jedes x [mm] g(x):=f(x)\in [/mm] f(A) . ("Wohldefiniertheit", falls Ihr das hattet.)
Beh.: Die so definierte Funktion g ist surjektiv. (Dies mußt Du an dieser Stelle beweisen! Tu es.)
h definiere ich so:
h: f(A) [mm] \to [/mm] B mit h(y)=y. Das kann ich machen, denn f(A) ist eine Teilmenge von B.
Beh.: h ist inketiv. (Auch das mußt Du noch zeigen!).
Beh.: für die oben definierten Funktionen gilt [mm] f=h\circ [/mm] g.
Bew.: zwei Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen Stellen gleich sind.
Ich zeige also [mm] f(x)=(h\circ [/mm] g)(x) für alle [mm] x\in [/mm] A.
Sei [mm] x\in [/mm] A.
Es ist [mm] (h\circ [/mm] g)(x) =h(g(x)) (nach Def. der Verkettung)
= g(x) (nach Def. von h)
= f(x) (nach Def, von g)
Damit ist die Behauptung bewiesen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 So 28.10.2007 | | Autor: | kiri111 |
Hallo,
ich habe mir deine Ausführungen nochmals angeschaut und dann "aus dem Kopf" aufgeschrieben und alles verstanden.
Ich danke dir vielmals für die Hilfe.
Danke!
Grüße kiri
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