Injektive & surjektive Abb < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Neco1982 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich versuche folgende Aufgabe zu lösen: Bestimmung von Injektivität und Surjektivität der folgenden Abbildung:
[mm] \IR^2 \to \IR \ge [/mm] 0, (x,y) [mm] \mapsto x^2+y^2
[/mm]
Ich weiß, wie ich vorgehen muss, wenn der Wertbereich und Definitionsbereich dieselben sind, dann muss ich, um Injektivität zu untersuchen f(x)=f(y) setzen.
Mir fehlt hier jeglicher Ansatz.
Ich hoffe auf Hilfe.
Danke im Voraus!
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> ich versuche folgende Aufgabe zu lösen: Bestimmung von
> Injektivität und Surjektivität der folgenden Abbildung:
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> [mm]\IR^2 \to \IR \ge[/mm] 0, (x,y) [mm]\mapsto x^2+y^2[/mm]
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> Ich weiß, wie ich vorgehen muss, wenn der Wertbereich und
> Definitionsbereich dieselben sind, dann muss ich, um
> Injektivität zu untersuchen f(x)=f(y) setzen.
Hallo,
ich verrat Dir was: die Funktion ist gar nicht injektiv!
Deine Aufgabe ist es das zu beweisen. Es reicht ein Beispiel, bei dem
f(x,y)=f(a,b) , aber (x,y) [mm] \not= [/mm] (a,b)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Sa 29.10.2005 | | Autor: | Neco1982 |
Hallo Angela,
danke für den Tipp. Zwei Fragen habe ich aber noch: 1. Was bedeutet denn dieser Definitionsbereich [mm] \IR^2 [/mm] bildet auf [mm] \IR \ge [/mm] 0 ??
2. Was mache ich bei Surjektivität. Ich kann das auch nicht zeichnen, weil ich nicht weiß, wie das funktioniert, wenn zwei Variabeln gegeben sind...oder ist eine der Variabeln eine Konstante?
Liebe Grüße,
Neco
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Hallo Neco!
> danke für den Tipp. Zwei Fragen habe ich aber noch: 1. Was
> bedeutet denn dieser Definitionsbereich [mm]\IR^2[/mm] bildet auf
> [mm]\IR \ge[/mm] 0 ??
Das bedeutet, dass im Definitionsbereich sogenannte Tupel (auch Paare genannt) liegen. Du bildest also nicht nur ein Element ab, sondern quasi direkt zwei, nämlich (x,y), wobei [mm] x\in\IR [/mm] und auch [mm] y\in\IR, [/mm] denn (x,y) ist ja [mm] \in\IR^2. [/mm] Wenn du also von [mm] \IR^3 [/mm] abbilden würdest, würdest du ein Tripel (x,y,z) abbilden, wobei [mm] x,y,z\in\IR. [/mm] Du könntest aber auch von [mm] \IR\times\IC [/mm] abbilden, dann hättest du wieder ein Tupel (x,y), wobei [mm] x\in\IR [/mm] und [mm] y\in\IC. [/mm] Übrigens ist [mm] \IR^2 [/mm] das Gleiche wie [mm] \IR\times\IR. [/mm] Nun verstanden? Ansonsten frag nochmal. 
> 2. Was mache ich bei Surjektivität. Ich kann das auch nicht
> zeichnen, weil ich nicht weiß, wie das funktioniert, wenn
> zwei Variabeln gegeben sind...oder ist eine der Variabeln
> eine Konstante?
Ja, das ist glaube ich eine Gewöhnungssache, mit den mehreren Variablen. Da hier aber genau (x,y) abgebildet wird, ist keines der beiden konstant, sondern die Funktion hängt wirklich von beiden ab - es wird ja auch für jede ein Definitionsbereich angegeben, siehe meine Erklärung von gerade.
Deine Funktion ist auch nicht surjektiv, denn für negative Werte, gibt es kein (x,y), dass darauf abgebildet würde, da ja das Bild [mm] =x^2+y^2 [/mm] immer größer oder gleich 0 ist. Ich denke, das würde so sogar schon als Beweis reichen.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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