Injektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 So 12.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Für welche $b,c [mm] \in \IR$ [/mm] ist $f: [mm] \IR_+ \rightarrow \IR$, [/mm] $f(x):= x²+bx+c$ injektiv? |
Hallo Zusammen,
durch die Einschränkung des Definitionsbereiches auf [mm] \IR_+, [/mm] ist die Funktion x² überhaupt erst injektiv. Die Definition für injektiv:
Verschiedene Elemente erhalten verschiedene Bilder:
f(x) = f(y) -> x = y für [mm] \forall [/mm] x, y
Damit zeigt man doch eigentlich das Gegenteil, dass es für verschiedene Elemente x, y gleiche Bilder f(x) und f(y) gibt, somit ist die Funktion nicht injektiv, da es für unterschiedliche x-Werte gleiche Funktionswerte gibt.
Wenn somit diese Behauptung der Definition nicht stimmt, ist die Funktion injektiv.
Ich habe mir nun überlegt die Funktion $f(x):= x²+bx+c$ in die Scheitelpunktform zu bringen, also:
$f(x):= [mm] \left( x + \bruch{b}{2} \right)²+ \bruch{4c - b²}{4}$
[/mm]
Somit ergibt sich für die Koordinate des Scheitelpunktes:
[mm] S\left( -\bruch{b}{2} \ \Bigg| \bruch{4c - b²}{4} \right)
[/mm]
Anhand des Graphen habe ich nun herausbekommen, dass b [mm] \ge [/mm] 0 sein muss und c [mm] \in \IR [/mm] beliebig gewählt werden kann.
Somit bleibt der Scheitelpunkt immer auf der linken Seite der y-Achse oder direkt auf der y-Achse, somit injektiv, da aufgrund des Definitionsbereichs nur [mm] \IR_+ [/mm] gilt. Darum darf c beliebig gewählt werden, Verschiebung nach oben bzw. unten auf der y-Achse.
Stimmt diese Überlegung soweit?
Wie zeige ich dies rechnerisch?
Gruß
itse
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> Für welche [mm]b,c \in \IR[/mm] ist [mm]f: \IR_+ \rightarrow \IR[/mm], [mm]f(x):= x²+bx+c[/mm]
> injektiv?
> Hallo Zusammen,
>
> durch die Einschränkung des Definitionsbereiches auf [mm]\IR_+,[/mm]
> ist die Funktion x² überhaupt erst injektiv. Die Definition
> für injektiv:
>
> Verschiedene Elemente erhalten verschiedene Bilder:
>
> f(x) = f(y) -> x = y für [mm]\forall[/mm] x, y
>
> Damit zeigt man doch eigentlich das Gegenteil, dass es für
> verschiedene Elemente x, y gleiche Bilder f(x) und f(y)
> gibt, somit ist die Funktion nicht injektiv, da es für
> unterschiedliche x-Werte gleiche Funktionswerte gibt.
Also was deine Definition sagt, ist das wenn zwei Funktionswerte Gleich sind, dass dann auch die Urbilder schon gleich waren.
> Wenn somit diese Behauptung der Definition nicht stimmt,
> ist die Funktion injektiv.
>
> Ich habe mir nun überlegt die Funktion [mm]f(x):= x²+bx+c[/mm] in
> die Scheitelpunktform zu bringen, also:
>
> [mm]f(x):= \left( x + \bruch{b}{2} \right)²+ \bruch{4c - b²}{4}[/mm]
>
Das stimmt.
> Somit ergibt sich für die Koordinate des Scheitelpunktes:
>
> [mm]S\left( -\bruch{b}{2} \ \Bigg| \bruch{4c - b²}{4} \right)[/mm]
>
> Anhand des Graphen habe ich nun herausbekommen, dass b [mm]\ge[/mm]
> 0 sein muss und c [mm]\in \IR[/mm] beliebig gewählt werden kann.
>
> Somit bleibt der Scheitelpunkt immer auf der linken Seite
> der y-Achse oder direkt auf der y-Achse, somit injektiv, da
> aufgrund des Definitionsbereichs nur [mm]\IR_+[/mm] gilt. Darum darf
> c beliebig gewählt werden, Verschiebung nach oben bzw.
> unten auf der y-Achse.
>
> Stimmt diese Überlegung soweit?
>
> Wie zeige ich dies rechnerisch?
>
> Gruß
> itse
Also eine stetige, reelwertige Funktion ist injektiv genau dann, wenn sie streng monoton ist(fallend oder wachsend ist egal). Wie zeigt man Monotonie?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 So 12.04.2009 | | Autor: | itse |
> Also eine stetige, reelwertige Funktion ist injektiv genau
> dann, wenn sie streng monoton ist(fallend oder wachsend ist
> egal). Wie zeigt man Monotonie?
Nun f ist streng monoton steigend, wenn für alle d, e [mm] \in \IR_+: [/mm] d < e -> f(d) < f(e).
f(d) < f(e)
d² + bd +c < e² + be +c
d² + bd < e² + be
d² + bd - be < e²
d² + b(d-e) < e²
für d = 1 und e = 2:
1 - b < 4
Nur was sagt mir dies nun?
Ist überhaupt meine Vermutung, dass für b [mm] \ge [/mm] 0 und c [mm] \in \IR [/mm] beliebig, die Funktion f: [mm] \IR_+ \rightarrow \IR, [/mm] f(x):= x²+bx+c injektiv ist, richtig ?
Gruß
itse
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> > Also eine stetige, reelwertige Funktion ist injektiv genau
> > dann, wenn sie streng monoton ist(fallend oder wachsend ist
> > egal). Wie zeigt man Monotonie?
>
> Nun f ist streng monoton steigend, wenn für alle d, e [mm]\in \IR_+:[/mm]
> d < e -> f(d) < f(e).
>
> f(d) < f(e)
>
> d² + bd +c < e² + be +c
>
> d² + bd < e² + be
>
> d² + bd - be < e²
>
> d² + b(d-e) < e²
>
> für d = 1 und e = 2:
>
> 1 - b < 4
>
> Nur was sagt mir dies nun?
Stichwort: Erste Ableitung. Was sagt die Über die Monotonie aus.
>
> Ist überhaupt meine Vermutung, dass für b [mm]\ge[/mm] 0 und c [mm]\in \IR[/mm]
> beliebig, die Funktion f: [mm]\IR_+ \rightarrow \IR,[/mm] f(x):=
> x²+bx+c injektiv ist, richtig ?
>
Also c beliebig ist richtig. Bei dem b schau dir mal die erste Ableitung an.
> Gruß
> itse
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 So 12.04.2009 | | Autor: | itse |
> > > Also eine stetige, reelwertige Funktion ist injektiv genau
> > > dann, wenn sie streng monoton ist(fallend oder wachsend ist
> > > egal). Wie zeigt man Monotonie?
> >
> > Nun f ist streng monoton steigend, wenn für alle d, e [mm]\in \IR_+:[/mm]
> > d < e -> f(d) < f(e).
> >
> > f(d) < f(e)
> >
> > d² + bd +c < e² + be +c
> >
> > d² + bd < e² + be
> >
> > d² + bd - be < e²
> >
> > d² + b(d-e) < e²
> >
> > für d = 1 und e = 2:
> >
> > 1 - b < 4
> >
> > Nur was sagt mir dies nun?
> Stichwort: Erste Ableitung. Was sagt die Über die
> Monotonie aus.
Die erste Ableitung würde so aussehen: f'(x) = 2x+b
Diese gibt zu jedem Punkt des Graphen die Steigung (Tangente) an.
f'(x) > 0 (streng monoton steigend)
2x+b > 0
x > -b/2
Wenn also x größer -b/2 dann ist die Funktion streng monoton steigend, und wenn x kleiner -b/2 dann streng monoton fallend. Nur b kann ja aus der Menge der reellen Zahlen gewält werden, somit weiß ich nicht, inwieweit ich nun die Injektivität gezeigt habe.
> > Ist überhaupt meine Vermutung, dass für b [mm]\ge[/mm] 0 und c [mm]\in \IR[/mm]
> > beliebig, die Funktion f: [mm]\IR_+ \rightarrow \IR,[/mm] f(x):=
> > x²+bx+c injektiv ist, richtig ?
> >
> Also c beliebig ist richtig. Bei dem b schau dir mal die
> erste Ableitung an.
Die erste Ableitung lautet f'(x) = 2x+b, somit gibt das b, die Verschiebung auf der y-Achse an. Ich hatte mir das ganze grafisch überlegt, da die Definitiongsmenge die positiven reellen Zahlen sind und die Funktionswerte für unterschiedliche x-Werte auch unterschiedlich sein müssen, bin ich auf b [mm] \ge [/mm] 0 gekommen.
Nur was sagt mir nun die erste Ableitung bezüglich b und injektiv?
Wie soll ich dies eigentlich zeigen, wenn man die Ableitungen nicht verwenden darf?
Beste Grüße
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Nur was sagt mir nun die erste Ableitung bezüglich b und
> injektiv?
siehe Freds Antwort unten.
> Wie soll ich dies eigentlich zeigen, wenn man die
> Ableitungen nicht verwenden darf?
Dann bleib' bei den von Dir gemachten Überlegungen:
Gegeben war [mm] $f(x):=x^2+bx+c$ [/mm] ($x [mm] \in \IR_{\ge 0}=[0,\infty)$). [/mm] Du hast erkannt:
Das Schaubild von [mm] $f\,$ [/mm] entsteht durch eine verschobene, nach oben geöffnete Normalparabel mit Scheitelpunkt
[mm] $$S\left( -\bruch{b}{2} \ \Bigg| \bruch{4c - b²}{4} \right)\,,$$
[/mm]
wenn man diese Parabel nur für alle $x [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] zeichnet [mm] ($f\,$ [/mm] ist ja nur auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] definiert!).
Vorüberlegung anhand des Graphen:
'Grafisch' kann man sich dann leicht klarmachen:
[mm] $f\,$ [/mm] somit genau dann injektiv, wenn die [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] des Scheitelpunkts auch [mm] $\le [/mm] 0$ ist, d.h.
$$f [mm] \text{ injektiv } \gdw [/mm] -b/2 [mm] \le [/mm] 0$$
bzw.
$$f [mm] \text{ injektiv } \gdw [/mm] b [mm] \ge 0\,.$$
[/mm]
Das wären jetzt eigentlich erstmal Vorüberlegungen, die man machen kann, damit man überhaupt zu einer Behauptung gelangt. Jetzt haben wir die Aussage gefunden, die wir mathematisch nun in einen Beweis, der sich keiner Anschauung bedient, fassen.
(Für den zweiten Beweisteil ist es allerdings sehr hilfreich, wenn man sich klarmacht, wie das dort geschriebene mit der 'Scheitelpunktform' zusammenhängt.)
Behauptung:
Die auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] definierte Funktion [mm] $f(x):=x^2+bx+c$ [/mm] ist genau dann injektiv, wenn $b [mm] \ge [/mm] 0$ ist.
Beweis:
1.) '$b [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f$ ist injektiv':
Sei also $b [mm] \ge [/mm] 0$ und seien [mm] $x,\,y \in \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=f(y)\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $$y^2+by+c=x^2+bx+c$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (y^2-x^2)+b(y-x)=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (y+x)(y-x)+b(y-x)=0\,.$$
[/mm]
Angenommen, es wäre $y [mm] \not=x\,.$ [/mm] Dann folgte nach Division durch $y-x [mm] \not=0$ [/mm] aus der letzten Gleichung oben, dass [mm] $y+x+b=0\,.$ [/mm] Wegen $x,y,b [mm] \ge [/mm] 0$ wäre damit $x=y=b=0$ im Widerspruch zu der getroffenene Annahme $y [mm] \not=x\,.$ [/mm] Also muss [mm] $y=x\,$ [/mm] gelten.
2.) '$f$ injektiv [mm] $\Rightarrow [/mm] b [mm] \ge [/mm] 0$ ':
Auch, wenn Du diese Rechnung schonmal gemacht hast:
Es gilt
[mm] $$f(x)=x^2+bx+c$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (\star)\;\;\;f(x)=\Big(x+\frac{b}{2}\Big)^2+\Big(c-\frac{b^2}{4}\Big)\,.$$
[/mm]
Wir führen einen Beweis durch Kontraposition, d.h. wir zeigen (bzw. Du sollst das noch zu Ende führen):
$$b < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f [mm] \text{ ist nicht injektiv}\,.$$
[/mm]
Sei also $b < [mm] 0\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $x:=-\frac{b}{4} \in \IR_{\ge 0}$ [/mm] sowie [mm] $y:=-\frac{3}{4}b \in \IR_{\ge 0}\,,$ [/mm] zudem gilt
[mm] $$x=-\frac{b}{2}+\frac{b}{4}$$
[/mm]
und
[mm] $$y=-\frac{b}{2}-\frac{b}{4}\,.$$
[/mm]
Da insbesondere $b [mm] \not=0$ [/mm] ist, erkennt man sofort $x [mm] \not =y\,,$ [/mm] es gilt also $x,y [mm] \in \IR_{\ge 0}$ [/mm] mit $x [mm] \not=y\,.$
[/mm]
Berechne nun aber mal [mm] $f(x)\,$ [/mm] und [mm] $f(y)\,$ [/mm] und vergleiche (mithilfe von [mm] $(\star)$ [/mm] geht das am leichtesten, bzw. [mm] $(\star)$ [/mm] lieferte eigentlich erst die Idee, [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] so zu definieren; wir haben nun nur noch kurz zu zeigen, dass sie 'das Gewünschte' belegen).
Kann dann [mm] $f\,$ [/mm] noch injektiv sein?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:17 Di 14.04.2009 | | Autor: | itse |
Ich habe nun f(x) und f(y) berechnet und es ergibt sich das Gleiche: f(x) = f(y) = [mm] -\bruch{3b²}{16} [/mm] + c
-> f(x) = f(y), aber die Voraussetzung war, dass x [mm] \ne [/mm] y ist, somit kann die Funktion für b < 0 nicht injektiv. Da die Definition von injektiv:
f(x) = f(y) -> x = y
Also muss b [mm] \ge [/mm] 0 sein, damit f injektiv.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Di 14.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Marcel,
> 2.) '[mm]f[/mm] injektiv [mm]\Rightarrow b \ge 0[/mm] ':
> Auch, wenn Du diese Rechnung schonmal gemacht hast:
> Es gilt
> [mm]f(x)=x^2+bx+c[/mm]
> [mm]\gdw (\star)\;\;\;f(x)=\Big(x+\frac{b}{2}\Big)^2+\Big(c-\frac{b^2}{4}\Big)\,.[/mm]
>
> Wir führen einen Beweis durch Kontraposition, d.h. wir
> zeigen (bzw. Du sollst das noch zu Ende führen):
> [mm]b < 0 \Rightarrow f \text{ ist nicht injektiv}\,.[/mm]
>
> Sei also [mm]b < 0\,.[/mm] Dann ist [mm]x:=-\frac{b}{4} \in \IR_{\ge 0}[/mm] sowie [mm]y:=-\frac{3}{4}b \in \IR_{\ge 0}\,,[/mm] zudem gilt
> [mm]x=-\frac{b}{2}+\frac{b}{4}[/mm] und [mm]y=-\frac{b}{2}-\frac{b}{4}\,.[/mm]
Wie kommst du denn für b < 0 auf diesen Zusammenhang, dass sich x und y so definieren?
Ich konnte den Sinn anhand der Scheitelpunktform erkennen, da für b < 0 sich der Graph nach rechts verschiebt, muss es somit aufgrund x² zwei gleiche Funktionswerte geben, aber die Argumente sind unterschiedlich, deswegen keine Injektivität.
Gruß
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > 2.) '[mm]f[/mm] injektiv [mm]\Rightarrow b \ge 0[/mm] ':
> > Auch, wenn Du diese Rechnung schonmal gemacht hast:
> > Es gilt
> > [mm]f(x)=x^2+bx+c[/mm]
> > [mm]\gdw (\star)\;\;\;f(x)=\Big(x+\frac{b}{2}\Big)^2+\Big(c-\frac{b^2}{4}\Big)\,.[/mm]
>
> >
> > Wir führen einen Beweis durch Kontraposition, d.h. wir
> > zeigen (bzw. Du sollst das noch zu Ende führen):
> > [mm]b < 0 \Rightarrow f \text{ ist nicht injektiv}\,.[/mm]
> >
> > Sei also [mm]b < 0\,.[/mm] Dann ist [mm]x:=-\frac{b}{4} \in \IR_{\ge 0}[/mm]
> sowie [mm]y:=-\frac{3}{4}b \in \IR_{\ge 0}\,,[/mm] zudem gilt
> > [mm]x=-\frac{b}{2}+\frac{b}{4}[/mm] und
> [mm]y=-\frac{b}{2}-\frac{b}{4}\,.[/mm]
>
> Wie kommst du denn für b < 0 auf diesen Zusammenhang, dass
> sich x und y so definieren?
die definieren sich nicht so, sondern wegen einer gewissen Symmetrie von auf [mm] $\IR$ [/mm] definierten Funktionen der Bauart [mm] $f(x)=ax^2+bx+c$ [/mm] (mit $a [mm] \not=0$; [/mm] hier herrscht nämlich Symmtrie zu der zur $y-$Achse parallelen Achse [mm] $x=-b/2\,$ [/mm] vor!) kann man erkennen, dass diese so definierten Stellen [mm] $x,\,y$ [/mm] dann geeignet sind, um oben die Injektivität zu widerlegen.
> Ich konnte den Sinn anhand der Scheitelpunktform erkennen,
> da für b < 0 sich der Graph nach rechts verschiebt, muss es
> somit aufgrund x² zwei gleiche Funktionswerte geben, aber
> die Argumente sind unterschiedlich, deswegen keine
> Injektivität.
Genau das solltest Du jetzt nicht nur in Worten sagen, sondern auch 'nachrechnen'.
Allgemeiner hättest Du auch sagen können:
Für $b < 0$ nehme man irgendein [mm] $\epsilon \in \left(0,-\frac{b}{2}\right]$ [/mm] her (wegen $-b > 0$ ist [mm] $\left(0,-\frac{b}{2}\right] \not= \emptyset$). [/mm] Nun rechne ich nach, dass dann für
[mm] $$x_\epsilon:=-\frac{b}{2}-\epsilon$$
[/mm]
und
[mm] $$y_\epsilon:=-\frac{b}{2}+\epsilon$$
[/mm]
dann [mm] $x_\epsilon, \,y_\epsilon \ge [/mm] 0$ und [mm] $x_\epsilon \not= y_\epsilon$ [/mm] gilt (die Bedingung $0 < [mm] \epsilon \le [/mm] -b/2$ sorgt dafür, dass auch [mm] $x_\epsilon \ge [/mm] 0$ bleibt!), aber zugleich auch
[mm] $$f(x_\epsilon)=f(y_\epsilon)\,.$$
[/mm]
Diese 'Beweisidee' kannst Du Dir sehr gut am Graphen Deiner Funktion veranschaulichen; das 'sieht man' quasi an der Scheitelpunktform, was da gemacht wird.
Weil man gar nicht 'so viele [mm] $x_\epsilon, y_\epsilon \ge [/mm] 0$ mit [mm] $x_\epsilon \not= y_\epsilon$ [/mm] und [mm] $f(x_\epsilon)=f(y_\epsilon)$ [/mm] braucht, um die Injektivität zu widerlegen', habe ich halt [mm] $x_\epsilon$ [/mm] bzw. [mm] $y_\epsilon$ [/mm] mit einem konkreten [mm] $\epsilon \in \left(0,-\frac{b}{2}\right]$ [/mm] angegeben, z.B. durch die Wahl von [mm] $\epsilon=\frac{1}{2}*\Big(-\frac{b}{2}\Big)=-\frac{b}{4}\,.$
[/mm]
Übrigens:
Das [mm] $f(x_\epsilon)=f(y_\epsilon)$ [/mm] gilt, erkennt man auch wieder sofort mit [mm] $(\star)$:
[/mm]
[mm] $$f(x_\epsilon)=\Big(x_\epsilon+\frac{b}{2}\Big)^2+\Big(c-\frac{b^2}{4}\Big)=(-\epsilon)^2+\Big(c-\frac{b^2}{4}\Big)=\epsilon^2+\Big(c-\frac{b^2}{4}\Big)=\Big(y_\epsilon+\frac{b}{2}\Big)^2+\Big(c-\frac{b^2}{4}\Big)=f(y_\epsilon)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 So 12.04.2009 | | Autor: | abakus |
> > > Also eine stetige, reelwertige Funktion ist injektiv genau
> > > dann, wenn sie streng monoton ist(fallend oder wachsend ist
> > > egal). Wie zeigt man Monotonie?
> >
> > Nun f ist streng monoton steigend, wenn für alle d, e [mm]\in \IR_+:[/mm]
> > d < e -> f(d) < f(e).
> >
> > f(d) < f(e)
Aber doch nicht mit einer Behauptung beginnen....!
Aus d<e UND d,e>0 folgt [mm] d^2
Aus d<e UND b>0 folgt außerdem bd<be.
Zusammenfassen beider Ungleichungen liefert [mm] d^2+bd
Gruß Abakus
> >
> > d² + bd +c < e² + be +c
> >
> > d² + bd < e² + be
> >
> > d² + bd - be < e²
> >
> > d² + b(d-e) < e²
> >
> > für d = 1 und e = 2:
> >
> > 1 - b < 4
> >
> > Nur was sagt mir dies nun?
> Stichwort: Erste Ableitung. Was sagt die Über die
> Monotonie aus.
> >
> > Ist überhaupt meine Vermutung, dass für b [mm]\ge[/mm] 0 und c [mm]\in \IR[/mm]
> > beliebig, die Funktion f: [mm]\IR_+ \rightarrow \IR,[/mm] f(x):=
> > x²+bx+c injektiv ist, richtig ?
> >
> Also c beliebig ist richtig. Bei dem b schau dir mal die
> erste Ableitung an.
> > Gruß
> > itse
> >
> >
> >
> >
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Ahoi,
wenn du einen Ansatz ohne erste Ableitung haben willst, nimm deine Vorüberlegungen und betrachte dann mal zwei Punkte nah links und rechts am Scheitelpunkt, also:
[mm]x_1 = -\bruch{b}{2} + \varepsilon[/mm]
und
[mm]x_2 = -\bruch{b}{2} - \varepsilon[/mm]
Und betrachte [mm]f(x_1)[/mm] und [mm]f(x_2)[/mm]
Für welche b existieren dann [mm] x_1,x_2 \in \IR_+ [/mm] und wann nicht?
(Als Tip: Deine Erkenntnis [mm] b\le [/mm] 0 für Injektivität stimmt schon)
MfG,
Gono.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:23 So 12.04.2009 | | Autor: | itse |
> Ahoi,
>
> wenn du einen Ansatz ohne erste Ableitung haben willst,
> nimm deine Vorüberlegungen und betrachte dann mal zwei
> Punkte nah links und rechts am Scheitelpunkt, also:
>
> [mm]x_1 = -\bruch{b}{2} + \varepsilon[/mm]
>
> und
>
> [mm]x_2 = -\bruch{b}{2} - \varepsilon[/mm]
>
> Und betrachte [mm]f(x_1)[/mm] und [mm]f(x_2)[/mm]
>
> Für welche b existieren dann [mm]x_1,x_2 \in \IR_+[/mm] und wann
> nicht?
> (Als Tip: Deine Erkenntnis [mm]b\le[/mm] 0 für Injektivität stimmt
> schon)
Ich hatte aber aus meinen Überlegung darauf geschlossen, dass b [mm] \ge [/mm] 0 sein muss, damit die Funktion injektiv ist.
[mm] f(x_1) [/mm] = [mm] (-\bruch{b}{2} [/mm] + [mm] \epsilon)² [/mm] + [mm] b(-\bruch{b}{2} [/mm] + [mm] \epsilon) [/mm] + c = [mm] -\bruch{b²}{4} [/mm] + [mm] (\epsilon)² [/mm] + c
der term [mm] -\bruch{b²}{4} [/mm] ist immer negativ, da das Quadrat alles negative positiv macht, somit muss doch [mm] -\bruch{b²}{4} \le [/mm] c sein, damit man ein positives [mm] x_1 \in \IR_+ [/mm] erhält. Dies nun weiterverfolgt ergibt:
[mm] -\bruch{b²}{4} \le [/mm] c
-b² [mm] \le [/mm] 4c
b² [mm] \le [/mm] -4c für c [mm] \in \IR_-
[/mm]
b [mm] \le 2\wurzel{-c}
[/mm]
für [mm] f(x_2) [/mm] ergibt sich das Gleiche:
[mm] f(x_2) [/mm] = [mm] -\bruch{b²}{4} [/mm] + [mm] (\epsilon)² [/mm] + c
Ich komme mit der Überlegung: Für welche b existieren dann [mm]x_1,x_2 \in \IR_+[/mm] und wann nicht? Nicht so wirklich zu recht. Wie muss ich dort argumentieren?
Gruß
itse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Di 14.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Di 14.04.2009 | | Autor: | fred97 |
1. Ist f auf [mm] \IR_+ [/mm] injektiv, so ist f auf [mm] \IR_+ [/mm] monoton. Wegen [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] = [mm] \infty, [/mm] ist f auf [mm] \IR_+ [/mm] monoton wachsend und somit ist
$f'(x) = 2x+b [mm] \ge [/mm] 0$ für jedes x [mm] \ge [/mm] 0
Insbes. ist $b = f'(0) [mm] \ge [/mm] 0$
2. Sei b [mm] \ge [/mm] 0. Dann ist
$f'(x) = 2x+b > 0$ für jedes x > 0,
somit ist f auf [mm] \IR_+ [/mm] streng monoton und damit auf [mm] \IR_+ [/mm] injektiv.
Fazit:
$ f: [mm] \IR_+ \rightarrow \IR [/mm] $, $ f(x):= x²+bx+c $ ist injektiv [mm] \gdw [/mm] b [mm] \ge [/mm] 0.
FRED
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> Anhand des Graphen habe ich nun herausbekommen, dass b [mm]\ge[/mm]
> 0 sein muss und c [mm]\in \IR[/mm] beliebig gewählt werden kann.
>
> Somit bleibt der Scheitelpunkt immer auf der linken Seite
> der y-Achse oder direkt auf der y-Achse, somit injektiv, da
> aufgrund des Definitionsbereichs nur [mm]\IR_+[/mm] gilt. Darum darf
> c beliebig gewählt werden, Verschiebung nach oben bzw.
> unten auf der y-Achse.
>
> Stimmt diese Überlegung soweit?
Ja, durchaus !
> Wie zeige ich dies rechnerisch?
Hallo,
ich bin oft etwas irritiert, wenn diese Frage kommt,
obwohl man einen Sachverhalt durch geometrische
Überlegungen eigentlich schon einwandfrei begriffen
hat. Warum sollen es denn immer Rechnungen sein,
wenn eine klare Zeichnung und etwas Geometrie
die richtige Antwort schon geliefert haben ?
In dieser Frage klingt irgendwie eine Abwertung
der Geometrie - und ein Stück weit auch des
gesunden Menschenverstandes mit ...
Dass wir uns durch Anschauung einen Überblick
über geometrische Situationen verschaffen und
diese dann auch begrifflich klar beschreiben können,
ist genau eine der Fähigkeiten, in denen wir (wohl
noch für einige Zeit) den Rechnern überlegen sind.
Natürlich kann man sich fragen, wie man etwas,
das man anschaulich "gesehen" hat, dann auch
noch so präpariert, dass am Schluss ein (blinder)
Rechner bzw. ein Computerprogramm damit
zurechtkommt. Dies ist dann aber ein anderes
Problem als die eigentliche Lösung der ursprüng-
lichen Aufgabe.
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:22 Di 14.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Anhand des Graphen habe ich nun herausbekommen, dass b [mm]\ge[/mm]
> > 0 sein muss und c [mm]\in \IR[/mm] beliebig gewählt werden kann.
> >
> > Somit bleibt der Scheitelpunkt immer auf der linken Seite
> > der y-Achse oder direkt auf der y-Achse, somit injektiv, da
> > aufgrund des Definitionsbereichs nur [mm]\IR_+[/mm] gilt. Darum darf
> > c beliebig gewählt werden, Verschiebung nach oben bzw.
> > unten auf der y-Achse.
> >
> > Stimmt diese Überlegung soweit?
>
> Ja, durchaus !
>
> > Wie zeige ich dies rechnerisch?
>
>
> Hallo,
>
> ich bin oft etwas irritiert, wenn diese Frage kommt,
> obwohl man einen Sachverhalt durch geometrische
> Überlegungen eigentlich schon einwandfrei begriffen
> hat. Warum sollen es denn immer Rechnungen sein,
> wenn eine klare Zeichnung und etwas Geometrie
> die richtige Antwort schon geliefert haben ?
aus verschiedenen Gründen:
Zum einen kann man öfters Trugschlüssen unterliegen (das man quasi 'Spezialfälle' abhandelt oder etwas zu sehen glaubt, ohne nachzuprüfen, dass das zu sehen geglaubte auch wirklich wahr ist), zum anderen sollten die Rechnungen auch im Einklang mit dem stehen, was man zu sehen glaubt. Wenn es da Dinge gibt, die 'sich widersprechen', weiß man auch, dass irgendwo ein Haken an der Sache ist.
> In dieser Frage klingt irgendwie eine Abwertung
> der Geometrie - und ein Stück weit auch des
> gesunden Menschenverstandes mit ...
Das sehe ich komplett anders. Ich sehe es eher so, dass man damit bestätigt, wie die Geometrie und die 'algebraische Mathematik' in Einklang miteinander stehen.
> Dass wir uns durch Anschauung einen Überblick
> über geometrische Situationen verschaffen und
> diese dann auch begrifflich klar beschreiben können,
> ist genau eine der Fähigkeiten, in denen wir (wohl
> noch für einige Zeit) den Rechnern überlegen sind.
>
> Natürlich kann man sich fragen, wie man etwas,
> das man anschaulich "gesehen" hat, dann auch
> noch so präpariert, dass am Schluss ein (blinder)
> Rechner bzw. ein Computerprogramm damit
> zurechtkommt. Dies ist dann aber ein anderes
> Problem als die eigentliche Lösung der ursprüng-
> lichen Aufgabe.
Es gibt noch einen anderen Grund: Beweisen lernt man nur, indem man Beweise führt. Bei der oben angegebenen Funktion ist es vll. noch relativ einfach, mit dem Graphen der Funktion zu argumentieren und die 'Anschauung' bzw. 'anschauliche Geometrie' zu Rate zu ziehen. Aber unsere Vorstellungskraft ist in der Anschaung begrenzt, spätestens bei Funktionen [mm] $\IR^m \to \IR^n$, [/mm] sei es nur $m=5$ und $n=4$, hat man wohl Probleme, da etwas zu 'visualisieren'.
Ich finde es sinnvoll, bei der obigen Funktion erstmal mit der 'Visualisierung' und mit der Scheitelpunktsform zu starten. Aber damit man lernt, wie man auch abstraktere Beweise für die Injektivität einer Funktion führen kann, finde ich es wichtig, dass man den Beweis auch 'rechnerisch' führt. Damit erhält man insbesondere als Ergebnis, dass das, was man sieht oder zu sehen glaubt, auch im Einklang mit dem steht, was man nachrechnet.
Und es gibt durchaus auch Ergebnisse, die man sich wunderbar geometrisch herleiten kann, z.B.
[mm] $$e^x \ge [/mm] x+1 [mm] \text{ für alle }x \in \IR\,.$$
[/mm]
Das erkennt man sofort an den Graphen der auf [mm] $\IR$ [/mm] definierten Funktionen $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] und $x [mm] \mapsto x+1\,,$ [/mm] und 'man sieht da auch, wie man das mithilfe der Kenntnisse aus der Analysis nachrechnen kann'. (Z.B. mithilfe der Differentialrechnung.)
Gruß,
Marcel
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