www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionen" - Injektivität
Injektivität < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Injektivität: Teilmengen von Abbildungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:03 Do 02.07.2009
Autor: dr_geissler

Aufgabe
Es sei f:X [mm] \to [/mm] Y
Beweisen Sie, dass
f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \subseteq [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
für alle Teilmengen A,B von X, genau dann wenn f injektiv ist.

Mein Frage ist nun eher was fürs Verständnis.

Sei f injektiv.

f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) [mm] \gdw [/mm] y=f(a) und y=f(b) für [mm] a\in [/mm] A und [mm] b\in [/mm] B.

Da f injektiv ist gilt a=b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b) bzw. [mm] a\not= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \not= [/mm] f(b)

[mm] \Rightarrow a=b\in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B
[mm] \Rightarrow [/mm] f(a)=f(b) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)

Jetzt mein Frage: Kann man jetzt folgern, dass die Menge A gleich der Menge B ist oder das die Mengen disjunkt sind ???
Ich hab da gewisse Schwierigkeiten, mir das Vorzustellen.


        
Bezug
Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:25 Do 02.07.2009
Autor: schachuzipus

Hallo dr-geissler,

> Es sei f:X [mm]\to[/mm] Y
>  Beweisen Sie, dass
> f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\subseteq[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
> für alle Teilmengen A,B von X, genau dann wenn f injektiv
> ist.
>  Mein Frage ist nun eher was fürs Verständnis.
>  
> Sei f injektiv.
>  
> [mm] $\red{y\in} [/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) [mm]\gdw[/mm] y=f(a) und y=f(b) für [mm]a\in[/mm] A und [mm]b\in[/mm]  B.

soll heißen: es exist. [mm] $a\in [/mm] A, [mm] b\in [/mm] B$ mit $y=f(a)=f(b)$

genauer schreiben! ;-)

>  
> Da f injektiv ist gilt a=b [mm]\Rightarrow[/mm] f(a)=f(b) [notok] bzw.  [mm]a\not=[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] f(a) [mm]\not=[/mm] f(b) [ok]

ersteres gilt doch nicht, mit Kontraposition ist letzteres äquivalent zu : f injektiv, falls [mm] $f(a)=f(b)\Rightarrow [/mm] a=b$

Dies benutze nun ...

>  
> [mm]\Rightarrow a=b\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B

wie hast du das denn aus deiner Def. von "injektiv" gefolgert?

Es folgt in der Tat aus der richtigen Definition der Injektivität von f, dass $a=b$ ist, also [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $a\in [/mm] B$, dh. [mm] $a\in (A\cap [/mm] B)$, damit [mm] $f(a)=y\in f(A\cap [/mm] B)$, also hast du die Richtung [mm] $["\Leftarrow"]$ [/mm] gezeigt

Bleibt noch [mm] $["\Rightarrow"]$ [/mm] ...


>  [mm]\Rightarrow[/mm] f(a)=f(b) [mm]\in[/mm] f(A [mm]\cap[/mm] B)
>  
> Jetzt mein Frage: Kann man jetzt folgern, dass die Menge A
> gleich der Menge B ist oder das die Mengen disjunkt sind
> ???
>  Ich hab da gewisse Schwierigkeiten, mir das Vorzustellen.

Schaue dir doch mal die Funktion [mm] $f:\IQ^+\to\IR^+$ [/mm] mit [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] an, die ist injektiv, wie sieht es hier mit "deiner Folgerung" aus?

LG

schachuzipus

>  


Bezug
                
Bezug
Injektivität: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:36 Do 02.07.2009
Autor: dr_geissler

Meine Folgerung sagt mir, dass die Folgerung irgendwie schlecht gefolgert war.

So wie ich das jetzt verstanden habe bedeutet das ja nur, dass wenn die Funktion injektiv ist, alle Elemente a [mm] \not= [/mm] b nicht in derselben Bildmenge landen können, weil das der Definition von Injektivität widerspricht und alle Elemente a=b aus der gleichen Definition heraus in der selben Bildmenge abgebildet werden müssen.

Das seh ich doch jetzt richtig.

Das heißt, dass meine zwei Mengen werde gleich sein müssen, noch disjunkt.... richtig???

An der Rückrichtung arbeite ich gerade noch...
Ich habe in der Hinrichtung gezeigt, dass wenn f injektiv ist, die Teilmengenbeziehung gilt. Muss ich jetzt zeigen, dass wenn es gilt es injektiv sein muss ???

Danke schonmal. Das hat mir sehr geholfen.



Bezug
                        
Bezug
Injektivität: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Sa 04.07.2009
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de