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Injektivität: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 So 04.10.2009
Autor: Babybel73

Hallo

Meine Aufgabe:
Seien f : X -> Y, g: Y --> Z Abbildungen und g [mm] \circ [/mm] f: X --> Z die Komposition von f und g. Dann gilt:
a) Sind f und g injektiv (surjektiv), so ist auch g [mm] \circ [/mm] f injektiv (surjektiv).
b) Ist  g [mm] \circ [/mm] f injektiv (surjektiv), so ist auch f und g injektiv (surjektiv).

Zu zeigen für injektiv ist ja, dass  g [mm] \circ [/mm] f(x) =  g [mm] \circ [/mm] f(y) --> x=y
Wie kann ich das nun beweisen?

Und wie geht das ganze für surjektiv?

Liebe Grüsse

        
Bezug
Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 So 04.10.2009
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ein kleiner Hinweis, wir schreiben $(g [mm] \circ [/mm] f)(x)$ mal anders, dann siehst du es bestimmt:

Es gilt:

$g(f(x)) = g(f(y)) [mm] \Longrightarrow \cdots$ [/mm] da g ....

Naja, den Rest kriegst du nun bestimmt alleine hin, bis da nur noch x=y steht :-)
Analog läuft das mit surjektiv, überlege dir, wie genau die Definition von Surjektivität aussieht, dann schreibs hin und überlege dir, warum [mm] $(g\circ [/mm] f)(x) = g(f(x))$ surjektiv ist. Das ist nachher nur stures Anwenden der Definition.

zu b) Nimm an, [mm] $(g\circ [/mm] f)$ sei injektiv bzw surjektiv, die Einzelfunktionen aber nicht. Führe das zum Widerspruch.

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:04 So 04.10.2009
Autor: Babybel73

Hallo

g(f(x))=g(f(y)) --> g(x) = g(y) --> x=y

Ist das für a richtig?

Gruss

Bezug
                        
Bezug
Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:19 So 04.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Babybel73,

> Hallo
>  
> g(f(x))=g(f(y)) --> g(x) = g(y) --> x=y
>  
> Ist das für a richtig?

Nein, wieso sollte die erste Implikation gelten?

$x,y$ sind doch aus der Menge $X$, auf der g gar nicht definiert ist ...

Was sollen also $g(x), g(y)$ sein??


Benutze für die erste Folgerung lieber, dass g injektiv ist, also folgt aus $g(f(x))=g(f(y))$ was?

  

> Gruss


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Injektivität: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 So 04.10.2009
Autor: Babybel73

Sorry...aber ich schnall es einfach nicht!????

Bezug
                                        
Bezug
Injektivität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 So 04.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Sorry...aber ich schnall es einfach nicht!????

Wie auch, wenn du nur 2 min draufguckst, in Mathe fällt nix vom Himmel.

Halte dich an die Definition von Injektivität:

Wenn g injektiv ist, so bedeutet das, dass aus [mm] $g(z_1)=g(z_2)$ [/mm] folgt, dass [mm] $z_1=z_2$ [/mm] ist

Salopp gesagt, wenn also zwei Funktionswerte gleich sind, dann sind schon die Argumente gleich.

Was sind in $g(f(x))=g(f(y))$ die Argumente von g?

Was folgt also? ...


Gruß

schachuzipus

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