Injektivität < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 24.02.2011 | | Autor: | Flock |
| Aufgabe | Seien f: V -> W, A und B Teilmengen von V.
Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn gilt:
f(A [mm] \cap [/mm] B)= f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) |
Hallo, Forum!
Man kann hier bei euch sehr viel lernen und verstehen. Ich habe schon wieder eine Aufgabe gefunden, bei der ich unsicher bin, ob mein Lösungsweg ok ist:
Beweisidee:
"=>" Injektiv => f(A [mm] \cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B).
[mm] f(A\capB)= [/mm] {f(A [mm] \cap B)|(A)\capB \in [/mm] V} = {f(A und B)| A und B [mm] \in [/mm] V} (*)= {f(A) und f(B)| A,B [mm] \in [/mm] V}= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B).
(*): f ijektiv nach Voraussetzung
"<=" f(A [mm] \cap [/mm] B)= f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) => f injektiv
Idee: Widerspruchsbeweis:
Annahme: f(A [mm] \cap [/mm] B)= f(A) [mm] \cap [/mm] f(B) und f nicht injektiv.
Ich habe mit diesem Teil Schwierigkeiten, womit könnte ich anfangen?
Ist die "=>"-Richtung so ok?
Gruss
Flock
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:05 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien f: V -> W, A und B Teilmengen von V.
> Zeigen Sie: f ist genau dann injektiv, wenn gilt:
> f(A [mm]\cap[/mm] B)= f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
Die behauptung hast Du nicht korrekt wiedergegeben. Korrekt:
f ist genau dann injektiv, wenn gilt:
f(A [mm]\cap[/mm] B)= f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) für alle Teilmengen A und B von V.
Beachte, dass stets gilt:
(*) $f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \subseteq f(A)\cap [/mm] f(B)$
Ist Dir klar warum ?
>
>
> Hallo, Forum!
>
> Man kann hier bei euch sehr viel lernen und verstehen. Ich
> habe schon wieder eine Aufgabe gefunden, bei der ich
> unsicher bin, ob mein Lösungsweg ok ist:
> Beweisidee:
> "=>" Injektiv => f(A [mm]\cap[/mm] B)= [mm]f(A)\cap[/mm] f(B).
> [mm]f(A\capB)=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f(A [mm]\cap B)|(A)\capB \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V} = {f(A und B)| A und B [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V} (*)= {f(A) und f(B)| A,B [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V}= [mm]f(A)\cap[/mm] f(B).
Was da oben steht ist völlig wirr und sinnlos !!!
> (*): f ijektiv nach Voraussetzung
> "<=" f(A [mm]\cap[/mm] B)= f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) => f injektiv
> Idee: Widerspruchsbeweis:
> Annahme: f(A [mm]\cap[/mm] B)= f(A) [mm]\cap[/mm] f(B) und f nicht injektiv.
> Ich habe mit diesem Teil Schwierigkeiten, womit könnte
> ich anfangen?
> Ist die "=>"-Richtung so ok?
Nein.
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Seien A und B Teilmengen von V. Wegen (*) ist nur zu zeigen: $ f(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \supseteq f(A)\cap [/mm] f(B) $
Dazu sei $y [mm] \in f(A)\cap [/mm] f(B)$: Dann gibt es a [mm] \in [/mm] A und b [mm] \in [/mm] B mit: f(a)=y=f(b). Da f injektiv ist, folgt: a=b, also a [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B. Dann ist y= f(a) [mm] \in [/mm] f(A [mm] \cap [/mm] B)
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Seien a, b [mm] \in [/mm] V und f(a)=f(b). Zu zeigen ist: a=b.
Annahme: a [mm] \ne [/mm] b. Setze A:= { a } und B:= { b }.
Jetzt versuche mal mit der Vor. einen Widerspruch zu bekommen.
FRED
> Gruss
>
> Flock
>
|
|
|
|
