Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \varphi [/mm] injektiv [mm] \Rightarrow dim(Kern(\varphi)) [/mm] = 0 |
Hallo,
ich such etwas nach der Intuition. Injektivität bedeutet ja das kein Element im "Zielraum" öfter als einmal getroffen wird.
Wieso muss also der Kern nur den Nullvektor enthalten damit, kein Element zweimal angenommen wird?
Gruß
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Zu aller erst brauchst du ein paar mehr Bedingungen/Infos.
Ich meine ich kann mir natürlich denken, dass du zwei Moduln oder zwei Vektorräume hast und dass [mm]\varphi[/mm] eine lineare Abbildung zwischen diesen beiden ist, weil ich erst vor kurzem genau das Thema an der Uni hatte; aber normalerweise solltest du das dazuschreiben. ;)
Nun betrachten wir einmal was du zeigen willst:
Nehmen wir also an [mm]\varphi[/mm] sei ein Homomorphismus und [mm]x \in Kern(\varphi)[/mm]
Zu zeigen ist dann, dass x gleich 0 ist.
Nun überleg dir mal, wenn [mm]x \in Kern(\varphi)[/mm], was kannst du dann über [mm]\varphi(x)[/mm] sagen und wie kannst du die Injektivität ins Spiel bringen?
Und nur der Vollständigkeit halber.
Es gilt sogar:
[mm]\varphi[/mm] injektiv [mm]\gdw[/mm] Kern([mm]\varphi[/mm]) = {0}
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Hm, Schade. Das bringt mir nichts. Ich such nach einer Art Erklärung/Intuition. Keinen mathematischen Beweis.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hm, Schade. Das bringt mir nichts. Ich such nach einer Art
> Erklärung/Intuition. Keinen mathematischen Beweis.
Was soll das ? ?
Vielleicht genügt das Deinen Ansprüchen:
Sei $x [mm] \in Kern(\varphi)$. [/mm] Dann gilt:
(1) [mm] $\varphi(x)=0$.
[/mm]
Nun sagt mir meine Intuition: Mensch FRED, dar war doch noch was ! Ja, was denn ? Grübelgrübelgrübel .... .Ich habs: da [mm] \varphi [/mm] eine lineare Abbildung ist, gilt:
(2) [mm] $\varphi(0)=0$.
[/mm]
Und schon bin ich wieder mit meinem Latein am Ende ? Nicht ganz ! Ich hab ein kleines Männchen im Ohr, das mit u.a. ständig ins Ohr flüstert: FRED, bedenke Du bist sterblich. Und wenn ich fleißig bin und mich anstrenge und mein Hirn benutze, ja dann sagt mir das Männchen: FRED, verwende alle Voraussetznungen , die in einer Aufgabe gegeben sind. Ja und Bingo! In obiger Aufgabe haben wir ja noch die Injektivität von [mm] \varphi [/mm] !!
Und wie von Zauberhand folgt aus (1) und (2):
x=0.
Hat Dir das was gebracht ? Wenn nicht, dann putz Dir mal Deine Ohren.
FRED
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Also sehr witzig geschrieben. Aber meine Ohren sind verstaubt.
Ich möchte doch nichts beweisen, also ihr Mathematiker seit ein Volk :)
So noch mal die Frage. Ich möchte jedes Zielelement höchstens einmal treffen, wieso geht das nur dann wenn der [mm] Kern(\varphi) [/mm] nur den Nullvektor enthält und sonst nicht? Andersherum dann wiederum die Frage wieso ist es genau dann Injektiv.
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Wie sollen wir dir denn eine Antwort geben ohne es zu beweisen?^^
Der Kern ist ja die Menge aller x, für die [mm]\varphi(x) = 0[/mm] gilt.
Wenn du jetzt irgend ein a im Kern hast, dann wäre ja [mm]\varphi(a) = 0[/mm].
Es gilt aber für lineare Abbildungen immer, dass [mm]\varphi(0) = 0[/mm] (deshalb ist die 0 auch immer im Kern).
Somit hättest du dann, wenn du ein [mm]a \not= 0[/mm] im Kern hättest, zwei Elemente (a und 0), die auf den selben Wert (die 0) abgebildet werden; die Abbildung wäre also nicht mehr injektiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 14.07.2011 | | Autor: | DrNetwork |
I SEE! Danke schön. Hab da in einer ganz anderen Richtung gedacht!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Hab ich Dir was anderes als Shadowmaster erzählt ? Ich denke nicht
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Do 14.07.2011 | | Autor: | DrNetwork |
Ja, im Nachhinein nicht. Ist halt eine Sache der Darstellung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Do 14.07.2011 | | Autor: | DrNetwork |
Also als Beispiel: Ich hätte es sofort verstanden falls die erste Antwort wäre:
Gäbe es ein a das f(a) = 0, dann wäre a im Kern(f), da aber nach Linearität gilt das f(0) = 0, würde a und die 0 auf die 0 abbilden, und f wäre daher nicht injektiv.
Im Gegensatz zu den anderen Darstellungsweisen. Versteh ich das sofort.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Sa 16.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also als Beispiel: Ich hätte es sofort verstanden falls
> die erste Antwort wäre:
>
> Gäbe es ein a das f(a) = 0, dann wäre a im Kern(f), da
> aber nach Linearität gilt das f(0) = 0, würde a und die 0
> auf die 0 abbilden, und f wäre daher nicht injektiv.
...nur , wenn [mm] a\ne [/mm] 0 ist ....
>
> Im Gegensatz zu den anderen Darstellungsweisen. Versteh ich
> das sofort.
Du bist ja ein kleiner Witzbold ! Haben Shadowmaster bzw. ich, Dir was anderes erzählt ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ja, im Nachhinein nicht. Ist halt eine Sache der
> Darstellung.
Jetzt bin ich enttäuscht. Dabei hab ich Dir eine so schöne Geschichte erzählt..
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also sehr witzig geschrieben. Aber meine Ohren sind
> verstaubt.
>
> Ich möchte doch nichts beweisen, also ihr Mathematiker
> seit ein Volk :)
>
> So noch mal die Frage. Ich möchte jedes Zielelement
> höchstens einmal treffen, wieso geht das nur dann wenn der
> [mm]Kern(\varphi)[/mm] nur den Nullvektor enthält und sonst nicht?
Wenn der Kern nicht nur den Nullvektor enthält, wird die 0 zweimal getroffen
FRED
> Andersherum dann wiederum die Frage wieso ist es genau dann
> Injektiv.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Do 14.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
moin,
erstmal: nicht alle mathematiker denken nur ans beweisen. allerdings gehört zum verstehen oft das beweisen dazu.
zur frage: [mm] \phi [/mm] (x) injektiv daraus folgt [mm] \phi [/mm] (x)=0
angenommen die funktion wäre nicht injektiv. das bedeutet also, dass es zwei elemente im urbild gibt (nennen wir die mal x1 und x2), die auf das gleiche element im bild abbilden. es gilt also [mm] \phi [/mm] (x1) = [mm] \phi [/mm] (x2) und damit [mm] \phi [/mm] (x1) - [mm] \phi [/mm] (x2) = 0
kollege schadowmaster hat ja bereits erwähnt, dass die aussage nur dann funktioniert, wenn [mm] \phi [/mm] eine lineare abbildung ist. warum?
naja, dann ist [mm] \phi [/mm] auch ein homomorphismus und wir haben [mm] \phi [/mm] (x1) - [mm] \phi [/mm] (x2) = [mm] \phi(x1-x2) [/mm] = 0 gilt.
x1 und x2 waren verschieden. also gibt es ein element ungleich 0 im kern.
etwas mehr für die vorstellung. du hast zwei verschiedene vektoren, die beide auf das gleiche element abbilden. [mm] \phi [/mm] ist linear (hat also was mit geraden und ebenen zu tun).
das heißt die elemente da zwischen werden gezwungen auf das gleiche element abzubilden.
ist andersrum [mm] \phi [/mm] injektiv, werden verschiedene punkte immer auf verschiedene punkte abgebildet. sind die beiden linear unabhängig, so gilt das dann ebenfalls im bild, sonst könnte ich die einfach ein bisschen skalieren und hätte den gleichen effekt wie wenn die funktion nicht injektiv wäre.
aber: dann geht die verbindungslinie nicht durch die null und die null ist das einzige element im kern
gruß bernhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> moin,
>
> erstmal: nicht alle mathematiker denken nur ans beweisen.
> allerdings gehört zum verstehen oft das beweisen dazu.
>
> zur frage: [mm]\phi[/mm] (x) injektiv daraus folgt [mm]\phi[/mm] (x)=0
> angenommen die funktion wäre nicht injektiv. das bedeutet
> also, dass es zwei elemente im urbild gibt (nennen wir die
> mal x1 und x2), die auf das gleiche element im bild
> abbilden. es gilt also [mm]\phi[/mm] (x1) = [mm]\phi[/mm] (x2) und damit [mm]\phi[/mm]
> (x1) - [mm]\phi[/mm] (x2) = 0
> kollege schadowmaster hat ja bereits erwähnt, dass die
> aussage nur dann funktioniert, wenn [mm]\phi[/mm] eine lineare
> abbildung ist. warum?
> naja, dann ist [mm]\phi[/mm] auch ein homomorphismus und wir haben
> [mm]\phi[/mm] (x1) - [mm]\phi[/mm] (x2) = [mm]\phi(x1-x2)[/mm] = 0 gilt.
> x1 und x2 waren verschieden. also gibt es ein element
> ungleich 0 im kern.
>
> etwas mehr für die vorstellung. du hast zwei verschiedene
> vektoren, die beide auf das gleiche element abbilden. [mm]\phi[/mm]
> ist linear
> (hat also was mit geraden und ebenen zu tun).
Hä ? was ist los ?
> das heißt die elemente da zwischen werden gezwungen auf
> das gleiche element abzubilden.
Quatsch !
>
> ist andersrum [mm]\phi[/mm] injektiv, werden verschiedene punkte
> immer auf verschiedene punkte abgebildet. sind die beiden
> linear unabhängig, so gilt das dann ebenfalls im bild,
> sonst könnte ich die einfach ein bisschen skalieren und
> hätte den gleichen effekt wie wenn die funktion nicht
> injektiv wäre.
>
> aber: dann geht die verbindungslinie nicht durch die null
> und die null ist das einzige element im kern
Damit ist keinem geholfen.
FRED
>
> gruß bernhard
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Do 14.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
die lösungsräume kann man sich durchaus abstrakt als geraden (und dem entsprechend mehrere als aufspannende ebenen) vorstellen. die frage ist bei injektivität einfach nur, ob das was ich habe, wenn ich basisvektoren abbilde, ein erzeugendensystem ist oder eine basis eines vektorraums.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Do 14.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> die lösungsräume kann man sich durchaus abstrakt als
> geraden (und dem entsprechend mehrere als aufspannende
> ebenen) vorstellen. die frage ist bei injektivität einfach
> nur, ob das was ich habe, wenn ich basisvektoren abbilde,
> ein erzeugendensystem ist oder eine basis eines
> vektorraums.
Da oben kommen einige Begriffe der linearen Algebra vor. Eine verständliche Aussage ist es nicht
FRED
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