Injektivität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | | [mm] f:\IR\to\IR^{2}, x\to (x^{2}, (x+1)^{2}) [/mm] |
Hi!
Ich brächte mal wieder Hilfe. Ich soll für diese Funktion zeigen, dass sie injektiv ist. Nun weiß ich zwar, wie man Induktivität nachweißt, allerdings weiß ich nicht, wie ich mit dieser Funktion anfangen soll. Ich weiß nicht mal, wie diese aussehen könnte. Muss ich mir das als zwei Funktion vorstellen oder sind die ineinander verbaut oder bildet die eine auf die andere ab?
Ich bin für Hinweise schon im Voraus sehr dankbar!
Ich habe die Frage nur hier im Forum gestellt!
Viele Grüße, Petrit!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f:\IR\to\IR^{2}, x\to (x^{2}, (x+1)^{2})[/mm]
> Hi!
> Ich brächte mal wieder Hilfe. Ich soll für diese
> Funktion zeigen, dass sie injektiv ist. Nun weiß ich zwar,
> wie man Induktivität
und was hat das mit obigem zu tun? Ich glaube auch, dass Du eher sagen
willst, dass Dir klar ist, wie Induktionsbeweise vonstatten gehen...
> nachweißt, allerdings weiß ich
> nicht, wie ich mit dieser Funktion anfangen soll. Ich weiß
> nicht mal, wie diese aussehen könnte. Muss ich mir das als
> zwei Funktion vorstellen oder sind die ineinander verbaut
> oder bildet die eine auf die andere ab?
??
Na, es ist bspw.
[mm] $f(1)=(1,(1+1)^2)=(1,4)$
[/mm]
[mm] $f(e)=(e,(1+e)^2)$
[/mm]
[mm] $f(-2)=(-2,(-2+1)^2)=(-2,1)$
[/mm]
etc. pp.
Zur Injektivität:
Du hast zu beweisen:
Sind [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_1 \not=x_2\,,$ [/mm] so folgt auch schon
[mm] $f(x_1)\not=f(x_2)\,.$
[/mm]
D.h. zu beweisen ist:
Sind [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_1 \not=x_2\,,$ [/mm] so folgt auch schon
[mm] $({x_1}^2,{(x_1+1)^2})\not=({x_2}^2,{(x_2+1)}^2)\,.$
[/mm]
Wir beweisen das durch die Kontraposition:
Sind [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $x_1=x_2\,.$
[/mm]
Beweis: Seien also [mm] $x_1,x_2 \in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_1)=f(x_2)\,.$ [/mm] Dann gilt also
[mm] $(\*)$ $(\red{{x_1}^2,\blue{(x_1+1)^2}})=(\red{{x_2}^2,\blue{(x_2+1)^2}})\,.$
[/mm]
Zwei Vektoren [mm] $(a,b)\;(c,d)$ [/mm] des [mm] $\IR^2$ [/mm] sind bekanntlich genau dann gleich,
wenn [mm] $a=c\,$ [/mm] und [mm] $b=d\,$ [/mm] gilt.
Aus [mm] $(\*)$ [/mm] folgt daher insbesondere schonmal
(I) [mm] $\red{{x_1}^2}=\red{{x_2}^2}\,.$
[/mm]
Es folgt zudem
(II) [mm] $\blue{{(x_1+1)}^2}=\blue{{(x_2+1)}^2}\,.$
[/mm]
Zeige nun, dass die beiden Gleichungen (I) und (II) zusammen dann (und
nur dann) erfüllt sein können, wenn
[mm] $x_1=x_2$
[/mm]
gilt.
Tipp: (I) gilt wegen
[mm] ${x_1}^2-{x_2}^2=(x_1+x_2)*(x_1-x_2)$
[/mm]
genau dann, wenn [mm] $x_1=x_2$ [/mm] oder [mm] $x_1=\,-\,x_2$ [/mm] gilt. Zeige also, dass der Fall
[mm] $x_1=\,-\,x_2$ [/mm] nicht sein kann!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | | [mm] f:\IR\to\IR^{2}, x\to (x^{2}, (x+1)^{2}) [/mm] |
Hi.
Sorry, ich meinte natülich Injektivität und nicht Induktivität.
Danke erstmal Marcel für deine rasche Hilfe, jetzt weiß ich zumindest schonmal, was ich mir darunter vorzustellen habe. Jetzt hätte ich allerdings noch eine Frage.
Und zwar soll es eine Funktion g: [mm] \IR^{2}\to\IR [/mm] geben mit g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{\IR}.
[/mm]
Diese soll surjektiv sein.
Wie kann ich da rangehen?
Schon mal danke im Voraus!
Gruß, Petrit!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f:\IR\to\IR^{2}, x\to (x^{2}, (x+1)^{2})[/mm]
> Hi.
> Sorry, ich meinte natülich Injektivität und nicht
> Induktivität.
> Danke erstmal Marcel für deine rasche Hilfe, jetzt weiß
> ich zumindest schonmal, was ich mir darunter vorzustellen
> habe. Jetzt hätte ich allerdings noch eine Frage.
> Und zwar soll es eine Funktion g: [mm]\IR^{2}\to\IR[/mm] geben mit g
> [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{\IR}.[/mm]
> Diese soll surjektiv sein.
> Wie kann ich da rangehen?
Ist Dir klar, was die Identität ist? Es ist
[mm] $id_{\IR} \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $id_{\IR}(x)=x$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Du suchst also
$g [mm] \colon \IR^2 \to \IR$
[/mm]
so, dass
$(g [mm] \circ f)(x)=g(\red{x^2},\blue{(x+1)^2})=x$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
Jetzt gebe ich Dir mal den Tipp:
Wenn Du den Term [mm] $\red{x^2}$ [/mm] und den Term [mm] $\blue{x^2+2x+1}$ [/mm] siehst:
Wie kannst Du diese Terme so "zusammenrechnen", dass am Ende einfach
[mm] $x\,$ [/mm] rauskommt?
Probiere mal rum:
Den roten und blauen Term addieren: Neeeee...
Multipliziere den roten und den blauen Term: Neeeeee...
Wenn ich den roten vom blauen abziehe:
Da bleibt
[mm] $2x+1\,$
[/mm]
übrig.
Huii... schon besser. Was muss man korrigieren?
Mach' Dir das klar und dann überlege Dir, warum ich Dir
[mm] $g(\red{a},\blue{b}):=\frac{\blue{b}-\red{a}-1}{2}$
[/mm]
vorschlage!
Und dann beweise (durch direktes nachrechnen!), dass [mm] $g\,$ [/mm] in der Tat das
Gewünschte leistet!
Gruß,
Marcel
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