Injektivität, Surjektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Do 04.12.2008 | | Autor: | mensle |
| Aufgabe | Es soll untersucht werden, ob die lineare Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist:
R≤1[x]→R2,2
ax+b ↦ [a b]
[b a] |
Wie kann man denn nun prüfen, ob dies surjektiv und injektiv ist und dies nachweisen.
Ich habe schon viele Sachen gelesen mit Graph zeichnen usw. aber ich kann mir nicht vorstellen, wie das hier funktionieren soll. :/
Wie diese beiden Sachen bei Mengen aussehen ist mir aber bewusst.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es soll untersucht werden, ob die lineare Abbildung
> injektiv, surjektiv oder bijektiv ist:
> R≤1[x]→R2,2
>
> ax+b ↦ [a b]
> [b a]
> Wie kann man denn nun prüfen, ob dies surjektiv und
> injektiv ist und dies nachweisen.
Hallo,
bei linearen Abbildungen ist das verhältnismäßig leicht.
Ihr habt bestimmt schon gehabt lineare Abb. g ist injektiv <==> [mm] kerng=\{0\}.
[/mm]
Um auf injektivität zu prüfen, brauchst Du also nur den Kern auszurechnen. Ist die Null das einzige Element im Kern, so ist die Abbildung injektiv.
Für Surjektivität hast Du mehrere Möglichkeiten. Wenn du das schon kannst, kannst Du die Dimension des Bildes berechnen.
Ist die Dimension des Bildes =4, so ist die Abbildung surjektiv, denn [mm] \IR(2,2) [/mm] hat ja die Dimension 4.
Du kannst es aber auch anders machen: nimm Dir eine Basis des [mm] \IR(2,2) [/mm] und schau, ob auf jedes der Basiselemente ein Element aus der Definiionsmenge abgebildet wird.
Wenn ja, ist die Abbildung surjektiv, wenn nein, dann nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:32 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Variable |
Hm, kannst du bitte ein Beispiel dazu bringen, wie man die Dimension oder den Kern prüft?
Zu der Zeit als das im Tutorium erklärt wurde gings mir nicht gut weswegen ich die Sachen mehr schlecht als recht mitbekommen hatte, und aus dem Script werde ich leider nicht schlau :/
Also eben mal ein praktischen Beispiel mit dieser Abbildungsart mit Variableneinsatz...aus theoretischen Ansätzen kann ich leider nie was rauslesen und im Internet finde ich nur irgendwelche Formeln die ich garnicht kapiere :(
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Hallo,
wenn man sich merkt: Kern ist das, was auf die Null abgebildet wird, kann man gar nicht mehr viel falsch machen. Mit "Null" ist hierbei das neutrale Element des Raumes, in den abgebildet wird, gemeint und nicht etwa die Zahl 0.
Beispiel:
[mm] f:\IR^2 [/mm] to [mm] \IR^3
[/mm]
[mm] f(\vektor{x\\y}):=\vektor{2x+y\\3x\\4y}.
[/mm]
Bestimmung des Kerns:
sei [mm] \vektor{x\\y}\in [/mm] Kernf
==>
[mm] f(\vektor{x\\y}):=\vektor{2x+y\\3x\\4y} =\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
==>
2x+y=0
3x=0
4y=0
==> x=y=0
==> der Kern besteht nur aus dem Vektor [mm] \vektor{0\\0}
[/mm]
==> f ist injektiv
Beispiel:
[mm] f:\IR^2 [/mm] to [mm] \IR^3
[/mm]
[mm] f(\vektor{x\\y}):=\vektor{2x+y\\4x+2y\\0}
[/mm]
Bestimmung des Kerns:
sei [mm] \vektor{x\\y}\in [/mm] Kernf
==>
[mm] f(\vektor{x\\y}):=\vektor{2x+y\\4x+2y\\0} =\vektor{0\\0\\0}
[/mm]
==>
2x+y=0
4x+2y=0
0=0
==> y=-2x
==> Alle Vekoren des Kerns haben die Gestalt [mm] \vektor{t\\-2t}=t\vektor{1\\-2}
[/mm]
==> Kern f [mm] = [/mm] (lineare Hülle)
Der Kern besteht nicht nur aus dem Nullvektor ==> die Abbildung ist nicht injektiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:55 Fr 05.12.2008 | | Autor: | mensle |
Huhu, danke für deine genaue Erklärung. Mein Problem ist nur folgendes:
die Abbildung bildet ja auf so eine Matrizengestalt ab.
Wie sind denn dafür nun die "Rechenregeln"? Bei dir ist ja ersichtlich, dass 2x+y = 0 - Also eine konkrete Gleichung zum berechnen.
Hier in diesem Falle weiß ich nicht, wie ich
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \vektor{0\\ 0} [/mm]
setzen soll, bzw wie ich nun den Kern berechne.
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> die Abbildung bildet ja auf so eine Matrizengestalt ab.
> Wie sind denn dafür nun die "Rechenregeln"?
Hallo,
eigentlich geht alles haargenauso.
Der Kern ist das, was auf die Null abgebildet wird.
Was ist die Null in diesem Falle? Die Nullmatrix.
Also ist zu schauen, welche Polynome vom Höchstgrad 1 auf die Nullmatrix abgebildet werden, nur das Nullpolynom oder auch andere?
Rechnung
[mm] f(ax+b)=\pmat{a&b\\b&a}=\pmat{0&0\\0&0}.
[/mm]
==> (Vergleich der Einträge der Matrix)
a=0
b=0
b=0
a=0.
Also ist das Polynom 0*x+0=0, das einzige, welches auf die Null abgebildet wird, und damit ist die Abbildung injektiv.
das ist doch wirklich einfach, oder?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Fr 05.12.2008 | | Autor: | mensle |
Ja das ist bei Mathe wohl meistens so, wie ich festgestellt habe, dass die Lösungen meist recht trivial sind (zumindest auf meinem Niveau noch). ^^
Für surjektivität habe ich mir jetzt einfach mal die Basis B=[1,2,3,4] genommen. Diese kann nicht abgebildet werden und somit ist diese Abbildung nicht surjektiv.
Ist das ebenfalls so einfach?
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> Für surjektivität habe ich mir jetzt einfach mal die Basis
> B=[1,2,3,4] genommen. Diese kann nicht abgebildet werden
> und somit ist diese Abbildung nicht surjektiv.
> Ist das ebenfalls so einfach?
Hallo,
was Du schreibst ist recht dubios.
Meinst Du vielleicht, daß Du die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] genommen hast und festgestellt, daß kein Polynom hierauf abgebildet wird?
Daran kann man in der Tat sehen, daß die Abbildung nicht surjektiv ist.
Gruß v. Angela
P.S.: Nochmal zur Basis: jede Basis des Raumes der 2x2-Matrizen über [mm] \IR [/mm] besteht aus 4 Basiselementen, also 4 Matrizen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:23 Fr 05.12.2008 | | Autor: | mensle |
Hmm ja genau so meinte ich das :)
Also nehme ich in diesem Falle
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 4 }
[/mm]
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> Hmm ja genau so meinte ich das :)
> Also nehme ich in diesem Falle
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 3 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]
>
Wofür? Weil: für die Aufgabe brauchst Du sie nicht mehr, denn die Surjektivität ist ja bereits widerlegt.
Aber das, was Du oben angibst, ist eine der vielen Basen des Matrizenraumes.
Die Standardbasis ist natürlich diese: [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 1& 0 } \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Fr 05.12.2008 | | Autor: | mensle |
Ah ok ich habe gedacht, man braucht diese um das komplett zu beweisen, aber wenn es so schon funktioniert, umso besser.
Vielen Dank für deine Hilfe :)
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