Injektivität Surjektivität Abb < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 Mi 22.07.2020 | | Autor: | ichgast |
| Aufgabe | Sei [mm] M_{n,m}der [/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm] f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3} [/mm] gegeben durch:
[mm] f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}
[/mm]
a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
b)untersuche ob f injektiv ist
c)untersuche ob f surjektiv ist |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]
Habe die ersten beiden Aufgaben versucht , weiss aber nicht ob Sie richtig sind.Bei der dritten weiss ich keinen Ansatz.
a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
[mm] f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}
[/mm]
Dann habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}
[/mm]
Und dann abgelesen das die Basis von bild von f = [mm] \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} [/mm] ist. Ist das korrekt?
b)Habe hier folgendes versucht:
[mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}
[/mm]
Hab dort rausbekommen:
Kern(f) = [mm] \begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix} [/mm]
also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht injektiv.
c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mi 22.07.2020 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]M_{n,m}der[/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm]f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3}[/mm]
> gegeben durch:
> [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]
>
> a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
> [mm]f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> Dann
> habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> Und
> dann abgelesen das die Basis von bild von f =
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> ist. Ist das korrekt?
Nein. Das kann ja nicht sein, denn das Bild von f enthält doch 2x 3 -Matrizen.
>
> b)Habe hier folgendes versucht:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hab dort rausbekommen:
> Kern(f) = [mm]\begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
Wieder falsch. der Kern von f enthält 2x2- Matrizen. Welche 2x2 -Matrizen werden auf die Nullmatrix im Raum der 2x3 -Matrizen abgebildet ?
> also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht
> injektiv.
>
Doch, f ist injektiv.
> c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll
Tja, wie die Aufgabe c) lautet hast du verschwiegen.
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Do 23.07.2020 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]M_{n,m}der[/mm] Raum aller n x m Matrizen.Sei [mm]f:M_{2,2} \rightarrow M_{2,3}[/mm]
> gegeben durch:
> [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]
>
> a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
> b)untersuche ob f injektiv ist
> c)untersuche ob f surjektiv ist
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> [https://www.mathelounge.de/669694/bestimme-basis-von-bild-f-sei-f-m22-m23]
>
> Habe die ersten beiden Aufgaben versucht , weiss aber nicht
> ob Sie richtig sind.Bei der dritten weiss ich keinen
> Ansatz.
>
> a)Ich habe die Einheitsvektoren in f benutzt:
> [mm]f(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix})[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm]
> Dann
> habe ich die treppenstufenform der rechten seite gebildet:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> Und
> dann abgelesen das die Basis von bild von f =
> [mm]\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> ist. Ist das korrekt?
>
> b)Habe hier folgendes versucht:
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Hab dort rausbekommen:
> Kern(f) = [mm]\begin{pmatrix} -1\\-1/2\\1 \end{pmatrix}[/mm]
> also Kern(f) ist ungleich {0} daraus folgt f ist nicht
> injektiv.
>
> c)weiss ich nicht wie ich anfangen soll
>
>
Jetzt ist die Aufgabenstellung vollständig. Meine gestrige Antwort war wohl etwas kurz.
Ich würde mit b) beginnen: wir bestimmen Kern(f):
Zeige:
$ [mm] f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a\end{pmatrix} \gdw [/mm] a=b=c=d=0.$
Damit haben wir: [mm] $kern(f)=\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\}.$ [/mm]
Wir folgern: f ist injektiv.
Zu a) und c): Nach dem Dimensionssatz ist
$4= [mm] \dim M_{2,2}= \dim kern(f)+\dim [/mm] bild(f)= [mm] \dim [/mm] bild(f).$ Damit ist [mm] $\dim [/mm] bild(f) [mm] \ne [/mm] 6= [mm] \dim M_{2,3}.$
[/mm]
f ist also nicht surjektiv.
Das Folgende mache nun selbst: wähle eine Basis [mm] $\{B_1,B_2,B_3,B_4 \}$ [/mm] von [mm] M_{2,2}. [/mm] Suche Dir eine aus, aber möglichst einfach.
Da f injektiv ist sind [mm] $f(B_1),...,f(B_4)$ [/mm] l.u. in [mm] M_{2,3}. [/mm] Damit hast Du eine Basis von bild(f).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:53 Do 23.07.2020 | | Autor: | ichgast |
Falls ich nicht wüsste das f Injektiv ist. Gibt es noch eine weitere Möglichkeit Surjektivität auszurechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Do 23.07.2020 | | Autor: | fred97 |
> Falls ich nicht wüsste das f Injektiv ist. Gibt es noch
> eine weitere Möglichkeit Surjektivität auszurechnen?
Diese Antwort hier
https://matheraum.de/read?i=1098053
zeigt Dir, dass $ [mm] \dim [/mm] bild(f) <6= [mm] \dim M_{2,3}$ [/mm] ist.
Damit ist f nicht surjektiv.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:15 Do 23.07.2020 | | Autor: | ichgast |
Du hast mir sehr geholfen. Danke dir.
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a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
[mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm] =[mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]=[mm]a*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]b*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]c*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] + [mm]d*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
Da hat man schon die 4 Matrizen einer Basis, wobei man nur noch zeigen muss, dass diese lin. unabh. sind. Das ist aber sehr einfach.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Do 23.07.2020 | | Autor: | fred97 |
> a)bestimme sie eine Basis von Bild(f)
>
> [mm]f(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix})[/mm]
> =[mm]\begin{pmatrix} a & b+c & d \\ b & a+d & a\end{pmatrix}[/mm]=[mm]a*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]b*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]c*\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]d*\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> Da hat man schon die 4 Matrizen einer Basis, wobei man nur
> noch zeigen muss, dass diese lin. unabh. sind. Das ist aber
> sehr einfach.
Die lineare Unabhängigkeit dieser 4 Matrizen fogt sofort aus
$ [mm] kern(f)=\{\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\}. [/mm] $
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 23.07.2020 | | Autor: | ichgast |
$ [mm] a\cdot{}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} [/mm] $
fehlt in der unteren rechten ecke nicht eine 1 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Do 23.07.2020 | | Autor: | fred97 |
> [mm]a\cdot{}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}[/mm]
>
> fehlt in der unteren rechten ecke nicht eine 1 ?
Ja, Du hast recht.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Do 23.07.2020 | | Autor: | ichgast |
Vielen dank HJKweseleit
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