Injektivität, Umkehrbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei M := {(x, y) | x [mm] \in [/mm] [0, 1], y [mm] \in [-\bruch{1}{2} \pi, \bruch{1}{2}\pi]} [/mm] Was ist das Bild der Abbildung f : M [mm] \to R^{2}:
[/mm]
x [mm] \mapsto e^{x}cos(y), [/mm] y [mm] \mapsto e^{x}sin(y)?
[/mm]
Ist die Abbildung auf das Bild injektiv? Wenn ja, bestimme die Umkehrabbildung von f. Ist die Abbildung global (von [mm] R^{2} [/mm] nach [mm] R^{2} [/mm] umkehrbar? |
Hallo,
ich habe diese Fragge in keinem anderen Forum gepostet.
unter dem Bild stelle ich mir eine Halbscheibe mit Radius e in der x,y Ebene vor, da ja für ein festes x gerde ein Halbkreis parametrisiert wird.
Global kann die Funktion nicht umkehrbar sein, wegen der Periode von sin, cos.
Wie zeige ich, dass die Funktion auf ihrem Bild injektiv ist?
vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mo 25.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Wie zeige ich, dass die Funktion auf ihrem Bild injektiv
> ist?
Berechne [m]|f(x,y)|=|f(x',y')|[/m] - da hebt sich y weg. Dann erhälst du Gleichheit für x und x', dann für y und y',
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Danke für die schnelle Antwort,
erst mal muss ich mich noch korrigieren, das Bild ist natürlich keine Halbkreisscheibe, sondern ein Halbring der von 1..e im 1. und 4. Quadranten.
Der Betrag hat mich leider nicht erleuchtet - wie genau soll das funktionieren?
Eine andere Idee: Wenn ich die Abbildung auf das Bild betrachte, kann ich Surjektivität vorraussetzen, muss also Bijektivität zeigen.
d.h.
[mm] \forall [/mm] (u,v) [mm] \in [/mm] im(f) [mm] \exists! [/mm] (x,y) mit f(x,y) = (u,v)
was mich zu
u = [mm] e^{x}cos(y)
[/mm]
v = [mm] e^{x}sin(y)
[/mm]
führt. Ich löse u nach x auf ("alle u ex. ein x...")
x = [mm] ln(\bruch{u}{cos(y)}) [/mm] für y [mm] \not= [/mm] +/- [mm] \bruch{\pi}{2}, [/mm] u [mm] \not= [/mm] 0
jetzt ergibt sich für f(x,y):
f(x,y) = (u,u*tan(y)).
das ist wunderbar bijektiv, für y = +/- [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ergibt sich f(x,y) = (0,exp(x)), ebenfalls bijektiv. Aber für u = 0 muss ich festlegen ob y = + oder - [mm] \bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Was meint ihr, zu kompliziert? wie funktioniert das mit den Beträgen?
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"das mit den Beträgen" sollte eine Norm kennzeichnen (wegen der Äquivalenz von Normen egal welche Norm du wählst)
Also schreib es mal unter Anwendung einer Norm hin und erinner dich an ein gewisses Theorem, durch das sich das y beseitigt und ein ganz einfacher Term übrigbleibt
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Danke für die Erklärung,
ich habe euer Argument aber immer noch nicht verstanden.
[mm] \parallel [/mm] f(x,y) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] f(x',y') [mm] \parallel
[/mm]
bedeutet:
1) [mm] \parallel [/mm] exp(x)*cos(y) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] exp(x')*cos(y') [mm] \parallel
[/mm]
2) [mm] \parallel [/mm] exp(x)*sin(y) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] exp(x')*sin(y') [mm] \parallel
[/mm]
wenn ich als Norm die Max. Norm nehme kann ich mir sin/cos schenken und bekomme x = x', aber wieso darf ich hier überhaupt über die Normen argumentieren?
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Eine Norm zu verwenden ist das einzige was Sinn macht, denn man befindet sich hier im 2-dimensionalen Raum und macht also mit Vektoren rum.
Wenn du also zwei Vektoren gleichsetzen willst, dann musst du das über eine Norm machen.
Stell dir vor du hast zwei Vektoren vor dir aufs Papier gemalt und willst die Vergleichen, dann nimmst du als Kriterium doch sicherlich die Länge der beiden Vektoren (bzw. Abstand vom 0-Punkt) und mathematisch bezeichnet die Euklidische Norm (auch bekannt als "der Betrag") im 2-dimensionalen Raum die Länge eines Vektors.
Mit
[mm] \parallel [/mm] f(x,y) [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] f(x',y') [mm] \parallel
[/mm]
setzt du also zwei Vektoren gleich, die "Ergebnisse" einer Funktion sind.
Wenn für das gleiche Argument der gleiche Funktionswert rauskommt, dann hast du Injektivität gezeigt.
Du willst mit diesem Ansatz also zeigen: (x,y) = (x',y') => injektiv.
Die max-Norm ist eine schlechte Wahl...nimm doch die 1-Norm
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Super Erklärung, danke!
bzgl. [mm] \parallel.\parallel_{1} [/mm] ergibt sich bei mir:
|exp(x)*cos(y)| + |exp(x)*sin(y)| = |exp(x')*cos(y')| + |exp(x')*sin(y')|
der cos(y) ist im geg. Wertebreich nicht negativ, exp(x) nat. auch nicht:
exp(x) (cos(y)+|sin(y)|) = exp(x') (cos(y')+|sin(y')|)
hier stecke ich schon wieder fest :( welches Theorem meinst Du? Wie soll hier das y rausfliegen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:52 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Eine Norm zu verwenden ist das einzige was Sinn macht,
So, so. Wie wäre der Weg übers Komplexe ?
Seien (x,y),(x',y') [mm] \in [/mm] M. Setze z= x+iy und z'=x'+iy'.
Dann:
f(x,y) =f(x',y') [mm] \gdw e^z=e^{z'} \gdw [/mm] z=z'
> denn
> man befindet sich hier im 2-dimensionalen Raum und macht
> also mit Vektoren rum.
> Wenn du also zwei Vektoren gleichsetzen willst, dann musst
> du das über eine Norm machen.
> Stell dir vor du hast zwei Vektoren vor dir aufs Papier
> gemalt und willst die Vergleichen, dann nimmst du als
> Kriterium doch sicherlich die Länge der beiden Vektoren
> (bzw. Abstand vom 0-Punkt) und mathematisch bezeichnet die
> Euklidische Norm (auch bekannt als "der Betrag") im
> 2-dimensionalen Raum die Länge eines Vektors.
>
> Mit
>
> [mm]\parallel[/mm] f(x,y) [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] f(x',y') [mm]\parallel[/mm]
>
> setzt du also zwei Vektoren gleich, die "Ergebnisse" einer
> Funktion sind.
> Wenn für das gleiche Argument der gleiche Funktionswert
> rauskommt, dann hast du Injektivität gezeigt.
> Du willst mit diesem Ansatz also zeigen: (x,y) = (x',y')
> => injektiv.
>
> Die max-Norm ist eine schlechte Wahl...nimm doch die 1-Norm
Diese Wahl ist nicht besser
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Gehe so vor:
Sei $f(x,y) = f(x',y')$ (Ziel: Sei $(x,y) = (x',y')$ )
Dann: $||f(x,y)|| =|| f(x',y')||$ , wobei ich hier die euklidische Norm wählen würde und Dir
$cos^2t+sin^2t = ????$
sehr ans Herz legen würde
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Di 26.05.2009 | | Autor: | kunzmaniac |
Wunderbar, der Groschen ist jetzt endlich gefallen - vilen Dank an alle Geduldigen Helfer :)
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