Injektivität (hochkomma) < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Um die INjektivität einer Abbbildung zu beweisen, geht man folgendermaßen vor: Wir geben uns ein beliebiges Element n [mm] \in [/mm] Bild( [mm] \integral [/mm] ) ) vor und nehmen an, dieses Element hätte die Urbilder m und m', also [mm] \integral [/mm] (m) = [mm] \integral [/mm] (m'). Dann leiten wir aus dieser Gleichung her, dass m = m' sein muss, dass n also nur ein einziges Urbild hat. Um zu beweisen das [mm] \integral [/mm] nicht injektiv ist, reicht es aus, zwei verschiedene Elemente m und m' in M anzugeben, für die [mm] \integral [/mm] (m) = [mm] \integral [/mm] (m') ist. |
Hallo,
ich versteh den kompletten sinn dieser erklärung nicht.
Für mich liest sich das zusammengefasst so: Wir nehmen ein Element n und nehmen an es hätte 2 Urbilder (m und m') daraus folgerdn wir das m = m' ist, also hat es nur ein Urbild??!
Das ist für mich nicht logisch nachvollziehbar. Evt liegt mein Problem darin das ich nicht mehr weiß wofür das m' (m strich? ist das ein hochkomma oder apostroph oder was ganz anderes) steht.
könnte mich bitte jemand aufklären.
liege grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Fr 07.10.2011 | | Autor: | VoodooDog |
Mir ist beim abschreiben der Aufgabenstellung ein kleiner Fehler unterlaufen. Ich wollte nicht das Integralzeichen posten sondern das Funktionszeichen klein f.
also bitte für jedes integral sich einfach ein klein f vorstellen. danke.
ps: editier funktion habe ich leider nicht gefunden.
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> ps: editier funktion habe ich leider nicht gefunden. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Du kannst doch einfach deinen Artikel aufrufen, den
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LG
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> Um die INjektivität einer Abbbildung zu beweisen, geht man
> folgendermaßen vor: Wir geben uns ein beliebiges Element n
> [mm]\in[/mm] Bild(f) vor und nehmen an, dieses Element
> hätte die Urbilder m und m', also f(m) = f(m'). Dann leiten wir aus dieser Gleichung her,
> dass m = m' sein muss, dass n also nur ein einziges Urbild
> hat. Um zu beweisen das f nicht injektiv ist,
> reicht es aus, zwei verschiedene Elemente m und m' in M
> anzugeben, für die f(m) = f(m') ist.
> Hallo,
> ich versteh den kompletten sinn dieser erklärung nicht.
> Für mich liest sich das zusammengefasst so: Wir nehmen
> ein Element n und nehmen an es hätte 2 Urbilder (m und m')
> daraus folgerdn wir das m = m' ist, also hat es nur ein
> Urbild??!
genau.
Wir nehmen zwei Urbilder und zeigen, dass diese gleich sein müssen.
> Das ist für mich nicht logisch nachvollziehbar. Evt liegt
> mein Problem darin das ich nicht mehr weiß wofür das m'
> (m strich? ist das ein hochkomma oder apostroph oder was
> ganz anderes) steht.
das ist einfach ein Element aus M, da die Bezeichnung m schon vergeben war wurde es halt m' genannt.
Und ja, das ist ein Apostroph und es liest sich "m Strich".
> könnte mich bitte jemand aufklären.
Deine Frage besteht eigentlich aus zwei Teilen.
Was ist Injektivität und wie beweist man sie?
Zu aller erst zur ersten Frage:
Wenn eine Funktion injektiv ist so heißt das anschaulich, dass kein Wert aus dem Wertebereich mehrfach getroffen wird.
Also zum Beispiel $f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^3$ [/mm] wäre injektiv, denn wenn man eine beliebige parallele zur x-Achse zeichnet schneidet diese den Graphen höchstens ein mal.
$f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] hingegen wäre nicht injektiv, denn zum Beispiel die 1 wird doppelt getroffen ( f(-1) = 1 = f(1) ).
Es ist auch erlaubt, dass ein Element garnicht getroffen wird, wichtig ist nur: kein Element wird mehrfach getroffen.
Allerdings ist diese Anschauung mit der Parallelen zur x-Achse natürlich nicht der tollste Beweis, weshalb man versucht einen anderen, schön mathematischen Beweis zu finden.
Hier kommt deine Aussage von oben ins Spiel.
Nehmen wir uns irgend ein n aus dem Wertebereich und wir nehmen an es gibt zwei Werte m und m', die beide auf dieses n abgebildet werden.
Nun scheint es zuerst einmal so, als würde das n doppelt getroffen werden, dann wäre die Funktion nicht injektiv.
Deshalb müssen wir also zeigen, dass $m = m'$ gelten muss.
Denn wenn die "vermeindlich beiden" Elemente gleich sind haben wir ja nur noch ein Element das auf n abgebildet wird und wir sind zufrieden.
Da m und m' beliebig gehalten werden haben wir dann damit gezeigt, dass es auch wirklich nur eins gibt, denn gibt es mehr als eins haben wir gezeigt dass diese alle gleich sein müssen also in Wirklichkeit nur eins sind.
Das ganze nochmal an den Beispielen von oben:
für $f(x) = [mm] x^3$:
[/mm]
Nehmen wir an a und b werden auf das gleiche abgebildet.
Dann gilt also:
[mm] $a^3 [/mm] = [mm] b^3$
[/mm]
Sind [mm] $a^3$ [/mm] und [mm] $b^3$ [/mm] beide kleiner Null so können wir ohne die Gleichheit zu verändern mit (-1) multiplizieren.
Deshalb können wir also ohne Einschränkung annehmen, dass sie [mm] $\geq [/mm] 0$ sind.
Für Zahlen [mm] $\geq$ [/mm] 0 dürfen wir aber die Wurzel ziehen, es ist also:
[mm] $a^3 [/mm] = [mm] b^3 \gdw \sqrt[3]{a^3} [/mm] = [mm] \sqrt[3]{b^3} \gdw [/mm] a=b$
Wir haben also gezeigt, dass wenn die Funktionswerte gleich sind automatisch auch die eingesetzten Werte gleich sein müssen.
Da wir keinerlei Bedingungen an a und b gestellt haben gilt das also für alle a und für alle b, somit ist die gesamte Funktion injektiv.
Versuchen wir mal das gleiche bei f(x) = [mm] x^2:
[/mm]
[mm] $a^2 [/mm] = [mm] b^2 \gdw \pm \sqrt{a^2} [/mm] = [mm] \pm \sqrt{b^2} \gdw \pm [/mm] a = [mm] \pm [/mm] b [mm] \gdw [/mm] |a| = |b|$
Wie du siehst können wir hier nur zeigen, dass der Betrag der beiden Zahlen gleich sein muss, nicht aber dass die Zahlen selbst gleich sind.
(Bedenke: dritte Wurzel hat eine eindeutige Lösung, zweite Wurzel/"normale" Wurzel muss noch ein [mm] $\pm$ [/mm] vor.)
Somit ist es bei f(x) = [mm] x^2 [/mm] angebracht ein Gegenbeispiel zu suchen, welches sich ja auch ohne weiteres finden lässt.
Sollte es noch weitere Fragen geben oder irgendwas unklar sein immer her damit. ;)
lg
Schadow
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Viele dank für deine schnelle und sehr ausführliche antwort.
leider ist mir noch einiges unklar.
das m' einfach nur ein weiterer wert ist hilft mir aber schonmal ungemein beim verstehen anderer aufgaben weiter, danke dafür.
ich würde gern nochmal auf x=x² eingehen. wir müssen also m und m' zu f(m) finden. konkret wäre das zB: f(1)[f(m)]=-1[m]=1[m'].
und nun soll bewiesen werden das m=m' ist, was meiner meinung nach nicht möglich ist und niemals möglich sein kann, egal welches beispiel man wählt.
findet man 2 urbilder zu einem bild impliziert das doch das beide urbilder von unterschiedlichem wert sind (sonst könnte man ja nicht 2 finden), wie soll man also beweisen das beide urbilder vom gleichen wert sind (wenn es doch nicht so sein kann?)?
ich scheine wirklich auf dem schlauch zu stehen. tut mir leid, für mich ist das alles vollkommen neu. meine schulzeit liegt auch schon mehr als 10jahre hinter mir :(
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 Fr 07.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] f(x)=x^2 [/mm] sollte doch ein Beispiel für eine NICHT injektive Abbildung sein, d.h. kein wunder, dass du die inj. nicht zeigen kannst.
um Nicht injektiv zu zeigen reicht ein einziges Gegenbeispiel!
aufgeschrieben hast du das allerdings ziemlich wirr.
f(1)[f(m)]=-1[m]=1[m']. was soll denn -1=1 bedeuten?
du meinst f(m)=1? also [mm] m^2=1 [/mm] hat die 2 lösungen m=1 und m'=-1
f(1)[f(m)]=-1[m]=1[m'].
gruss leduart
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genau das meinte ich damit.
m und m' sind in dem falle -1 und 1.
könnte jemand (noch ein) bsp bringen bei dem es 2urbilder gibt von denen ich beweisen kann das sie den selben wert haben (also es doch nur eins ist?!)?
im falle von f(x)=x³ gibt es kein bild welches 2urbilder hat. d.h. ich bin nicht in der lage ein irgendwelche annahmen mit m und m' strich zu machen (einfach weil es keine gibt), richtig?
wenn ich aber darauf angewiesen bin 2urbilder zu finden, wie kann ich dann die injektivität von etwas beweisen was keine 2urbilder hat?
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"Zwei Urbilder" heißt nicht zwangsläufig "zwei verschiedene".
Wenn zum Beispiel Kriminologen zwei Fingerabdrücke finden freuen sie sich oftmals sogar, wenn diese beiden gleich sind.^^
Ähnlich ist es halt hier.
Du nimmst erstmal an es gäbe zwei Urbilder.
Und dann zeigst du, dass diese Annahme falsch ist, denn wenn es zwei gäbe müssten sie gleich sein, somit gibt es keine zwei.
Und genau diesen Schluss, also dass es keine zwei gibt, willst du haben.
Und natürlich bist du in der Lage anzunehmen es gäbe zwei (verschiedene) Urbilder.
Diese Annahme ist nur eben falsch, aber das hindert dich ja nicht daran es zuerst einmal anzunehmen. ;)
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sorry für die späte antwort. ich hatte eine "spontane" 24h schicht und bin erst vor einigen stunden aufgestanden.
""Zwei Urbilder" heißt nicht zwangsläufig "zwei verschiedene"."
definition urbild "Ist n E Bild(f), so wird ein m E M mit f(m)=n ein Urbild von n unter f genannt."
es kann einfach nicht 2 gleiche urbilder geben. zumindest meinem verständniss nach. darum tu ich mich auch so schwer mit der annahme.
kannst du mir ein abbild zeigen welches 2 gleiche urbilder hat?
so.. hab mir nochmal alles mehr oder weniger gründlich durchgelesen:
ich nehme also einfach an es gibt 2urbilder und zeige dann das es nicht so ist. okay, das ist hinnehmbar. allerdings verstehe ich deine beweisführung überhaupt nicht. :(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Di 11.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Fr 07.10.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
irgendwie bringst du was durcheinander:
Wenn es eine injektive Abbildung ist gibt es garantiert keine 2 Urbilder. auch bei f(x)= [mm] x^3 [/mm] darfst du ja annehmen es gäbe 2 um dann zu zeigen, dass das nicht wahr ist.
Fu hast die sache mit einem widerspruchsbeweis nicht ganz richtig verdaut. Widerspruchsbeweise sind oft sehr einfach, aber sie haben irgendwie viel weniger überzeugungskraft als direkte beweise, weil man nichts außer einem Widerspruch konstruiert.
Lies nochmal das vorgehen in deinem ersten post durch, genau das wurde mit [mm] f(x)=x^3 [/mm] gemacht.
mach dasselbe mal mit f(m)=3m [mm] m\in [/mm] M [mm] f(m)\in [/mm] L
mit M={1,2,3,4,5) L=(-26,-25,...,-1,0,1,2,3,4,...,15,16,17,18,...25,26}
und [mm] g(m)=x^2
[/mm]
zeige, dass f injektiv, g nicht inj. ist.
Gruss leduart
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sorry für die späte antwort. ich hatte eine "spontane" 24h schicht und bin erst vor einigen stunden aufgestanden.
ich habe gemacht was du gesagt hast. allerdings scheitere ich schon an dem logikfehler (meiner meinung nach) in zeile 3.
nämlich: "Wir geben uns ein beliebiges Element n Bild( f ) ) vor und nehmen an, dieses Element hätte die Urbilder m und m', also f(m) = f(m'). Dann leiten wir aus dieser Gleichung her, dass m = m' sein muss[...]".
es kann meinem verständniss nach nicht sein das m = m'. es kann keine 2 gleichen urbilder geben.
übrigens stelle ich mir das ganze immer im koordinatensystem vor.
wähle ich einen bestimmten punkt meines graphen ist das urbild die Koordinate X und das Bild die koordinate Y.
die koordinate X muss immer genau einen partner zu Y haben. Y darf mehrere partner auf X haben (so zB in f(x)=x²; aber diese unterschiedlichen partner (urbilder) sind und können niemals gleich sein).
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ja, da hast du Recht, es muss hier aber unterschieden werden zwischen "zwei" und "zwei verschiedene".
Wenn man "zwei" sagt meint man meist "zwei verschiedene", aber hier ist halt "beide gleich" explizit erlaubt und unter Umständen sogar erwünscht.
Du kannst dir das vielleicht, da Bild und Urbild Mengen sind, aus der Mengenlehre ableiten:
In einer Menge darf (wie du vielleicht weißt) ein Element ruhig auch mehrfach stehen, das ändert die Menge nicht.
Also es gilt:
{1,2,3,3,4} = {1,2,3,4} = {1,1,1,2,3,4,1,2,1,2,3,4,4,4,3}
Entsrechend kann man es auch mit der Menge der Urbilder (die ja auch eine Menge ist) machen:
{m, m'} = {m}, wenn m=m'
Es ist halt schlicht und ergreifend so definiert, dass "zwei" auch "beide gleich" beinhaltet, das muss man hinnehmen.
lg
Schadow
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