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Injektivität und Verkettungen: 2 widersprechende Ansätze
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:39 So 26.10.2008
Autor: L5er

Aufgabe
Es seien $ f(x): A [mm] \to [/mm] B $, $g(x):B [mm] \to [/mm] C $ Abbildungen.

Angenommen, $ g [mm] \circ [/mm] f $ ist injektiv. Muss dann auch f und/oder g injektiv sein?

Hallo liebe Leute,

das Thema Injektivität/Surjektivität lässt mich nicht mehr los :-)

Ich habe zu obiger Aufgabe zwei Ansätze, die sich widersprechen. Vielleicht könnt Ihr meine Verwirrung etwas lichten:

Es gibt bei dieser Aufgabe grundsätzlich 3 Fälle zu betrachten. Ich beschränke mich hier aber zunächst auf diesen:

f ist injektiv, g ist nicht injektiv

Ansatz 1:

Eine Funktion ist injektiv, wenn [mm] x_{1}\not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not= f(x_{2}). [/mm]

Das heißt in diesem Fall:

Da f injektiv ist, folgt: [mm] x_{1}\not= x_{2} \Rightarrow f(x_{1})\not= f(x_{2}). [/mm]
Da g nicht injektiv ist, folgt: [mm] f(x_{1})\not= f(x_{2}) \Rightarrow g(f(x_{1}))= g(f(x_{2})). [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Somit wäre $ g [mm] \circ [/mm] f $ nicht injektiv.

Ansatz 2:

Eine Funktion ist injektiv, wenn $ [mm] f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$. [/mm]

Das heißt in diesem Fall:

Da g nicht injektiv ist, folgt: [mm] $g(f(x_{1})=g(f(x_{2})\Rightarrow f(x_{1})\not=f(x_{2}) [/mm] $.
Da f injektiv ist, folgt: [mm] $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$. [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] Somit wäre $ g [mm] \circ [/mm] f $ injektiv.


Im Moment zweifle ich, ob überhaupt einer der beiden Ansätze richtig ist. Kann mir bitte jemand helfen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Injektivität und Verkettungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Mo 27.10.2008
Autor: angela.h.b.


> Es seien [mm]f(x): A \to B [/mm], [mm]g(x):B \to C[/mm] Abbildungen.
>  
> Angenommen, [mm]g \circ f[/mm] ist injektiv. Muss dann auch f
> und/oder g injektiv sein?

Hallo,

es geht hierbei darum, daß Du beweisen bzw. widerlegen sollst, folgende Aussagen gelten.

1. g [mm] \circ [/mm] f[/mm] ist injektiv  ==> f ist injektiv

2. g [mm] \circ [/mm] f[/mm] ist injektiv ==> g ist injektiv

Sowas funktioniert am besten, wenn einem vorher klar ist, ob man beweisen oder widerlegen möchte.

Beweisen tut man dann mit - einem Beweis.
Widerlegen tut man mit einem Gegenbeispiel.

Ich verrate Dir jetzt mal, daß Aussage 2 nicht stimmt.
Such ein Gegenbeispiel.
Du mußt hier zwei Funktionen g,f finden, deren Verkettung injektiv ist, und wo g nicht injektiv ist.
Man kann sich bei diesen Aufgaben gut mit einer Skizze mit Pünktchen und Pfeilen vortasten.


Zu (1) diese Aussage gilt.

Voraussetzung: g [mm] \circ [/mm] f[/mm] ist injektiv , d.h.

g [mm] \circ f(x_1)= [/mm] g [mm] \circ f(x_2) [/mm]  ==> [mm] x_1=x_2 [/mm]

Zu zeigen: f ist injektiv, dh.
[mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] ==> [mm] x_1=x_2 [/mm]

Beweis:

Sei
[mm] f(x_1)=f(x_2). [/mm]

Nun laß mal g darauf los.

Verwende anschließend die Injektivität von [mm] g\circ [/mm] f.

Damit bist Du dann schon fertig.


Zu Deinen eigenen Ansätzen eine Anmerkung:nicht injektiv ist, bedeutet das folgendes:

Es gibt (mindestens) zwei [mm] x_1, x_2 [/mm] aus X, welche verschieden sind, aber denselben Funktionswert haben, für welche also [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] gilt.

Keinesfalls bedeutet das aber, daß aus [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] stets [mm] x_1\not=x_2 [/mm] folgt,
oder
daß  aus [mm] x_1\not=x_2 [/mm] stets [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt.

Gruß v. Angela



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