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Hallo, ich habe ein großes Problem. Ich weiß nicht wie ich wirklich erkenne, wie ich injektive, surjektive oder bijektive Abbildungen richtig erkenne. Zwar weiß ich was die einzelnen Begriffe bedeuten, habe aber Schwierigkeiten Aufgaben der folgenden Form zu lösen:
- Anzahl der injektiven Abbildungen von {1, {1,2}3} nach {-1, -2, -3}
- Anzahl der surjektiven Abbildungen von {1,2} nach {3,4,5}
- Anzahl der bijektiven Abbildungen von {1,2,3} nach {1,2,3}
oder
sage, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
- f: Q x Q [mm] \to [/mm] Q x Q, (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x²+y², x-y) ist eine injektive Abbildung
- f: Z [mm] \to [/mm] Z x Z, x [mm] \mapsto [/mm] (x², x³) ist eine surjektive Abbildung
- F: {(x,y)|y,x [mm] \in [/mm] Z, x [mm] \not= [/mm] y} [mm] \to [/mm] Z, (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x²-y ist eine surjektive Abbildung
oder
Es seien f: A [mm] \to [/mm] B und g: B [mm] \to [/mm] C beiliebige Abbildungen zwischen den Mengen A,B,C
sind folgende Aussagen für alle sollchen Abbildungen richtig?
- Ist A =C unf g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A} [/mm] , so ist g bijektiv
- Ist A =C unf g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A} [/mm] , so ist f bijektiv
- Ist A =C unf g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{A} [/mm] , so ist g surjektiv
- Ist g [mm] \circ [/mm] f surjektiv, so ist f surjektiv
ja, ich weiß, das sind viele Aufgaben... ich will hierzu keine Lösung haben, sondern nur Hilfestellung, wie ich sowas lösen kann... die Lösungen besitze ich bereits... nur wie komme ich an diese Lösungen... gibt es da irgendwelche Kniffe/Tricks?
Würde mich über eure Hilfe freuen
LG Miss_Sunflower
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich versuche mal ein paar Tipps zu geben, wie man an die Aufgaben jeweils rangeht:
> - Anzahl der injektiven Abbildungen von {1, {1,2}3} nach
> {-1, -2, -3}
Hier ist nicht klar, was das bedeuten soll. Verwende im Übrigen demnächst bitte uner Formelsystem, das ist wichtig, weil es die Lesbarkeit erhöht.
> - Anzahl der surjektiven Abbildungen von {1,2} nach
> {3,4,5}
Gut, hier sieht man sofort: Es müssen drei Bilder von zwei Urbildern getroffen werden -> das geht nicht.
> - Anzahl der bijektiven Abbildungen von {1,2,3} nach
> {1,2,3}
Hier sieht man: Die drei Werte 1,2,3 müssen auf die drei Werte 1,2,3 abgebildet werden, wobei kein Wert doppelt getroffen werden darf. Das heißt: Die Werte 1,2,3 werden einfahc nur permutiert. Wir suchen also alle Permutationen (Vertauschungen) der Menge [mm] $\{1,2,3\}$.
[/mm]
> oder
> sage, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind:
>
> - f: Q x Q [mm]\to[/mm] Q x Q, (x,y) [mm]\mapsto[/mm] (x²+y², x-y) ist eine
> injektive Abbildung
Naja, man weiß es erst mal nicht genau und muss überlegen (jedenfalls ich). Damm kommen einem die Quadrate verdächtig vor. Sollten sich nicht zwei Punkte $(a,b)$ und $(-a,-b)$ konstruieren lassen, die auf den gleichen Wert abgebildet werden? Naja, aber die zweite Komponente muss ja auch gleich sein, also: $a-b=-a+b$. Daraus folgt: $a=b$. Also nehmen wir doch mal die Punkte $(1,1)$ und $(-1,-1)$ und sehen, dass sie beide auf $(2,0)$ abgebildet werden. Die Funktion ist also nicht injektiv.
> - f: Z [mm]\to[/mm] Z x Z, x [mm]\mapsto[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(x², x³) ist eine surjektive
> Abbildung
Klarer Fall: In der ersten Komponente werden nur die nicht-negativen Zahlen getroffen, insbesondere liegt $(-1,0)$ nicht im Bild.
> - F: {(x,y)|y,x [mm]\in[/mm] Z, x [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
y} [mm]\to[/mm] Z, (x,y) [mm]\mapsto[/mm]
> x²-y ist eine surjektive Abbildung
Die Frage ist ja: Gibt es immer voneinander verschiedene ganze Zahlen $x$ und $y$ mit [mm] $x^2-y=c$, [/mm] für alle $c [mm] \in \IZ$? [/mm] Wenn $c [mm] \ne [/mm] 0$ ist, kann ich ja einfach $x=0$ und $y=-c$ wählen. Schwierigkeiten macht also nur der Fall $c=0$. Dann aber wähle ich doch $x=2$ und $y=4$ oder so etwas...
>
> Es seien f: A [mm]\to[/mm] B und g: B [mm]\to[/mm] C beiliebige Abbildungen
> zwischen den Mengen A,B,C
> sind folgende Aussagen für alle sollchen Abbildungen
> richtig?
>
> - Ist A =C unf g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{A}[/mm] , so ist g bijektiv
> - Ist A =C unf g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{A}[/mm] , so ist f bijektiv
> - Ist A =C unf g [mm]\circ[/mm] f = [mm]id_{A}[/mm] , so ist g surjektiv
> - Ist g [mm]\circ[/mm] f surjektiv, so ist f surjektiv
Das ist triviales Nachrechnen oder einfaches Überlegen von Gegenbeispielen (bei so etwas sind Wurzel- und Quadratfunktionen immer sehr nützlich  ), wirklich...
Liebe Grüße
Stefan
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