Inkongruente Lösungen/Legendre < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei p [mm] \equiv [/mm] 1 (mod 4) eine Primzahl.
Zeige, dass die Kongruenz [mm] x^2 \equiv [/mm] -1 (mod p) genau die beiden modulo p inkongruente Lösungen [mm] (\frac{p-1}{2})! [/mm] und [mm] -(\frac{p-1}{2})! [/mm] besitzt |
[mm] x^2 \equiv [/mm] -1 (mod p) lösbar da nach ersten Ergänzungssatz
[mm] (\frac{-1}{p}) \equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}} [/mm] =1
da [mm] p\equiv [/mm] 1 (mod 4)
d.h. -1 quadratischer Rest modulo p
Laut einer frühere aufgabe weiß ich dass
[mm] x^2 \equiv [/mm] a (mod p) genau [mm] 1+(\frac{a}{p}) [/mm] modulo p inkongruente Lösungen (mit [mm] a\in \IZ [/mm] beliebig) besitzt
Hier: 1 + [mm] (\frac{-1}{p}) [/mm] = 2
-> genau 2 Lösungen.
Wie weiß ich nun dass es sich um die lösungen der angabe handelt?
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moin,
Wenn du zeigen kannst, dass [mm] $\left(\frac{p-1}{2}\right)!$ [/mm] eine Lösung ist und nicht gleich seinem eigenen additiv Inversen so bist du fertig.
Also gucken wir uns nur mal den einen an.
Wie kannst du dir [mm] $\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2$ [/mm] so hinschreiben, dass $-1$ herauskommt?
Zwei kleine Hinweise gibt es auch noch:
[mm] $\frac{p-1}{2} [/mm] +1 [mm] \equiv [/mm] - [mm] \frac{p-1}{2}$ [/mm] ; wie kannst du die restlichen Restklassen geeignet durch Vertreter darstellen?
Ist $R$ ein endlicher kommutativer Ring, so ist [mm] $\prod_{0 \neq a \in R} [/mm] a = -1$.
lg
Schadow
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Hallo
> Wie kannst du dir $ [mm] \left(\frac{p-1}{2}\right)!^2 [/mm] $ so hinschreiben, dass $ -1 $ herauskommt?
Meinst du: $ [mm] \left(\frac{p-1}{2}\right)!^2 [/mm] $ soll -1 ergeben oder wie?
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> Hallo
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> > Wie kannst du dir [mm]\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2[/mm] so
> hinschreiben, dass [mm]-1[/mm] herauskommt?
> Meinst du: [mm]\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2[/mm] soll -1 ergeben
> oder wie?
>
Ist das nicht der gesamte Sinn der Aufgabe?
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Achso, ich SChussel ;)
ZZ.: $ [mm] \left(\frac{p-1}{2}\right)!^2 [/mm] $ [mm] \equiv [/mm] -1 (mod p)
> $ [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] +1 [mm] \equiv [/mm] - [mm] \frac{p-1}{2} [/mm] $ ; wie kannst du die restlichen Restklassen geeignet durch Vertreter darstellen?
Ich kann mit dem Hinweis jetzt nicht viel anfangen.
Was ich mir überlegt habe:
[mm] (\frac{p+1}{2})^2 \equiv (\frac{p-1}{2})^2 [/mm] (p)...
[mm] (p-1)^2 \equiv 1^2 [/mm] (p)
Aber ich denke die Erkenntnis bringt mich nicht vorran?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Sa 16.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Achso, ich SChussel ;)
> ZZ.: [mm]\left(\frac{p-1}{2}\right)!^2[/mm] [mm]\equiv[/mm] -1 (mod p)
Kennst du den ![[]](/images/popup.gif) Satz von Wilson?
Der hilft dir hier weiter...
> > [mm]\frac{p-1}{2} +1 \equiv - \frac{p-1}{2}[/mm] ; wie kannst du die
> restlichen Restklassen geeignet durch Vertreter darstellen?
> Ich kann mit dem Hinweis jetzt nicht viel anfangen.
> Was ich mir überlegt habe:
> [mm](\frac{p+1}{2})^2 \equiv (\frac{p-1}{2})^2[/mm] (p)...
> [mm](p-1)^2 \equiv 1^2[/mm] (p)
>
> Aber ich denke die Erkenntnis bringt mich nicht vorran?
Vergleiche [mm] $(\frac{p-1}{2})!^2$ [/mm] mit $(p-1)!$ modulo $p$.
LG Felix
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Ja der Satz von Wilson:
Sei p [mm] \in \IN, [/mm] p>1 , dann sind äquivalent:
1) p ist Primzahl
2) (p-1)! [mm] \equiv [/mm] -1 (p)
> Vergleiche $ [mm] (\frac{p-1}{2})!^2 [/mm] $ mit (p-1)! modulo p.
Mhm ich weiß aber nicht wie ich [mm] (\frac{p-1}{2})!^2 [/mm] zu (p-1)! umschreiben kann. Weil dise müssen ja mod p das selbe sein, wenn der selbe Wert rauskommen soll.
[mm] (\frac{p-1}{2})! [/mm] = [mm] \frac{(p-1)! }{Faktor *2}
[/mm]
Um die 2-er im Nenner umzuschreiben müsste ich wissen, die ANzahl von [mm] (\frac{p-1}{2})! [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:37 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ja der Satz von Wilson:
> Sei p [mm]\in \IN,[/mm] p>1 , dann sind äquivalent:
> 1) p ist Primzahl
> 2) (p-1)! [mm]\equiv[/mm] -1 (p)
>
> > Vergleiche [mm](\frac{p-1}{2})!^2[/mm] mit (p-1)! modulo p.
> Mhm ich weiß aber nicht wie ich [mm](\frac{p-1}{2})!^2[/mm] zu
> (p-1)! umschreiben kann. Weil dise müssen ja mod p das
> selbe sein, wenn der selbe Wert rauskommen soll.
> [mm](\frac{p-1}{2})![/mm] = [mm]\frac{(p-1)! }{Faktor *2}[/mm]
>
> Um die 2-er im Nenner umzuschreiben müsste ich wissen, die
> ANzahl von [mm](\frac{p-1}{2})![/mm]
Machen wir mal ein konkretes Beispiel. Sei $p = 5$; es gilt $5 [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{4}$.
[/mm]
Nun ist [mm] $\frac{p - 1}{2} [/mm] = 2$, womit wir zeigen muessen [mm] $(2!)^2 [/mm] = (2 [mm] \cdot 1)^2 \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{p}$.
[/mm]
Nun ist $(2 [mm] \cdot 1)^2 [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1$, udn wegen $2 [mm] \equiv [/mm] (-1) [mm] \cdot [/mm] 3$ und $1 [mm] \equiv [/mm] (-1) [mm] \cdot [/mm] 4$ ist $(2 [mm] \cdot 1)^2 \equiv (-1)^2 \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 4 = 4! = (p - 1)!$. Wegen dem Satz von Wilson gilt also [mm] $(2!)^2 \equiv [/mm] -1 [mm] \pmod{5}$.
[/mm]
LG Felix
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