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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Natwood |
| Aufgabe | Ein Dreieck mit den Eckpunkten A(-10|0), B(10|0) und C(0|13 1/3) ist gegeben.
Bestimme die Gleichung seines Inkreises. |
Hoffentlich kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen!
Es müsste irgendwie mit der Mittelpunkt- oder Tangentengleichung zu lösen sein.
Ich habe schon verschiedenes berechnet, wie die Funktionen zu den Seiten des Dreiecks..aber diese konnten mir nicht helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Ein Dreieck mit den Eckpunkten A(-10|0), B(10|0) und C(0|13
> 1/3) ist gegeben.
> Bestimme die Gleichung seines Inkreises.
Mit den Seiten als Tangenten hast Du Recht, aber der Ansatz ist nicht zielführend.
Es gibt Geraden, welche Dein Dreieck schneiden (Fachbegriff: Dreieckstransversalen).
Da gibt es Mittelsenkrechten (UMkreis), Höhen, Seitenhalbierende (Schwerpunkt) und Winkelhalbierende ( IN kreis).
Stelle die Gleichungen der Winkelhalbierenden auf, scheide diese paarweise miteinander und Du hast den Mittelpunkt des Inkreises.
Den Radius bekommst Du auch noch raus .... Er führt vom Mittelpunkt des Kreises zur Kreislinie und ist damit orthogonal zur Seite (wie Du oben selbst festgestellt hast)
[mm] $x^2+y^2-10*y [/mm] = 0$
Hast Du Dir eigentlich mal eine (exakte) Zeichnung des Problems gemacht und versucht einen Kreis einzuzeichnen? Das ist schon die Hälfte der Lösung!
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Natwood |
Erstmal danke für die Hilfe.
An die Winkelhalbierenden habe ich auch schon gedacht, doch um für diese eine Gleichung aufzustellen bräuchte ich doch noch Angaben. In diesem Fall habe ich doch nur den jeweiligen Eckpunkt des Dreiecks zur Hilfe. Keine Steigung und keinen Schnittpunkt mit der y-Achse (Mittelpunkt des Inkreises). Da komme ich nich weiter.
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Hallo!
Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten.
Das könnte Dir helfen! Dann hast Du 2 Punkte.
Einen Tipp gebe ich Dir nochmal!
Schau' Dir die Punkte an. Welche Art von Dreieck hast Du?
Fertige eine Zeichnung an!
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Natwood |
Es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck.
"Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im Verhältnis der anliegenden Seiten."
>Das verstehe ich leider nicht. Welches Verhältnis haben denn die anliegenden Seiten?
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> Es handelt sich um ein gleichschenkliges Dreieck.
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> "Die Winkelhalbierende teilt die gegenüberliegende Seite im
> Verhältnis der anliegenden Seiten."
> >Das verstehe ich leider nicht. Welches Verhältnis haben
> denn die anliegenden Seiten?
Gehen wir mal vom Punkt A aus.
Dem Punkt A liegt die Seite $a$ gegenüber.
Bestimme mal das Verhältnis der Seiten $b$ und $c$.
Es gibt einen Punkt Q auf $a$, der $a$ im selben Verhältnis teilt.
Kontrollergebnis: Die Gerade durch A und Q hat die Gleichung
[mm] $y=0,5\,x [/mm] + 5$
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Natwood |
Also..irgendwie komme ich nicht mit.
Das Verhältnis (Längenverhältnis, oder!?) der Seien b und c beträgt 5/6.
Aber der Punkt Q teil a nicht annähernd in diesem Verhältnis?
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> Also..irgendwie komme ich nicht mit.
>
> Das Verhältnis (Längenverhältnis, oder!?) der Seien b und c
> beträgt 5/6.
> Aber der Punkt Q teil a nicht annähernd in diesem
> Verhältnis?
Bei mir schon.
Nochmal nachrechnen und anhand der Zeichnung nachmessen!
Die zweite Winkelhalbierende ist die $y$-Achse und die Winkelhalbierende bei B bekommst Du aus der Winkelhalbierenden bei A durch Spiegelung an der y-Achse.
Bringe mal die oben angegebene Kreisgleichung auf die allgemeine Form
[mm] $(x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2$
[/mm]
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Natwood |
Was muss ich denn rechnen um das Verhältnis von b und c auf a anzuwenden? Durch multiplizieren erhalte ich doch nur eine weitere Länge und keinen Punkt.
Meine Zeichnung zeigt den Punkt Q bei (4 1/2| 7). stimmt denn das? Denn dann kann das Verhältnis |CQ| |BQ| ja unmöglich 5/6 sein.
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Hallo!
[mm] Q$\left( \frac{50}{11} \mid \frac{80}{11} \right)$
[/mm]
sind die exakten Koordinaten.
AB = 20 Einheiten lang,
AC = 50/3 Einheiten lang
Verhältnis 6/5
Am einfachsten geht es, wenn Du mit Vektoren rechnest
$<10,0>+6/11*<-10,40/3>;$
Gruß
mathemak
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:37 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Natwood |
Mit der Vektorrechnung komme ich nicht weiter. Das hatten wir noch nicht.
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Hallo!
Dann gibt dem Punkt Q die Koordinaten
Q$(u [mm] \mid [/mm] 40/3 - [mm] 4/3\,u)$
[/mm]
und rechne den Abstand zwischen B und Q
$| [mm] \overline{\text{BQ}}| [/mm] = [mm] {\frac {50}{3}}-5/3\,u$
[/mm]
und Q und C aus:
[mm] $\overline{\text{QC}} [/mm] = [mm] \frac{5}{3}\,u$
[/mm]
Setze das Verhältnis der beiden Abstände = 6/5 und löse nach $u$.
Es ergibt sich [mm] $u=\frac{50}{11}$.
[/mm]
(wobei $0<u<10$ angenommen werden kann und damit [mm] $\sqrt{u^2}=u$ [/mm] und keine Fallunterscheidung notwendig!)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Natwood |
Danke. Ich glaube damit kann ich jetzt etwas anfangen 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Sa 25.11.2006 | | Autor: | mathemak |
Hallo!
Wenn Du mal in 12 oder 13 bist und die Vektorrechnung "erfahren" hast, dann rechne die Aufgabe nochmal mit Vektoren.
Ich habe die ganze Zeit parallel gerechnet. Analytische Geometrie ist manchmal umständlich.
Du must nur "erinnern", dass die Winkelhalbierende zweier Geraden sich über eine Raute aus den beiden normierten Richtungsvektoren berechnen lässt.
Dann geht es alles etwas schneller.
Gruß
mathemak
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