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Forum "Differenzialrechnung" - Innere Funktion
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Innere Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 So 16.08.2009
Autor: expositiv

Aufgabe
Ermittle die innere Funktion der folgenden Funktionen und erkläre den Einfluss der inneren Funktion durch zeichnen von Graphen.

a) f(x)= [mm] \wurzel{x-7} [/mm]
b) [mm] sin(x^2) [/mm]
c) f(x)= [mm] (\bruch{5}{x})^3 [/mm]

Guten Tag,

innere Funktion von a)

g(x)= x-7

Einfluss: Durch die Wurzel gilt x>7, da man von negativen Zahlen und von 0 nicht die Wurzel ziehen kann. Bei der inneren Funktion gilt das nicht (richtig so?)

b)

innere funktion: [mm] g(x)=x^2 [/mm]

Was es für einen Einfluss hat, weiß ich nicht genau...

c)

innere Funktion [mm] \bruch{5}{x} [/mm]

Den Einfluss versteh ich auch nicht ganz.

Habs schon auf meinem Grafiktaschenrechner eingegeben als Graphen, weiß jedoch nicht was man da genau beachten soll.
Bitte um Hilfe und eventuelle Lösungsvorschläge

        
Bezug
Innere Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 So 16.08.2009
Autor: Adamantin


> Ermittle die innere Funktion der folgenden Funktionen und
> erkläre den Einfluss der inneren Funktion durch zeichnen
> von Graphen.
>  
> a) f(x)= [mm]\wurzel{x-7}[/mm]
> b) [mm]sin(x^2)[/mm]
> c) f(x)= [mm](\bruch{5}{x})^3[/mm]
>  Guten Tag,
>  
> innere Funktion von a)
>  
> g(x)= x-7
>  
> Einfluss: Durch die Wurzel gilt x>7, da man von negativen
> Zahlen und von 0 nicht die Wurzel ziehen kann. Bei der
> inneren Funktion gilt das nicht (richtig so?)
>  

Das ist sicherlich schon mal eine ganz wichtige Erkenntnis, durch die -7 wird der Definitionsbreich eben noch einmal ein wenig eingeschränkt. Da es aber in der NAtur der Wurzelfunktion liegt, einen "halben" Definitionsbreich zu haben, ist die -7 eigentlich nicht so furchtbar wichtig bzw sie stellt ja nur eine Verschiebung um -7 auf der y- Achse dar. Ansonsten geht es eher darum, dass sich die innere Funktion eben wie eine Gerade verhält und die Wurzelfunktion damit im Vergleich zu [mm] \wurzel{x} [/mm] eben fast identisch verläuft, also ok die Erklärung ist hier nicht sooo toll, aber bei [mm] x^3 [/mm] sieht man es besser, wie gesagt, es handelt sich ja nur um eine y-Achsen-Verschiebung

> b)
>  
> innere funktion: [mm]g(x)=x^2[/mm]

Hier haben wir doch schon eine deutlich bessere Veränderung. Denn das [mm] x^2 [/mm] bewirkt ja zum einen, dass die Werte wesentlich größer sind, als bei  $ sin(x) $, und zum anderen werden eben negative Werte zu positiven umgewandelt, weil sie immer ins Quadrat gesetzt werden. Wenn du dir also den Graphen von $ [mm] sin(x^2) [/mm] $ anschaust, was du bei all diesen AUfgaben dringlichst tun solltest, stellst du fest, dass der Graph erstens y-Achsen-Symmetrie besitzt und zweitens wesentlich enger/steiler verläuft als sin(x). Das ist eben durchaus eine gewichtige Veränderung und leitet sich nur vom kleinen Quadrat ab :)

>  
> Was es für einen Einfluss hat, weiß ich nicht genau...
>  
> c)
>  
> innere Funktion [mm]\bruch{5}{x}[/mm]
>  
> Den Einfluss versteh ich auch nicht ganz.

Auch hier haben wir es mit einer gewichtigen Veränderung im Gegensatz zu [mm] x^3 [/mm] zu tun. [mm] x^3 [/mm] alleine ist eine Funktion, die im Unendlichen auch gegen Unendlich verläuft, also den gesamten Definitionsbereich [mm] \IR [/mm] aufweist. 1/x ist jedoch eine Funktion, die eine Hyperbel aufweist und eine konvergente Folge darstellt, also gegen 0 strebt. Dieses Verhalten wird natürlich durch [mm] x^3 [/mm] noch beschleunigt! Die innere Funktion kehrt also sozusagen den Graphen komplett um! Aus einer [mm] x^3-Funktion, [/mm] die aus dem negativ Unendlichen kommt und ins positiv Unendliche anwächst macht die innere Funktion eine neue FUnktion, deren Graphen plötzlich gegen 0 strebt und sich an die x-Achse anschmiegt! 5/x bewirkt also, dass der Graph Asymptoten bekommt

>  
> Habs schon auf meinem Grafiktaschenrechner eingegeben als
> Graphen, weiß jedoch nicht was man da genau beachten
> soll.

Vergleiche doch immer Ausgangsgraph und Zielgraph, wie gesagt, betrachte:

$ [mm] \wurzel{x} [/mm] <=> [mm] \wurzel{x-7} [/mm] $
$ sin(x) <=> [mm] sin(x^2) [/mm] $
$ [mm] x^3 [/mm] <=> [mm] (\bruch{5}{x})^3 [/mm] $

>  Bitte um Hilfe und eventuelle Lösungsvorschläge


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