Int-rech. eines Rot.körpers < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die von den Graphen von f und g mit [mm] f(x)=e^x-0,5 [/mm] und g(x)=e^(-x)-0,5 und der 1.Achse eingeschlossene Fläche rotiere um die 1. Achse. Berechne das Volumen des Rotationskörpers. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey.
Folgendes: Ich hab die Aufgabe soweit gelöst, bis auf die Integralrechnung, die macht mir arge Probleme. Ich habe beide Graphen gezeichnet und die eingeschlossene Fläche liegt im Bereich von "ln 0,5" bis "- ln 0,5".
Die beiden Graphen sind mit der y-Achse achsensymmetrisch. Daraus schließe ich, dass ich das Integral nur im Bereich von "- ln 0,5" bis "0" berechnen muss und das Ergebnis dann mit 2 multiplizieren kann um auf das Endresultat zu kommen.
Bei der Berechnung habe ich jedoch einige Probleme, zunächst bin ich mir schon bei der Formel unsicher:
V = [mm] \pi *(\integral_{0}^{-ln0,5}{g(x)-f(x) dx})
[/mm]
Wäre nett wenn mir jemand bestätigen könnte, ob die Formel richtig oder falsch ist die ich verwende.
Als Aufleitungen hatte ich folgendes verwendet:
F(x)= e^(x)-0,5x
G(x)= -e^(-x)-0,5x
Demnach hatte ich also folgendes da stehen:
V = | [mm] \pi*(-e^{ln0,5}-0,5*(-ln0,5)-(e^{-ln0,5}-0,5*(-ln0,5))-(-e^-0-e^0))|
[/mm]
Bei der weiteren Berechnung kamen dann: 12,74 [VE] Volumeneinheiten heraus
Ich hoffe ihr könnt mir einige Tipps geben, was ich besser machen muss, um die Aufgabe erfolgreich zu lösen. Fehler sind da eh drin, ob beim Ansatz oder in der Berechnung, aber vll kann jemand die von mir aufgeführten Ansätze kontrollieren, ob die schon falsch sind.
Vielen Dank, Matze
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Hallo Matze,
du hast überhaupt nicht viel falsch gemacht, jedoch ist leider dein Ansatz des Integrals verkehrt. Aber erstmal ganz langsam: Die Nullstellen (Grenzen des Integrals) hast du richtig berechtigt und da die Graphen symmetrisch zur y-Achse sind, ist es sehr sinnvoll, die Grenzen von 0 bis - ln 0.5 zu wählen und das Integral mit 2 zu multiplizieren. Jedoch musst du dann bedenken, dass die Fläche (rechts von der y-Achse) nur von einer der beiden Funktionen eingeschlossen wird, nämlich von [mm] f(x) = e^{-x} - 0.5 [/mm]. Die Berechnungsformel muss also lauten:
[mm] V = 2 \pi \int_{0}^{-ln\ 0.5} [g(x)]^2 dx [/mm]
(du hattest bei der Formel auch das Quadrieren der Funktion vergessen). Da du die Stammfunktionen aber richtig hattest, geh ich davon aus, dass dir die Frage dann keine Probleme bereiten wird.
Zum Vergleichen: Als Lösung solltest du V = 12.87 [VE] erhalten.
Mit freundlichen Grüßen,
Manuela
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Ja danke erstmal, aber bekomme es wohl dennoch nicht hin.
Folgendes:
$V = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] (\integral_{0}^{\ln2}{[g(x)]² dx})$
[/mm]
$V = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] (\integral_{0}^{\ln2}{[e^{-x}-0,5]² dx})$
[/mm]
$V = 2 * [mm] \pi [/mm] * [mm] (\integral_{0}^{\ln2}{(e^{-2x}-e^{-x}+0,25) dx}) [/mm] $
Stammfunktion sollte doch sein: [mm] -0,5*e^{-2x}+e^{-x}+0,25x
[/mm]
[edit: ich habe deine formeln editiert, damit man's besser lesen kann. Klick mal drauf, damit du erkennst, wie man Potenzen schreibt. informix]
naja bei der Berechnung kommt dann bei mir immer folgendes raus:
2* [mm] \pi [/mm] (-0,125+0,5+0,25*ln2 + 0,5-1)
2* [mm] \pi [/mm] (-0,125+0,25*ln2)
....
hmm?
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Hallo Matze,
natürlich, du hast ja auch Recht  Ich hatte mich vorhin verrechnet. Deine Berechnung ist genau richtig und damit kommst du auf V = 0.303 [VE]. Ich habe dieses Ergebnis gerade auch noch einmal überprüft, es stimmt. Tut mir leid, dass ich mich vorhin verrechnet habe.
Mit freundlichen Grüßen,
Manuela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 So 22.10.2006 | | Autor: | matzew611 |
Puh, alles klar dann :). Danke für die Hilfe!
Schönen Abend noch!
Matze
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