Integral-Ausdruck mit Klammern < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Sa 07.03.2009 | | Autor: | gossyk |
| Aufgabe | Ein Auto fährt mit Geschwindigkeit v(t) zur Zeit t. Bezeichne s(t) die bis zur Zeit t zurückgelegte Strecke ( s'(t)=v(t) ).
Der Fahrtenschreiber zeigt folgenden Geschwindigkeitsverlauf:
v(t) = at mit a > 0
Berechne die bis zur Zeit T [mm] \ge [/mm] 0 zurückgelegte Fahrtstrecke s(T). |
Hallo, zu dieser Aufgabe habe ich bereits die Musterlösung.
Sie lautet:
s(T) = [mm] \integral_{0}^{T}{v(t) dt} [/mm]
nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
dann kommt folgende Rechnung:
s(T) = [mm] \integral_{0}^{T}{at dt}
[/mm]
diesen Schritt verstehe ich - da v(t)=at wurde at dort eingesetzt.
= a [mm] \integral_{0}^{T}{t dt}
[/mm]
das ist auch noch klar, das konstante a wurde einfach rausgeholt.
nun aber:
= a [ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] t² [mm] ]^{T}_{0} [/mm] (die rechteckigen Klammern sind sehr groß, also umfassend den ganzen Ausdruck und jeweils oben und unten an der rechten Klammer steht T und 0....ließ sich leider hier nicht besser darstellen)
= a [mm] \bruch{T²}{2}
[/mm]
der Schritt, bei dem das Integral "verscwhindet" und durch den Ausdruck mit den rechteckigen Klammern ersetzt wird ist mir nicht klar.
könnte mir jemand klarmachen woher dsa kommt?
vielen dank im voraus
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Hallo gossyk,
> Ein Auto fährt mit Geschwindigkeit v(t) zur Zeit t.
> Bezeichne s(t) die bis zur Zeit t zurückgelegte Strecke (
> s'(t)=v(t) ).
>
> Der Fahrtenschreiber zeigt folgenden
> Geschwindigkeitsverlauf:
>
> v(t) = at mit a > 0
>
> Berechne die bis zur Zeit T [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 zurückgelegte }
> Fahrtstrecke s(T).
> Hallo, zu dieser Aufgabe habe ich bereits die
> Musterlösung.
>
> Sie lautet:
>
> s(T) = [mm]\integral_{0}^{T}{v(t) dt}[/mm]
> nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
>
> dann kommt folgende Rechnung:
>
> s(T) = [mm]\integral_{0}^{T}{at dt}[/mm]
>
> diesen Schritt verstehe ich - da v(t)=at wurde at dort
> eingesetzt.
>
> = a [mm]\integral_{0}^{T}{t dt}[/mm]
>
> das ist auch noch klar, das konstante a wurde einfach
> rausgeholt.
>
> nun aber:
>
> = a [ [mm]\bruch{1}{2}[/mm] t² [mm]]^{T}_{0}[/mm] (die rechteckigen
> Klammern sind sehr groß, also umfassend den ganzen Ausdruck
> und jeweils oben und unten an der rechten Klammer steht T
> und 0....ließ sich leider hier nicht besser darstellen)
>
> = a [mm]\bruch{T²}{2}[/mm]
>
> der Schritt, bei dem das Integral "verscwhindet" und durch
> den Ausdruck mit den rechteckigen Klammern ersetzt wird ist
> mir nicht klar.
>
> könnte mir jemand klarmachen woher dsa kommt?
Nun, das kommt aus der Grenzwertbildung:
[mm]\integral_{0}^{T}{at \ dt}= \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}f\left(\bruch{i}{n}*T\right)*\bruch{T}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}a*\bruch{i}{n}*T*\bruch{T}{n}[/mm]
[mm]=a*T^{2}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{2}}\summe_{i=1}^{n}{i}=a*T^{2}\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^{2}}\bruch{n*\left(n+1\right)}{2}=\bruch{1}{2}*a*T^{2}[/mm]
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> vielen dank im voraus
>
>
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 Sa 07.03.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo gossyk,
beim Integrieren suchst du nach einer ![[]](/images/popup.gif) Stammfunktion.
Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, gilt [mm] $\int [/mm] f(x)dx=F(x)$. Bzw. gilt $F'(x)=f(x)$.
Beim bestimmten Integral gilt [mm] $\int\limits_a^b f(x)dx=\left[F(x)\right]\limits_a^b=F(b)-F(a)$
[/mm]
Bei Polynomen gilt die Regel: [mm] $\int [/mm] x^ndx= [mm] \frac{x^{n+1}}{n+1}$
[/mm]
Konstanten können, wie du schon bemerkt hast, vor das Integral gezogen werden.
Wenn du ein bestimmtes Integral berechnen willst (also, wenn Grenzen gegeben sind), gilt folgendes: [mm] $\int\limits_a^b x^n dx=\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_a^b=\frac{b^{n+1}}{n+1}-\frac{a^{n+1}}{n+1}$.
[/mm]
Bei deiner Aufgabe ist [mm] $f(t)=a\cdot [/mm] t$. Das ist auch ein Polynom, also gilt: [mm] $\int\limits_0^T a\cdot [/mm] t [mm] dt=a\cdot\int\limits_0^T t^1 [/mm] dt= [mm] a\cdot\left[\frac{t^{1+1}}{1+1}\right]\limits_0^T=a\cdot\left[\frac{t^2}{2}\right]\limits_0^T=a\cdot\left(\frac{T^2}{2}-\frac{0^2}{2}\right)=a\cdot\frac{T^2}{2}$
[/mm]
Die eckigen Klammern symbolisieren einfach, dass innerhalb die Stammfunktion des zu integrierenden Ausdrucks steht.
Lieben Gruß,
Fulla
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