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Hallo, ich habe hier eine Musterlösung zu der Aufgabe:
Zeigen sie, dass das Integral [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] e^(-x)^(2) existiert.
Nun haben die in der Musterlösung zuerst gezeigt, dass das Integral e^(-x) und [mm] e^x [/mm] einen Grenzwert besitzt.
Warum man sich den Grenzwert anschaut ist mir klar, aber warum von diesen beiden?
[mm] e^x*e^{-x} [/mm] ist ja nicht dasselbe wie e^(-x)^(2).
Was könnte die Idee dahinter sein??
Nur noch zur info die Lösung ist dann noch nicht zu ende.
Gruß
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> Hallo, ich habe hier eine Musterlösung zu der Aufgabe:
> Zeigen sie, dass das Integral
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] e^(-x)^(2)
> existiert.
> Nun haben die in der Musterlösung zuerst gezeigt, dass
> das Integral e^(-x) und [mm]e^x[/mm] einen Grenzwert besitzt.
> Warum man sich den Grenzwert anschaut ist mir klar, aber
> warum von diesen beiden?
> [mm]e^x*e^{-x}[/mm] ist ja nicht dasselbe wie e^(-x)^(2).
> Was könnte die Idee dahinter sein??
> Nur noch zur info die Lösung ist dann noch nicht zu ende.
Hallo,
tja, und wenn Du uns sagst, wie die Lösung weitergeht, dann steigt die Wahrscheinlichkeit dafür ganz immens, daß Dir einer sagen kann, warum erstmal diese beiden GWe angeguckt wurden.
Und um welches Integral geht es? Das könntest Du auch nochmal richtig hinschreiben.
Gruß v. Angela
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Tut mir Leid, aber irgendwie kann ich das nicht so schreiben:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} (e(^-^x)^2) [/mm] (also e hoch -x und über dem -x ist hoch 2)
Dann hat man den Grenzwert des Integrals
[mm] \integral_{1}^{r}{f(x) dx} [/mm] e^-^x bestimmt. Lösung 1/e
Dann hat man den Grenzwert des Integrals
[mm] \integral_{-r}^{-1}{f(x) dx} e^x [/mm] berechnet. Lösung 1/e.
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx} (e(^-^x)^2)= [/mm]
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty}( \integral_{-r}^{-1}{f(x) dx} (e(^-^x)^2)+
[/mm]
( [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x) dx} (e(^-^x)^2)+( \integral_{1}^{r}{f(x) dx} (e(^-^x)^2) \le
[/mm]
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] \integral_{-r}^{-1}{f(x) dx} e^x [/mm] +
( [mm] \integral_{-1}^{1}{f(x) dx} (e(^-^x)^2)+
[/mm]
( [mm] \integral_{1}^{r}{f(x) dx} [/mm] (e(^-^x) < [mm] \infty
[/mm]
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Hallo Schmetterling,
das ist alles sehr sehr schlecht zu entziffern.
Exponenten mache mit dem Dach und schließe sie in geschweiften Klammern ein,
Was soll das [mm]f(x)[/mm] unterm Integral??
Ich bin sicher, dass die Aufgabe lautet, die Existenz von [mm]\int\limits_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2} \ dx} \ \leftarrow \ \text{klick}[/mm] nachzuweisen.
Ich erkläre dir mal die eine Abschätzung, die andere überlege dir analog.
Für [mm]x\ge 1[/mm] ist [mm]x^2\ge x[/mm] und da die Eponentialfunktion streng monoton steigend ist, auch [mm]e^{x^2}\ge e^x[/mm], also [mm]\frac{1}{e^{x^2}}\le\frac{1}{e^x}[/mm], dh. [mm]e^{-x^2}\le e^{-x}[/mm]
Also [mm]\int\limits_{1}^{\infty}{e^{-x^2} \ dx} \ \le \ \int\limits_{1}^{\infty}{e^{-x} \ dx}[/mm]
Und die Konvergenz des letzteren Integrals kann man leicht nachrechnen, damit hast du für den einen Teil eine konvergente Majorante.
Für [mm]-1\le x\le 1[/mm] ist [mm]e^{-x^2}[/mm] stetig, und stetige Funktionen nehmen auf kompakten Intervallen ihr Maximum an, also kannst du [mm]\int\limits_{-1}^1{e^{-x^2} \ dx}[/mm] entsprechend abschätzen, Es ist in jedem Falle endlich. Wenn du magst, kannst du das genauer abschätzen.
Nun überlege, wie die in der Lösung eine Majorante für [mm]\int\limits_{-\infty}^{-1}{e^{-x^2} \ dx}[/mm] gefunden haben.
Mache das wie oben ... [mm]x\le -1\Rightarrow\ldots[/mm]
Gruß
schachuzipus
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