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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Fr 25.04.2014 | | Autor: | JennMaus |
| Aufgabe | | Warum ist das [mm] \integral_{a}^{b}{f'(x)/f(x) dx} [/mm] = ln (f(x))? |
Hallo,
Also anhand von Beispielen ist mir schon klar, dass das obige Beispiel stimmen muss, aber wie kann ich diese Lösung auch allgemein verstehen und nicht nur durch dieses Beispiel?
Wie muss ich [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx} [/mm] umformen um auf ln(f(x)) zu kommen.
Vielen Dank schon mal!
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Hallo JennMaus!
> Warum ist das [mm]\integral_{a}^{b}{f'(x)/f(x) dx}[/mm] = ln (f(x))?
Aufpassen, das ist ziemlich unglücklich (um nicht zu sagen: falsch) formuliert.
Denn es gilt: [mm] $\integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ \mathrm{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \ln[ [/mm] \ |f(b)| \ [mm] ]-\ln[ [/mm] \ |f(a)| \ ] \ = \ [mm] \ln\left[ \ \left|\bruch{f(b)}{f(a)}\right| \ \right]$
[/mm]
Oder: [mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ \mathrm{dx}} [/mm] \ = \ [mm] \ln[ [/mm] \ |f(x)| \ ]+c$
Also genau unterscheiden, ob es sich um ein bestimmtes oder unbestimmtes Integral handelt.
Und auch die Betragsstriche bei der Logarithmusfunktion nicht vergessen.
> Wie muss ich [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{f'(x)}{f(x)} dx}[/mm] umformen um auf ln(f(x)) zu kommen.
Führe die Substitution $z \ := \ f(x)$ durch und achte darauf, auch das Differential [mm] $\mathrm{dx}$ [/mm] durch [mm] $\mathrm{dz}$ [/mm] zu ersetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Fr 25.04.2014 | | Autor: | JennMaus |
Ja, Entschuldigung - es handelt sich natürlich um ein unbestimmtes Integral.
Achso, das heißt ich darf, wenn z := f(x) das so schreiben...
[mm] \integral_{}^{}{1/z dz} [/mm] ? Okay und diese Art von Funktionen, ist dann klar, dass sie ln(|z|) ergeben.
Dann zurück substituiert müsste, dass ln(|f(x)|) ergeben, wodurch ich endlich verstehe, wie man auf diese Lösung kommt.
Danke, für die Hilfe :)
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Hallo,
> Ja, Entschuldigung - es handelt sich natürlich um ein
> unbestimmtes Integral.
>
> Achso, das heißt ich darf, wenn z := f(x) das so
> schreiben...
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{1/z dz}[/mm] ? Okay und diese Art von
> Funktionen, ist dann klar, dass sie ln(|z|) ergeben.
Hm, das hört sich noch nicht so ganz sattelfest an. Ist dir denn bspw. klar, weshalb da jetzt dz anstatt dx steht und weshalb die Ableitung f'(X) im Zähler verschwunden ist?
> Dann zurück substituiert müsste, dass ln(|f(x)|) ergeben,
> wodurch ich endlich verstehe, wie man auf diese Lösung
> kommt.
Ja, das ist dann richtig gedacht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Fr 25.04.2014 | | Autor: | JennMaus |
Nunja ich habe mir das so gedacht, wenn z := f(x) dann ist [mm] \bruch{dz}{dx} [/mm] = 1. Dies umgeformt ergibt dann dz = dx. Daher habe ich das so geschrieben.
Und die 1 im Zähler, habe ich geschrieben, da ich z einfach abgeleitet habe und somit die 1 erhalten.
War diese Vorgehensweise richtig, oder hatte ich nur Glück?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Fr 25.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Nunja ich habe mir das so gedacht, wenn z := f(x) dann ist
> [mm]\bruch{dz}{dx}[/mm] = 1.
Unsinn ! Es ist
[mm] $\bruch{dz}{dx}=f'(x)$, [/mm] also $dz=f'(x)dx$
FRED
> Dies umgeformt ergibt dann dz = dx.
> Daher habe ich das so geschrieben.
>
>
> Und die 1 im Zähler, habe ich geschrieben, da ich z
> einfach abgeleitet habe und somit die 1 erhalten.
>
> War diese Vorgehensweise richtig, oder hatte ich nur
> Glück?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Fr 25.04.2014 | | Autor: | abakus |
> Ja, Entschuldigung - es handelt sich natürlich um ein
> unbestimmtes Integral.
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> Achso, das heißt ich darf, wenn z := f(x) das so
> schreiben...
>
>
> [mm]\integral_{}^{}{1/z dz}[/mm] ? Okay und diese Art von
> Funktionen, ist dann klar, dass sie ln(|z|) ergeben.
>
> Dann zurück substituiert müsste, dass ln(|f(x)|) ergeben,
> wodurch ich endlich verstehe, wie man auf diese Lösung
> kommt.
>
> Danke, für die Hilfe :)
Hallo,
du kannst dir eigentlich diese ganzen Klimmzüge mit Substitution usw. ersparen.
Bilde einfach die Ableitung von ln(f(x)).
Dazu benötigst du die Kettenregel und erhältst [mm] $\frac{f'(x)}{f(x)}$.
[/mm]
Gruß Abakus
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