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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 16.07.2014 | | Autor: | NoJoke |
Hallo,
es geht um das folgende Integral [mm] \integral{x*sin(\bruch{1}{2}x) dx}
[/mm]
Ich habe es versucht mit partieller Integration zu integrieren und ich weiss durch Integralrechnern , dass es falsch ist ich weiss aber nicht was ich falsch mache könnte mir jemand helfen?
Also habe es so gemacht...
f(x)= x und f'(x)=1
[mm] x*sin(\bruch{1}{2}x) [/mm] - [mm] \integral{ 1*sin(\bruch{1}{2}x) dx}
[/mm]
= [mm] x*sin(\bruch{1}{2}x) [/mm] - [mm] (-2cos(\bruch{1}{2}x)) [/mm]
Also falls das falsch ist , könnte mir jemand alle schritte mal aufschreiben und erklären? Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
sorry - hatte zwischendurch einen Anruf ...
> Hallo,
>
> es geht um das folgende Integral
> [mm]\integral{x*sin(\bruch{1}{2}x) dx}[/mm]
>
> Ich habe es versucht mit partieller Integration zu
> integrieren ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und ich weiss durch Integralrechnern , dass es
> falsch ist ich weiss aber nicht was ich falsch mache
> könnte mir jemand helfen?
> Also habe es so gemacht...
>
> f(x)= x und f'(x)=1
> [mm]x*sin(\bruch{1}{2}x)[/mm] - [mm]\integral{ 1*sin(\bruch{1}{2}x) dx}[/mm]
???
Es ist [mm]\int{f(x)\cdot{}g'(x) \ dx} \ = \ f(x)\cdot{}g(x) \ - \ \int{f'(x)\cdot{}g(x) \ dx}[/mm]
Mit [mm]f(x)=x[/mm] und [mm]g'(x)=\sin\left(1/2x\right)[/mm]
Für den ersten Term also [mm]x\cdot{}\text{Stammfunktion von} \ \sin\left(1/2x\right)[/mm]
>
> = [mm]x*sin(\bruch{1}{2}x)[/mm] - [mm](-2cos(\bruch{1}{2}x))[/mm]
> Also falls das falsch ist , könnte mir jemand alle
> schritte mal aufschreiben und erklären? Danke.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mi 16.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> es geht um das folgende Integral
> [mm]\integral{x*sin(\bruch{1}{2}x) dx}[/mm]
>
> Ich habe es versucht mit partieller Integration zu
> integrieren und ich weiss durch Integralrechnern , dass es
> falsch ist ich weiss aber nicht was ich falsch mache
> könnte mir jemand helfen?
> Also habe es so gemacht...
>
> f(x)= x und f'(x)=1
> [mm]x*sin(\bruch{1}{2}x)[/mm] - [mm]\integral{ 1*sin(\bruch{1}{2}x) dx}[/mm]
>
> = [mm]x*sin(\bruch{1}{2}x)[/mm] - [mm](-2cos(\bruch{1}{2}x))[/mm]
> Also falls das falsch ist , könnte mir jemand alle
> schritte mal aufschreiben und erklären? Danke.
Du solltest mal versuchen, den Fehler selbst zu finden:
[mm] $\int \red{u(x)}*v'(x)dx=\red{u(x)}*v(x)-\int (\red{u(x)})'*v(x)dx$
[/mm]
Jetzt
[mm] $\integral{\red{x}*sin(\bruch{1}{2}x)dx=x*\underbrace{...}_{\text{Stammfunktion von }v'(x)}=x*\sin(x/2)}-\underbrace{\int v(x)dx}_{{\text{Stammfunktion von }v(x)}}$
[/mm]
P.S. Allgemein:
[mm] $\int [/mm] x*g(x)dx$
soll bestimmt werden, wenn EINE Stammfunktion [mm] $G(x)\,$ [/mm] von $g(x)$ bekannt ist.
Dann
[mm] $\int x*g(x)dx=x*G(x)-\int 1*(\int g(x)dx)dx=x*G(x)-\int G(x)dx\,.$
[/mm]
Hinweis: Dabei ist [mm] $\int [/mm] G(x)dx$ eine Stammfunktion von $G(x)$ [also eine Stammfunktion
einer Stammfunktion von [mm] $g(x)\,$].
[/mm]
[Wir beweisen diese Formel noch schnell:
Es ist
[mm] $(x*G(x)-\int G(x)dx)'=G(x)+x*G'(x)-G(x)=x*G'(x)=x*g(x)\,,$
[/mm]
also der Integrand.
Bei Dir ist das alles sehr schön, denn für feste $a,b [mm] \in \IR$ [/mm] ist die Funktion
$x [mm] \mapsto \sin(a*x+b)$
[/mm]
sehr leicht zu überschauen (sowohl, was Ableitungen betrifft, aber hier auch
insbesondere, was das Erstellen einer Stammfunktion und das darauffolgende
Erstellen einer Stammfunktion der zuerst erstellten Stammfunktion betrifft.)
Nebenbei: Wenn man
[mm] $\int \sin(x)dx=-\cos(x)$
[/mm]
weiß, dann kann man mit
[mm] $\int \cos(x)dx=\int \sin(\pi/2-x)dx$
[/mm]
und der Substitutionsmethode auch
[mm] $\int \cos(x)dx=-\sin(x)$ [/mm] (wegen [mm] $\sin(x)=\cos(\pi/2-x)$)
[/mm]
folgern.
Beachte übrigens: In der Zeile
[mm] $\int x*g(x)dx=x*G(x)-\int 1*(\int g(x)dx)dx=x*G(x)-\int [/mm] G(x)dx$
ist [mm] $G(x)=\int [/mm] g(x)dx$ zu benutzen - also "die zuerst gefundenen Stammfunktion
zu [mm] $g(x)\,$" [/mm] - diese darf dort nicht um eine Konstante verändert werden.]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Mi 16.07.2014 | | Autor: | NoJoke |
u=x u´=1
[mm] v'=sin(\bruch{1}{2}x) v=-2cos(\bruch{1}{2}x) [/mm]
= x*-2cos [mm] (\bruch{1}{2}x) [/mm] - [mm] \integral 1*-2cos(\bruch{1}{2}x) [/mm] dx
= x*-2cos [mm] (\bruch{1}{2}x) [/mm] - ( -4sin [mm] (\bruch{1}{2}x))
[/mm]
= [mm] -2x*cos(\bruch{1}{2}x)+ [/mm] 4sin [mm] (\bruch{1}{2}x)
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Mi 16.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> u=x u´=1
> [mm]v'=sin(\bruch{1}{2}x) v=-2cos(\bruch{1}{2}x)[/mm]
>
> = x*-2cos [mm](\bruch{1}{2}x)[/mm] - [mm]\integral 1*-2cos(\bruch{1}{2}x)[/mm]
> dx
> = x*-2cos [mm](\bruch{1}{2}x)[/mm] - ( -4sin [mm](\bruch{1}{2}x))[/mm]
> = [mm]-2x*cos(\bruch{1}{2}x)+[/mm] 4sin [mm](\bruch{1}{2}x)[/mm]
Jetzt passts.
FRED
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