Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgendem beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
und zwar hab ich da eigentich nicht viel plan weil ich nicht so richtig weiß wie ich es angehen soll/muss. vl könnte mir ja jemand nen tipp geben, wie ist das bei den grenzen, muss ich die irgendwie umformen, weil bei den anderen 2 integralen hab ich ja keine grenze?
danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
> hallo!
>
> hätte ne frage zu folgendem beispiel:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> und zwar hab ich da eigentich nicht viel plan weil ich
> nicht so richtig weiß wie ich es angehen soll/muss. vl
> könnte mir ja jemand nen tipp geben, wie ist das bei den
> grenzen, muss ich die irgendwie umformen, weil bei den
> anderen 2 integralen hab ich ja keine grenze?
Als äusseres Integral nimmst Du also sicher [mm] $\int_0^5\ldots \; [/mm] dz$. Für jedes konkrete [mm] $z_0$ [/mm] müssen dann die beiden inneren Integrale den Flächeninhalt der Schnittellipse [mm] $9x^2+49y^2=2z_0$ [/mm] des elliptischen Kegels [mm] $9x^2+49y^2=2z$ [/mm] mit der Fläche [mm] $z=z_0$ [/mm] liefern. Da der Flächeninhalt einer Ellipse mit den Halbachsen $a$ und $b$ gleich [mm] $\pi [/mm] a b$ ist und für die fragliche Schnittellipse also [mm] $a=\sqrt{\frac{2z_0}{9}}$, $b=\sqrt{\frac{2z_0}{49}}$ [/mm] gilt, könnte man die Berechnung ihres Flächeninhalts auch ganz ohne Integration erledigen.
Aber natürlich kannst Du - und sollst Du vermutlich - den Flächeninhalt der Schnittellipse mittels Integration bestimmen.
|
|
|
| |
|
Hallo Dagobert,
Danke Somebody für die Beschreibung von B !
Um die Integration durchführen zu können, muss
man sich wohl wirklich zuerst um die geometrische
Form des Integrationsbereiches kümmern. Somebody
hat dies getan. Allerdings geht es nachher nicht um
die Flächeninhalte der Schnittellipsen und nicht um
das Volumen des elliptischen Kegels, sondern (in
einer etwas ungewohnten physikalischen Analogie)
um eine "Massenberechnung" des Kegels, der inhomo-
gen mit Masse belegt ist, wobei die lokale Dichte [mm] \rho
[/mm]
gegeben ist durch den Integranden:
[mm] \rho(x,y)=6x^2-10*x*y-4*y^2
[/mm]
Das äusserste Integral ist das über z und muss von
z=0 bis z=5 laufen (von der Kegelspitze zu dessen
Grundfläche) - siehe bei Somebody.
Nehmen wir als mittlere Integration jene über y
(wie durch die Reihenfolge der Differentiale angedeutet),
so sollte diese die ganze Schnittellipse auf dem
Niveau z durchqueren. Das erreichen wir, wenn wir
y von -b bis b laufen lassen - mit [mm] b=\bruch{\wurzel{2*z}}{7}.
[/mm]
Schliesslich muss x jeweils die Sehne der Ellipse durchlaufen,
mit den vorgegebenen Werten von z und y, und von
x=-f(y,z) bis x=+f(y,z), wobei [mm] f(y,z)=\bruch{1}{3}*\wurzel{2*z-49*y^2}
[/mm]
Nun, das sieht dann noch nach einem ganzen Stück
Arbeit mit dem Integrieren aus...
LG al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Dagobert,
>
> Danke Somebody für die Beschreibung von B !
>
> Um die Integration durchführen zu können, muss
> man sich wohl wirklich zuerst um die geometrische
> Form des Integrationsbereiches kümmern. Somebody
> hat dies getan. Allerdings geht es nachher nicht um
> die Flächeninhalte der Schnittellipsen und nicht um
> das Volumen des elliptischen Kegels, sondern (in
> einer etwas ungewohnten physikalischen Analogie)
> um eine "Massenberechnung" des Kegels, der inhomo-
> gen mit Masse belegt ist, wobei die lokale Dichte [mm]\rho[/mm]
> gegeben ist durch den Integranden:
>
> [mm]\rho(x,y)=6x^2-10*x*y-4*y^2[/mm]
Vielen Dank für die Korrektur: offenbar war ich noch nicht ganz wach, als ich meine Antwort schrieb.
>
> Das äusserste Integral ist das über z und muss von
> z=0 bis z=5 laufen (von der Kegelspitze zu dessen
> Grundfläche) - siehe bei Somebody.
>
> Nehmen wir als mittlere Integration jene über y
> (wie durch die Reihenfolge der Differentiale angedeutet),
> so sollte diese die ganze Schnittellipse auf dem
> Niveau z durchqueren. Das erreichen wir, wenn wir
> y von -b bis b laufen lassen - mit
> [mm]b=\bruch{\wurzel{2*z}}{7}.[/mm]
>
> Schliesslich muss x jeweils die Sehne der Ellipse
> durchlaufen,
> mit den vorgegebenen Werten von z und y, und von
> x=-f(y,z) bis x=+f(y,z), wobei
> [mm]f(y,z)=\bruch{1}{3}*\wurzel{2*z-49*y^2}[/mm]
>
> Nun, das sieht dann noch nach einem ganzen Stück
> Arbeit mit dem Integrieren aus...
Ich denke, mit der Koordinatentransformation [mm] $x=\frac{r}{3}\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=\frac{r}{7}\sin(\varphi)$, [/mm] bei der sich das Flächenelement [mm] $dx\;dy$ [/mm] zum Flächenelement [mm] $\frac{1}{3\cdot 7}\cdot r\;d\varphi\; [/mm] dr$ transformiert, sollte sich das Gesamtintegral auf erträgliche Weise berechnen lassen. Für das innere Integral bezüglich [mm] $d\varphi$ [/mm] variiert, bei dieser Wahl der Koordinatentransformation, [mm] $\varphi$ [/mm] von $0$ bis [mm] $2\pi$ [/mm] und für das mittlere Integral bezüglich $dr$ variiert $r$ von $0$ bis [mm] $\sqrt{2z}$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Somebody, hallo Dagobert
Vielleicht darf man hier noch diese Frage stellen:
soll (muss) das Integral "von Hand" berechnet werden
oder ging es um die Vorbereitung der Integration, die
dann z.B. mit MatLab durchgeführt werden soll ?
(im ersten Fall sieht das doch wieder mal ein wenig
nach "Arschleder" aus...)
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
also muss ich zuerst mal so integrieren:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{2*r*cos^2\varphi\ - 10*r^2*sin\varphi\*cos\varphi\ - 4/7*r*sin^2\varphi\ \frac{1}{3}\cdot r\;d\varphi\ }
[/mm]
oder?
danke
ps: ja sollte eigentlich per hand gerechnet werden, aber was sich dabei gedacht wurde weiß ich auch nicht.
|
|
|
| |
|
> hallo!
>
> also muss ich zuerst mal so integrieren:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{2*r*cos^2\varphi\ - 10*r^2*sin\varphi\*cos\varphi\ - 4/7*r*sin^2\varphi\ \frac{1}{3}\cdot r\;d\varphi\ }[/mm]
>
> oder?
Ich kann nicht nachvollziehen, wie Du auf diesen Integranden gekommen bist. Ich hatte ja behauptet, dass [mm] $dx\; dy=\frac{1}{21}r\;d\varphi\; [/mm] dr$ sei, falls man [mm] $x=\frac{r}{3}\cos(\varphi)$ [/mm] und [mm] $y=\frac{r}{7}\sin(\varphi)$ [/mm] einsetzt.
Wie bist Du, bei dieser Substitution, etwa von [mm] $6x^2$ [/mm] auf [mm] $2r\cos^2(\varphi)$ [/mm] gekommen? Man erhält doch erst einmal [mm] $6\cdot\left(\frac{r}{3}\cos(\varphi)\right)^2=\frac{2r^2}{3}\cos^2(\varphi)$ [/mm] usw.
Und was dieses [mm] $\frac{1}{3}r\; d\varphi$ [/mm] am Ende soll, ist mir auch nicht klar: es ist, wie gesagt, nicht offensichtlich, wie dies mit dem von mir vorgeschlagenen Flächenelement [mm] $\frac{1}{21}r\;d\varphi\; [/mm] dr$ zusammenhängt.
Aber im Prinzip wird für das innere Integral bezüglich [mm] $\varphi$ [/mm] ein Integrand dieses Typs herauskommen. Der Term mit [mm] $\sin(\varphi)\cos(\varphi)$ [/mm] wird bei Integration über eine ganze Perdiode herausfallen. Integrale von [mm] $\sin^2(\varphi)$ [/mm] und [mm] $\cos^2(\varphi)$ [/mm] sind auch keine allzu schweren Brocken. Am Ende sollte, nach Auswertung des inneren Integrals, jedenfalls ein simples Polynom in $r$ dastehen. Die Integrale nach $r$ und $z$ sind dann auch keine unüberwindbaren Hürden mehr.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
muss ich dann zuerst so integrieren:
[mm] \integral_{-(\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{2\cdot{}z-49\cdot{}y^2})}^{\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{2\cdot{}z-49\cdot{}y^2}}{6x^2-10\cdot{}x\cdot{}y-4\cdot{}y^2 dx}
[/mm]
?
und das ergebnis dann mit den y-grenzen nach dy oder?
danke!
|
|
|
| |
|
> hallo!
>
> muss ich dann zuerst so integrieren:
>
> [mm]\integral_{-(\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{2\cdot{}z-49\cdot{}y^2})}^{\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{2\cdot{}z-49\cdot{}y^2}}{6x^2-10\cdot{}x\cdot{}y-4\cdot{}y^2 dx}[/mm]
>
> ?
> und das ergebnis dann mit den y-grenzen nach dy oder?
>
> danke!
hallo Dagobert,
wie geahnt, wird das jedenfalls eine ziemlich fürchterliche
Rechnerei. Die erste Integration (innerstes Integral) ist
hier die nach x, also die Werte [mm] (\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{2\cdot{}z-49\cdot{}y^2})
[/mm]
bzw. [mm] -(\bruch{1}{3}\cdot{}\wurzel{2\cdot{}z-49\cdot{}y^2}) [/mm] müssten
für das x in der Stammfunktion eingesetzt werden
Mir sind aber gewisse Zweifel gekommen:
a) ob diese Aufgabe wirklich als "Handrechnung" gedacht ist
oder z.B. mittels MatLab integriert werden soll (siehe meine Mittlg)
b) ob es doch nicht einen geschickteren Weg gibt, z.B. wie
von Somebody vorgeschlagen
LG
|
|
|
|
