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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Di 29.03.2005 | | Autor: | peb |
Hallo zusammen,
Vorab eine Vorbemerkung: Ich bin jetzt über 20 Jahre raus aus dem Thema und habe ein kleines Problem mit einer Barwertbestimmung mittels Integral.
Ich versuch's mal:
Aufgabe:
Ein Mitarbeiter erhält eine Jahresvergütung von 30.000 (t0). Ab dem nächsten Jahresanfang (t1) wird diese Vergütung um 25% auf 22.500 gesenkt.
Frage:
Wie hoch muß eine Ausgleichszahlung sein (Einmalbetrag zum Zeitpunkt t1), die die Reduzierung über einen Zeitraum von 5 bzw. 10 Jahres ausgleicht?
Prämissen hierzu:
Die Vergütungen (alt und neu) steigen jährlich um 4%
Der Barwert ist mit 6% zu bilden.
Mittels Tabellenkalkulation habe ich in mehreren Spalten einen Barwert für drei Jahre in Höhe von 22.078,14 ermittelt (Verlängerung auf 5 oder 10 Jahre ist natürlich kein Problem).
fiktiv_____IST_____Delta_____Barwert
30000___22500___7500_____7500
31200___23400___7800_____7358,49
32448___24336___8112_____7219,65
Die Lösung ist aber sehr "unelegant" und nicht wirklich flexibel. Es geht auch (irgendwie) mit einem Integral.
Die Funktion müsste dabei ungefähr lauten:
Summe für n = 1 bis 5 aus
((x-3/4x) * [mm] 1,04^n) [/mm] / [mm] 1,06^n
[/mm]
Kann mit jemand bei der Lösung helfen.
Danke
peb
P.S.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Di 29.03.2005 | | Autor: | leduart |
> Hallo zusammen,
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> Vorab eine Vorbemerkung: Ich bin jetzt über 20 Jahre raus
> aus dem Thema und habe ein kleines Problem mit einer
> Barwertbestimmung mittels Integral.
>
> Ich versuch's mal:
>
> Aufgabe:
> Ein Mitarbeiter erhält eine Jahresvergütung von 30.000
> (t0). Ab dem nächsten Jahresanfang (t1) wird diese
> Vergütung um 25% auf 22.500 gesenkt.
> Frage:
> Wie hoch muß eine Ausgleichszahlung sein (Einmalbetrag zum
> Zeitpunkt t1), die die Reduzierung über einen Zeitraum von
> 5 bzw. 10 Jahres ausgleicht?
> Prämissen hierzu:
> Die Vergütungen (alt und neu) steigen jährlich um 4%
> Der Barwert ist mit 6% zu bilden.
>
> Mittels Tabellenkalkulation habe ich in mehreren Spalten
> einen Barwert für drei Jahre in Höhe von 22.078,14
> ermittelt (Verlängerung auf 5 oder 10 Jahre ist natürlich
> kein Problem).
>
> fiktiv_____IST_____Delta_____Barwert
> 30000___22500___7500_____7500
> 31200___23400___7800_____7358,49
> 32448___24336___8112_____7219,65
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> Die Lösung ist aber sehr "unelegant" und nicht wirklich
> flexibel. Es geht auch (irgendwie) mit einem Integral.
> Die Funktion müsste dabei ungefähr lauten:
>
> Summe für n = 1 bis 5 aus
> ((x-3/4x) * [mm]1,04^n)[/mm] / [mm]1,06^n[/mm]
>
> Kann mit jemand bei der Lösung helfen.
Hallo
Ich glaube ein Integral ist hier nicht die Lösung. Das könnte man nur anwenden, wenn das Problem beliebig kleine Zeitschritte verwendete. Aber es gibt einfache Summenformeln.
Summe voni= 0 bis i= n über [mm] A*q^{i} [/mm] ergibt A* [mm] \bruch{q^{n+1}-1}{q-1}
[/mm]
In deinem Fall also 7500* [mm] \bruch{1-(1.04/1.06)^{5}}{1-1.04/1.06}
[/mm]
Statt der benutzten Zahlen kannst du jede beliebige einsetzen.
Aber mir scheint deine Tabellenkalkulation nicht ganz richtig, oder ich habe die Fragestellung nicht verstanden:
1. Unklarheit Wann wird das Jahresgehalt bezahlt? Anfang oder Ende des Jahres oder in 12 Monatsraten? Davon hängt ab, ob der Barausgleich im 1. Jahr 7500 oder 7500/1.06 ist oder komplizierter bei Monatslohn.
Meine Rechnung wäre: Gesamtverlust V in n Jahren:
V=DeltaAnfang* [mm] \summe_{i=0}^{n-1}1.04^{i}
[/mm]
Gesamtsumme G durch den Barbetrag B nach n Jahren:
G=B [mm] *1.06^{n}. [/mm] Indem ich G=V setze bestimme ich B.
Ob bei G im Exponenten n oder n-1 steht, hängt vom gedachten Modell Gehalt am Anfang oder Ende des Jahres ab.
Damit erhalte ich B=Delta* [mm] \bruch{1.04^{n}-1}{0.04*1.06^{n}}
[/mm]
und nicht deine Formel. In deiner Formel wird jedes Jahr nur die 6% für das jeweilige Delta berücksichtigt, nicht die Verzinsung der gezahlten Gesamtbarsumme.
Ich hoff, ich hab das Problem richtig verstanden, sonst schreib zurück!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Mi 30.03.2005 | | Autor: | peb |
Hallo leduart,
du hast mich da auf ganz neue Gedanken gebracht. Natürlich wird das Gehalt in Monatsraten (12) und nicht als nachschüssiges Jahresgehalt gezahlt. D. h. auch im ersten Jahr ist mit Aufzinsungen (nur welchen) und mit Abzinsungen für den Barwert (nur welchen) zu arbeiten. Gibt es hierfür auch eine Lösung? Bin etwas ratlos.
Auf Basis Deiner Anmerkungen hab auch noch einen Nachtrag.
Im ersten Jahr ist die Jahresdifferenz 7.500. Eine Aufzinsung ist nicht notwendig, die Abzinsung hab ich mit 1,03 (Mittelwert aus 1,0 und 1,06) veranschlagt. Im zweiten Jahr beträgt die Nominal-Differenz dann 7.800, die Abzinsung dann 1,03 * 1,06^(n-1) usw.
Nach fünf Jahren ergibt das einen Barwert von 34.067. Bei Anwendung Deiner letztgenannten Formel (B=Delta * .....) erhalte ich 30.355.
Irgendwie hab ich wohl einen Knoten im Kopf. Jetzt weiß ich überhaupt nicht mehr weiter. Kannst Du mir bitte noch helfen?
Besten Dank schon mal bis hierhin
peb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:08 Do 31.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich schreib mal mein Modell auf.
1.Jahr Anfang Arbeitnehmer erhält den Barwert B (noch unbekannt. Amm Ende jedes Monats bekommt er sein Gehalt von 22500/12. also 7500/12=625 zu wenig. Ich rechne so, als ob er dieses fehlende Geld früher zu 6% angelegt hätte, Monatszins 6/12%=0,5%. Bis Ende des Jahres entgehen ihm also :
625*(11+10+9+.....+1)0,5%=625*66*0,5%=206,25 Zinsen und die 7500.
Das Unternehmen schuldet ihm also 7706,25. Da es Anfang des Jahres B zahlt muß B*1,06=7706,25
B=7270.05 bei einem Jahr
Im nächsten Jahr ist dasselbe, nur fehlen (Lohnerhöhung zu Beginn des Jahres) jetzt pro Monat 625*1,04=650 pro Monat also insgesamt wieder wie oben 206,25*1,04=214,5 und 7500*1.04=7800
Zusammen 8014,5
für die 2 Jahre also 15720,75 damit [mm] B*1.06^{2}=15720,75 [/mm] B=13991,41
und so weiter.
Scheint mein Modell einleuchtend? Wenn du nicht weiterkommst schreib wieder.
Hast du mal bei deiner Bank nachgefragt, ob es ein "offizielles" Modell gibt oder wofür brauchst du das?
Alles klar?
Es gibt hier auch ein Forum Uni Finanzmathematik, viilleicht weiss jemand noch mehr, wenn du die Frage da postest. Ich hab nur meinen normalen Verstand bemüht und versteh sonst nichts von "echter" Finanzmathe.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Do 31.03.2005 | | Autor: | peb |
Hallo leduart,
hast Du eine Nachtschicht gemacht?
Besten Dank für die Antwort. Ich werde mir Dein Modell gleich mal vornehmen und die Ergebnisse plausibilisieren.
Besten Dank für Deine bisherigen Ideen. Sollte ich nicht klar kommen dann melde ich mich noch einmal bzw. versuchs' in dem anderen Forum. Aber Deine jetzige Lösung sieht schon sehr gut aus.
peb
Nachtrag:
Ich hab's mal gerechnet und es erscheint mit immer noch nicht ganz richtig, da in Deinem Modell in dem zweiten Schritt auch der Wert des ersten Jahres noch einmal abgezinst wird. Ich werde mich mal in dem finanzmathematischen Forum umtun.
Dir aber noch mal besten Dank. Deine Anergungen / Idenn waren schon sehr hilfreich.
P.S. Um Deine Neugier zu befriedigen: Es geht um die Entwicklung eines Szeanarios, welches die Auswirkungen von Lohnkürzungen oder Arbeitszeitverlängerungen darstellt. Dazu möchte ich schon ziemlich genau Ergebnisse haben, damit mein Gesamtergebnis nicht verfälscht wird.
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