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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | i) Beweisen sie: Für alle k [mm] \in \IN [/mm] gilt:
(k+1) [mm] \integral{cos^{k+1} * x dx }= cos^{k} [/mm] *xsinx + k* [mm] \integral{cos^{k-1} *x dx}
[/mm]
ii) Zeigen sie: Für alle n [mm] \in \IN_{0} [/mm] gilt:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n} * x dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}*\produkt_{j=1}^{n} \bruch{2j-1}{2j} [/mm] und
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n+1} * x dx} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n} \bruch{2j}{2j+1} [/mm] |
Hallo,
ich habe zu der i) einen Ansatz aber keine Ahnung ob der stimmt:
(k+1) [mm] \integral {cos^{k+1} * x dx} [/mm] = (k+1) [mm] ((xsinx)-\integral{cos^{k+1} x dx}) [/mm] = k(xsinx) - k [mm] \integral{cos^{k+1} x dx} [/mm] + xsinx - [mm] \integral{cos^{k+1} x dx}= [/mm] kxsinx + xsinx + k [mm] \integral{cos^{k-1} x dx}
[/mm]
Jetzt weiß ich hier nicht wie ich das [mm] cos^{k} [/mm] hinbekomme??
Bei der ii) find ich überhaupt keinen Ansatz da ich mich mit dem Produnktzeichen nicht wirklich zurechtfinde, kann mir bitte jemand helfen??
Danke im Vorraus.
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo ulla!
Verwende hier partielle Integration für:
[mm] $$\cos^{k+1}(x) [/mm] \ = \ [mm] \cos(x)*\cos^k(x)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
Hallo, danke für deine Antwort:
Also ich hätte dann:
(k+1) [mm] \integral{cosx * cos^{k}x dx} [/mm] = (k+1) [mm] ((sinx*cos^{k})- \integral{cosx*cos^{k}x dx}) [/mm] = [mm] ksinxcos^{k}x- [/mm] k [mm] \integral{cosxcos^{k}x }+ sinxcos^{k}x [/mm] - [mm] \integral{cosxcos^{k}x dx} [/mm] = [mm] ksinxcos^{k}x [/mm] + [mm] sinxcos^{k}x [/mm] + k [mm] \integral{cos^{k-1} x dx}
[/mm]
Jetzt hänge ich schon wieder weil ich den rest nicht hinbekomm. Gibt es da einen Trick oder mach ich schon vorher was falsch??
Danke
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Hallo!
Du wendest meiner Meinung nach die partielle Integration nicht richtig an!
[mm] $(k+1)*\integral{\cos^{k+1}(x) dx}$
[/mm]
$ = [mm] (k+1)*\integral{\cos^{k}(x)*\cos(x) dx}$
[/mm]
$ = [mm] (k+1)*\left(\cos^{k}(x)*\sin(x) + \integral{k*\cos^{k-1}(x)*\sin^{2}(x) dx}\right)$
[/mm]
$ = [mm] \cos^{k}(x)*\sin(x) [/mm] + [mm] k*\left(\cos^{k}(x)*\sin(x) + (k+1)*\integral{\cos^{k-1}(x)*\sin^{2}(x) dx}\right)$
[/mm]
Du musst nun noch zeigen, dass das, was in der großen rechten Klammer steht, gerade
[mm] \integral{\cos^{k-1}(x) dx}
[/mm]
ist. Du könntest dazu zunächst probieren, [mm] \integral{\cos^{k-1}(x) dx} [/mm] wieder entsprechend partiell zu integrieren.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
Danke für die Antwort ich weiß jetzt auch was ich falsch gemacht habe!
Wenn ich nun die letzte Klammer partiell Integriere:
[mm] cos^{k}sinx+(k+1) \integral{cos^{k-1}x * sin^{2}x dx} [/mm] = [mm] cos^{k}sinx+(k+1) [/mm] ( [mm] \bruch{1}{k} x^{k} [/mm] sinx [mm] sin^{2}x [/mm] - [mm] \integral{2xcosx * \bruch{1}{k} x^{k}sinx})
[/mm]
Das erscheint mir nicht richtig aber was anderes bekomm ich nicht hin, vorallem komm ich so nicht auf das gewünschte Ergebnis. Kannst du mir da nochmal bitte helfen??
Danke
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Ich meinte nicht, dass du in der Klammer nochmal partiell integrieren sollst. Mir ist auch noch ein besserer Lösungsweg eingefallen:
$(k+1)*\integral{\cos^{k+1}(x) dx}$
$ = (k+1)*\cos^{k}(x)*\sin(x) + k*(k+1)*\integral{\cos^{k-1}(x)*\sin^{2}(x) dx}\right)$
(vorletzter Schritt aus dem vorherigen Post) und nun mit $\sin^{2}(x) = 1-\cos^{2}(x)$:
$ = (k+1)*\cos^{k}(x)*\sin(x) + k*(k+1)*\integral{\cos^{k-1}(x) - \cos^{k+1}(x) dx}\right)$
Nun mach folgendes: Addiere auf beiden Seiten der Gleichung den Term
k*(k+1)*\integral{\cos^{k+1}(x) dx}
und dividiere danach die ganze Gleichung durch (k+1). Was erhältst du 
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
Danke, ich glaub jetz hab ich es ??
Also :
(k+1) [mm] \integral{cos^{k+1} x dx }= cos^{k} [/mm] sinx + k [mm] \integral{cos^{k-1} x - cos^{k+1}x dx} [/mm] + k [mm] \integral{cos^{k+1} x dx} [/mm] = [mm] cos^{k} [/mm] x sinx + k [mm] \integral{cos^{k-1}x}
[/mm]
Stimmt das so??
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Hallo!
> Also :
> (k+1) [mm]\integral{cos^{k+1} x dx }= cos^{k}[/mm] sinx + k
> [mm]\integral{cos^{k-1} x - cos^{k+1}x dx}[/mm] + k
> [mm]\integral{cos^{k+1} x dx}[/mm] = [mm]cos^{k}[/mm] x sinx + k
> [mm]\integral{cos^{k-1}x}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Stimmt das so??
Ich denke, du hast es richtig gemacht .
Ausgehend von meiner letzen Gleichung
$(k+1)*\integral{\cos^{k+1}(x) dx} = (k+1)*\cos^{k}(x)*\sin(x) + k*(k+1)*\integral{\cos^{k-1}(x) - \cos^{k+1}(x) dx}\right)$
sollte man es formal so aufschreiben:
$\gdw \integral{\cos^{k+1}(x) dx} = \cos^{k}(x)*\sin(x) + k*\integral{\cos^{k-1}(x) - \cos^{k+1}(x) dx}$
$\gdw \integral{\cos^{k+1}(x) dx} + k*\integral{\cos^{k+1}(x) dx} = \cos^{k}(x)*\sin(x) + k*\integral{\cos^{k-1}(x) - \cos^{k+1}(x) dx}+ k*\integral{\cos^{k+1}(x) dx}$
$\gdw (k+1)*\integral{\cos^{k+1}(x) dx} = \cos^{k}(x)*\sin(x) + k*\integral{\cos^{k-1}(x) dx}$
Damit hat man also aus einer wahren Aussage die gewünschte Gleichung hergeleitet, und zwar durch Äquivalenzumformungen
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
Vielen Dank für deine Hilfe !!
Bis zum nächsten Mal!
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Hallo!
Zu ii): Das klappt wunderbar mit Induktion über n und i).
Sei n schon bewiesen, jetzt muss n+1 bewiesen werden:
[mm] $(2n+2)*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos^{2n+2}(x) dx} \overset{\mbox{i), wobei k = 2n+1}}{=} \underbrace{\left[\cos^{2n+1}(x)*\sin(x)\right]_{0}^{\bruch{\pi}{2}}}_{=0}+(2n+1)*\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos^{2n}(x)} \overset{\mbox{nach Induktionsvor.}}{=} \bruch{\pi}{2}*(2n+1)*\produkt_{j=1}^{n}\bruch{2j-1}{2j}$ [/mm]
Nun die gesamte Gleichung durch (2n+2) teilen ergibt:
[mm] $\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cos^{2n+2}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}*\bruch{(2n+2)-1}{2n+2}*\produkt_{j=1}^{n}\bruch{2j-1}{2j} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2}*\produkt_{j=1}^{n+1}\bruch{2j-1}{2j} [/mm] $
Die zweite bekommst du dann sicher mit Leichtigkeit hin.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:16 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
Ich hätte da noch eine Frage dazu, wo ist das [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] hin??
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Hallo!
> Ich hätte da noch eine Frage dazu, wo ist das
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] hin??
Du hast recht, das hatte ich schlicht und einfach vergessen. Das erhalten wir natürlich durch die Induktionsvoraussetzung einfach als Faktor mit dazu, ich habe es oben in meiner Antwort korrigiert.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
Also ich hätte dann nun:
(2n+3) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n+3} x dx} [/mm] = [i) wobei k=2n+2] [mm] [cos^{2n+2} [/mm] x sinx] + (2n+2) [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n+1} x} [/mm] = [I.V.] (2n+2) [mm] \produkt_{j=1}^{n} \bruch{2j}{2j+1} [/mm]
auf beiden seiten 2n+1 dividieren:
= [mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n+3} x dx} [/mm] = [mm] \bruch{2n+2}{2n+3} [/mm] * [mm] \produkt_{j=1}^{n} \bruch{2j}{2j+1} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} \bruch{2j}{2j+1}
[/mm]
Das wäre meine Lösung ist das so korrekt?
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Hallo!
> (2n+3) [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n+3} x dx}[/mm] =
> [i) wobei k=2n+2] [mm][cos^{2n+2}[/mm] x sinx] + (2n+2)
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n+1} x}[/mm] = [I.V.]
> (2n+2) [mm]\produkt_{j=1}^{n} \bruch{2j}{2j+1}[/mm]
> auf beiden seiten 2n+1 dividieren:
> = [mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2n+3} x dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2n+2}{2n+3}[/mm] * [mm]\produkt_{j=1}^{n} \bruch{2j}{2j+1}[/mm] =
> [mm]\produkt_{j=1}^{n+1} \bruch{2j}{2j+1}[/mm]
Genau so muss es gemacht werden ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Du dividierst aber da in der Mitte nicht durch 2n+1, sondern durch 2n+3.
Un eventuell könnte man noch ein wenig deutlicher zeigen, warum man das Produkt jetzt einfach umwandeln darf, z.B.:
[mm] $\bruch{2n+2}{2n+3} [/mm] = [mm] \bruch{2*(n+1)}{2*(n+1)+1}$
[/mm]
Aber das ist nur Kleinkram, das Prinzip ist richtig !
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Fr 05.06.2009 | | Autor: | ulla |
Sehr schön! Hier auch nochmal Danke für die HIlfe!
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