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Integral: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:34 Sa 20.06.2009
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
[mm] \integral{\frac{dx}{x^3+1}} [/mm]

Hallo!

Bei diesen Integral weiß ich nicht mehr weiter...Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?

Ich habe Partialbruchzerlegt und den Nenner in [mm] (x^2+x+1)(x-1) [/mm] aufgespalten. Das Intergrtal mit (x-1) ging so relativ schnell aber [mm] \integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}}??? [/mm] Alles schon versucht...
Versuchte z.B partielle Integration mit [mm] v=\frac{1}{ x^2+x+1} [/mm] und u'=-x+1und anschließende Substitution von [mm] x^2+x+1... [/mm]

Vielen Dank!

Gruß

Angelika



        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:53 Sa 20.06.2009
Autor: ullim

Hi,

versuchs mal mit folgendm Ansatz

[mm] \bruch{1}{x^3+1}=\bruch{A}{x+1}+\bruch{B+C*x}{x^2-x+1} [/mm]

weil die Nullstellen von [mm] x^3+1 [/mm] ja

-1, [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{i*\wurzel{3}}{2} [/mm] und [mm] \bruch{1}{2}-\bruch{i*\wurzel{3}}{2} [/mm] sind.

mfg ullim



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Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:46 Sa 20.06.2009
Autor: AbraxasRishi

Entschuldigung! Ich habe das Integral in der Aufgabenstellung falsch geschrieben. Es muss im Nenner [mm] x^3-1 [/mm] heißen. Dann stimmt meine Partialbruchzerlegung doch, aber ich komme eben beim angegeben Teilintegral nicht weiter...

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Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:08 Sa 20.06.2009
Autor: weightgainer

Du kannst auch dabei Ullims Hinweis benutzen:

x=1 ist einzige reelle Nullstelle, also ist [mm]x^3-1=(x-1)*(x^2+x+1)[/mm].

Die passende Partialbruchzerlegung musst du dann also wie von ihm beschrieben ansetzen:
$ [mm] \bruch{1}{x^3-1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{B+C\cdot{}x}{x^2+x+1} [/mm] $

Vielleicht weißt du ja selbst, wie es dann weitergeht... ansonsten:
- mit "Hauptnenner" multiplizieren (links steht dann 1, rechts viel Zeug mit [mm] x^2,x, [/mm] A,B,C)
- rechts sortieren nach [mm] x^2, [/mm] x und Zahlen
- Koeffizientenvergleich

Dann kannst du sozusagen 2 der 3 Teile des Integrals ohne weiteres bestimmen - und vielleicht siehst du für den letzten Teil, wie du substituieren kannst, ansonsten frag nochmal nach.

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Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Sa 20.06.2009
Autor: AbraxasRishi

Hallo und Danke erstmal!

Wie ich in meinem 1. Beitrag geschrieben habe, ist die Partialbruchzerlegung bereits gemacht und Schwierigkeiten ergeben sich nur mehr beim 2. Teilintegral [mm] \integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}. [/mm] Das erste Teilintegral habe ich bereits integriert: [mm] \frac{1}{3}ln|x-1|.Ich [/mm] weiß wirklichnicht wie ich beim 2. Teilintegral substituieren sollte...könntest du das bitte noch genauer erklären?

Gruß

Angelika

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Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:11 Sa 20.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Angelika,

> Hallo und Danke erstmal!
>  
> Wie ich in meinem 1. Beitrag geschrieben habe, ist die
> Partialbruchzerlegung bereits gemacht und Schwierigkeiten
> ergeben sich nur mehr beim 2. Teilintegral
> [mm]\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}.[/mm]

Das stimmt nicht ganz ...

> Das erste Teilintegral
> habe ich bereits integriert: [mm]\frac{1}{3}ln|x-1|.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[ok] Ich weiß

> wirklichnicht wie ich beim 2. Teilintegral substituieren
> sollte...könntest du das bitte noch genauer erklären?

Es bleibt nach der PBZ als 2tes Integral $-\frac{1}{3}\cdot{}\int{\frac{x+2}{x^2+x+1} \ dx}$ (ohne Gewähr ;-))

Das ist ja so ähnlich wie deines, also mal die Strategie ...

Zuerst mal erweitern mit \red{2}:

$...=-\frac{1}{3\cdot{}\red{2}}\cdot{}\int{\frac{\red{2}(x+2)}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{6}\cdot{}\int{\frac{2x+4}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{6}\cdot{}\int{\frac{2x+1+3}{x^2+x+1} \ dx}=-\frac{1}{6}\int{\frac{2x+1}{x^2+x+1} \ dx} \ - \ \frac{1}{6}\int{\frac{3}{x^2+x+1}$

Das erste ist nun ein logarithmisches Integral, das kennst du entweder oder substituierst den Nenner $u=u(x):=x^2+x+1$

Das hintere vereinfache noch zu $-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x^2+x+1} \ dx}$

quadratische Ergänzung im Nenner

$=-\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} \ dx}$

Du kennst sicher das Integral $\int{\frac{1}{1+t^2} \ dt}$ ...

Damit im Hinterkopf überlege dir eine Substitution ...


>  
> Gruß
>  
> Angelika


LG

schachuzipus

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Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Sa 20.06.2009
Autor: AbraxasRishi

Herrliche Strategie!!

Sowas hatte ich noch nie...Einen Trick mehr in der Kiste!

Nur verstehe ich nicht ganz wie du auf das 2. Integral kommst:

[mm] x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C [/mm]

Mache ich den Koeffizientenvergleich komme ich auf:

[mm] C=\frac{1}{3}=A [/mm]

[mm] B=-\frac{1}{3} [/mm]

So erhalte ich als Integral doch [mm] \frac{1}{3}\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}.. [/mm]

Gruß

Angelika


Bezug
                                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:52 Sa 20.06.2009
Autor: MathePower

Hallo AbraxasRishi,

> Herrliche Strategie!!
>  
> Sowas hatte ich noch nie...Einen Trick mehr in der Kiste!
>  
> Nur verstehe ich nicht ganz wie du auf das 2. Integral
> kommst:
>  
> [mm]x=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C[/mm]

>  
> Mache ich den Koeffizientenvergleich komme ich auf:
>  
> [mm]C=\frac{1}{3}=A[/mm]
>  
> [mm]B=-\frac{1}{3}[/mm]
>  
> So erhalte ich als Integral doch
> [mm]\frac{1}{3}\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}..[/mm]
>  


Der Ansatz lautet:

[mm]\bruch{1}{x^{3}-1}=\bruch{A}{x-1}+\bruch{Bx+C}{x^{2}+x+1}[/mm]

Daher auch

[mm]1=A*\left(x^{2}+x+1\right)+\left(Bx+C\right)*\left(x-1\right)[/mm]

Durch Koeffizientenvergleich erhält man dann A,B und C,
woraus sich wiederum das 2. Integral erschliesst.


> Gruß
>  
> Angelika


Gruß
MathePower  

Bezug
                                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Sa 20.06.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Angelika,

dein Ansatz für die PBZ ist schon in Ordnung, aber ...

> Herrliche Strategie!!
>  
> Sowas hatte ich noch nie...Einen Trick mehr in der Kiste!
>  
> Nur verstehe ich nicht ganz wie du auf das 2. Integral
> kommst:
>  
> [mm] $\red{x}=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C$ [/mm]

Wie kommst du hier auf das x linkerhand? Du hast doch das Integral [mm] $\int{\frac{dx}{x^3-1}}=\int{\frac{\red{1}}{x^3-1} \ dx}$ [/mm]

Also ergibt sich doch [mm] $\red{1}=A(x^2+x+1)+(Bx+C)(x-1)=x^2(A+B)+x(A-B+C)+A-C$ [/mm]

Damit

1) $A+B=0$

2) $A-B+C=0$

3) $A-C=1$

>  
> Mache ich den Koeffizientenvergleich komme ich auf:
>  
> [mm]C=\frac{1}{3}=A[/mm]
>  
> [mm]B=-\frac{1}{3}[/mm]
>  
> So erhalte ich als Integral doch
> [mm]\frac{1}{3}\integral{\frac{-x+1}{x^2+x+1}dx}..[/mm]
>  
> Gruß
>  
> Angelika
>  

LG

schachuzipus

Bezug
                                                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:15 So 21.06.2009
Autor: AbraxasRishi

Ihr werdert lachen....Das Integral lautet [mm] \integral{\frac{x}{x^3-1}dx} [/mm] aber mir ist es gelungen, es in der Aufgabenstellung ein 2. mal falsch abzuschreiben!!? Jedenfalls danke für eure Hilfe! Dein Ansatz funktioniert trotzdem.

Gruß

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