Integral < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Fry |
Hallo,
folgende Frage. Angenommen f ist eine messbare Funktion auf einem WRaum
[mm] (\Omega,\mathcal(A),P)
[/mm]
Wenn nun P ein diskretes W-Maß ist, wie berechne ich dann das Integral?
Bzw stimmt das dann folgendermaßen
[mm]\integral {f} dP = \sum_{w\in\Omega}f(w) P(\{w\})[/mm] ?
Bzw kann man das auch irgendwo nachlesen?
Gruß
Fry
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:50 Di 28.09.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo Fry,
> folgende Frage. Angenommen f ist eine messbare Funktion auf
> einem WRaum
> [mm](\Omega,\mathcal(A),P)[/mm]
> Wenn nun P ein diskretes W-Maß ist, wie berechne ich dann
> das Integral?
> Bzw stimmt das dann folgendermaßen
> [mm]\integral {f} dP = \sum_{w\in\Omega}f(w) P(\{w\})[/mm] ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") bzw. es stimmt nur, falls [mm]\{w\}\in\mathcal{A}[/mm], also falls [mm]\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)[/mm] (Potenzmenge), und [mm]\Omega[/mm] muss wohl abzählbar sein oder wenigstens [mm]P(\{\omega\})\not=0[/mm] für höchstens abzählbar viele [mm]\omega[/mm].
> Bzw kann man das auch irgendwo nachlesen?
Bei Google findet man bestimmt jetzt schon deine Frage 
In Büchern über Maß- und Integrationstheorie müsste deine Formel stehen, jedenfalls stehen ganz ähnliche im gleich lautenden Buch von Bauer. Oder vielleicht auch in Büchern über elementare W-rechnung, dort wird ja vor allem [mm] $\mathcal{A}=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] behandelt.
Beim Beweisen der Formel --wie eigentlich aller Zusammenhänge der Integrationstheorie, so mein Eindruck-- sollte man sich vorher klar machen, welche Beweistiefe man akzeptieren möchte, sonst verliert man vor lauter Elementarfunktionen etc. das Wesentliche aus den Augen.
Dass deine Formel stimmt, habe ich mir daher so überlegt:
(i) Bzgl. des Dirac-Maßes berechnet/vereinfacht sich das Integral ja folgendermaßen:
[mm]\int f\mathrm{d}\varepsilon_a=f(a)[/mm]
(ii) Ein diskretes W-Maß [mm]P[/mm] lässt sich darstellen als [mm]P=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n\varepsilon_{a_n}[/mm] mit [mm]\sum_{n=1}^\infty \alpha_n=1[/mm]. Falls nun [mm]\{a_n\}\in\mathcal{A}[/mm] folgt: [mm]P(\{a_n\})=\summe_{n=1}^\infty\alpha_n\varepsilon_{a_n}(\{a_n\})=\alpha_n[/mm]
(iii) Falls [mm]\mu=\sum_{n=1}^\infty \mu_n[/mm], dann gilt [mm]\int f\mathrm{d}\mu=\summe_{n=1}^\infty \int f\mathrm{d}\mu_n[/mm]
Alles zusammen ergibt:
(iv) [mm]\int f\mathrm{d}P=\summe_{n=1}^\infty \int f\alpha_n\mathrm{d}\varepsilon_{a_n}=\summe_{n=1}^\infty \alpha_n f(a_n)=\summe_{n=1}^\infty f(a_n) P(\{a_n\})[/mm]
-Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Do 30.09.2010 | | Autor: | Fry |
Hey Marc,
vielen Dank für deine Mühe,
hat mir sehr weiter geholfen.
Hab jetzt auch nochmal im Bauer nachgeschaut und gefunden.
LG
Christian
|
|
|
|
