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Hallo!!Also ich hätte eine Frage ob das stimmt!!
Berechne : [mm] \integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty} {\bruch{e^{-(x-y)²}}{1+(x+y)²} dx}
[/mm]
by integrating over the square -a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] a ; -a [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] a ;
und man soll den limes von a gegen unendlich nehmen!!
Tipp: setze u=x-y und v=x+y und ich weiß,dass
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-x²} dx}= \wurzel{\pi}
[/mm]
Also ich habe die Jakobi determinate berechnet und da kam 1/2 heraus!!
=>1/2* [mm] \integral_{-a}^{a} \integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-u²}/(1+v²) dx}=
[/mm]
= [mm] 1/2*\wurzel{\pi} \integral_{-a}^{a} {\bruch{1}{1+v²} dx}=
[/mm]
[mm] =\wurzel{\pi}*\pi/2
[/mm]
Ich habe angenommen dass der arctan(a) für a gegen unendlich gegen [mm] \pi/2 [/mm] konvergiert!!!
Stimmt diese rechnung???mfg daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Sa 04.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Daniel!
Generell sieht das ganz gut aus ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") , nur mit der Schreibweise geht einiges durcheinander.
> Berechne : [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} \integral_{-\infty}^{\infty} {\bruch{e^{-(x-y)²}}{1+(x+y)²} dx}[/mm]
>
> by integrating over the square -a [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] a ; -a [mm]\le[/mm] y
> [mm]\le[/mm] a ;
>
> und man soll den limes von a gegen unendlich nehmen!!
>
> Tipp: setze u=x-y und v=x+y und ich weiß,dass
Nennen wir diese Abbildung mal $T$, also:
$T(x,y)=(x-y,x+y)$,
und hier haben wir die Situation
[mm] $\int_Q [/mm] f(x,y)d(x,y) = [mm] \int_{T(Q)} f(T^{-1}(x,y)) \det(J_{T^{-1}}(x,y))\, [/mm] d(x,y)$.
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-x²} dx}= \wurzel{\pi}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ich habe die Jakobi determinate berechnet und da kam
> 1/2 heraus!!
Naja, es gilt:
[mm] $\det(J_T)=2$,
[/mm]
also:
[mm] $\det(J_{T^{-1}}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$.
[/mm]
Vermutlich meintest du das...
> =>1/2* [mm]\integral_{-a}^{a} \integral_{-\infty}^{\infty} {e^{-u²}/(1+v²) dx}=[/mm]
Der Integrationsbereich stimmt nicht!
Es muss heißen:
$= [mm] \frac{1}{2} \int\limits_{T([-a,a] \times [-a,a])} \frac{e^{-u^2}}{1+v^2} [/mm] d(u,v)$.
Und wenn man jetzt $a$ gegen [mm] $+\infty$ [/mm] streben lässt, erhält man:
[mm] $\frac{1}{2} \int\limits_{- \infty}^{\infty} \int\limits_{- \infty}^{\infty} \frac{e^{-u^2}}{1+v^2} \, du\, [/mm] dv$,
und kann ab da so weiterrechnen wie du es gemacht hast.
Ich denke dein Endergebnis stimmt! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 So 05.06.2005 | | Autor: | nitro1185 |
Danke.Ich habe mir schon mit der notation sorgen gemacht  !!!Gut zu wissen Danke
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