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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 26.01.2012 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Ich möchte folgendes berechnen:
[mm] \integral{\bruch{1}{xlogx}dx} [/mm] |
Jetzt gibt es doch die Formel: [mm] \integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}= [/mm] log(f(x))
nach dieser Formel ergibt sich für das Integral: log(log(x))+C
Wenn ich das Integral aber nach partieller Integration berechnen habe ich folgendes:
[mm] ln(x)\bruch{1}{lnx}-\integral{lnx \bruch{1}{x(lnx)^2}dx}= [/mm] 1- [mm] \integral{\bruch{1}{xlnx} dx}
[/mm]
und dann bekomme ich für das Integral 1/2 raus...
wo ist mein Fehler??
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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Hallo,
deine erste Version ist die richtige. Sie basiert übrigens auf der Substitution z=f(x) (falls dir diese Methode vertraut ist).
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Fr 27.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Ich möchte folgendes berechnen:
> [mm]\integral{\bruch{1}{xlogx}dx}[/mm]
> Jetzt gibt es doch die Formel:
> [mm]\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)}dx}=[/mm] log(f(x))
>
> nach dieser Formel ergibt sich für das Integral:
> log(log(x))+C
>
> Wenn ich das Integral aber nach partieller Integration
> berechnen habe ich folgendes:
> [mm]ln(x)\bruch{1}{lnx}-\integral{lnx \bruch{1}{x(lnx)^2}dx}=[/mm]
> 1- [mm]\integral{\bruch{1}{xlnx} dx}[/mm]
> und dann bekomme ich für
> das Integral 1/2 raus...
> wo ist mein Fehler??
Du hast einen Vorzeichenfehler. Richtig lautet es:
$ [mm] \integral{\bruch{1}{xlogx}dx} [/mm] = 1+ [mm] \integral{\bruch{1}{xlogx}dx} [/mm] $
Jetzt wirst Du sagen: "das ist aber einen komische Gleichung". Ist sie wirklich komisch ?
Bedenke eine Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante eindeitig bestimmt !
Fazit: mit partieller Integration kannst Du bei obiger Funktion keinen Blumentopf gewinnen.
FRED
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 27.01.2012 | | Autor: | sissenge |
Leider verstehe ich nicht, was du mit der additiven KOnstante meinst...
Kannst du mir das vielleicht nochmal genauer erklären??
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Hallo,
FRED meinte wohl im wesentliche folgndes: bei dem Versuch, das Integal durch partielle Integration zu berechnen, ist dir ein Fehler unterlaufen.
Es is zwar pinzipiell in einem solchen Fal wichtig, auf Fehler hinzuweisen, darum tat es FRED auch. Gleichzeitig hat er aber versucht, dir die Sinnlosigkeit deines Unterfangens verständlich zu machen: dieses Integral kann man nicht mit partieller Integration lösen, sondern man löst es durch Substitution, so wie es in deinem ersten Vorschlag ja auch geschehen ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 So 29.01.2012 | | Autor: | sissenge |
Aber woher weiß ich, dass ich es nicht mit partieller Integration lösen kann....
Es funktioniert doch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 29.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
> Aber woher weiß ich, dass ich es nicht mit partieller
> Integration lösen kann....
> Es funktioniert doch...
Leider nein, denn du hast die Partielle Integration falsch angewandt:
Du hast:
[mm] \integral\bruch{1}{x\cdot\ln(x)}dx [/mm]
[mm] \integral\bruch{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln(x)}dx [/mm]
Nun gäbe es hier ja genau zwei Möglichkeiten u und v' zu definieren.
Entweder:
[mm] \int\underbrace{\frac{1}{x}}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{v'}dx [/mm]
Hier kannst du aber v nicht bestimmen.
Alternativ:
[mm] \int\underbrace{\frac{1}{x}}_{v'}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{u}dx [/mm]
[mm] =[\underbrace{\ln(x)}_{v}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{u}]-\int\underbrace{\ln(x)}_{v}\cdot\underbrace{(-\frac{1}{x\cdot\ln^{2}(x)})}_{u'}dx [/mm]
[mm] =1+\int\frac{1}{x\cdot\ln(x)}dx [/mm]
Also:
[mm] \int\frac{1}{x\cdot\ln(x)}dx=1+\int\frac{1}{x\cdot\ln(x)}dx
[/mm]
Auf beiden Seiten das Integral subtrahiert, ergibt nun die Falschaussage 0=1.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:04 Mo 30.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Aber woher weiß ich, dass ich es nicht mit partieller
> > Integration lösen kann....
> > Es funktioniert doch...
>
> Leider nein, denn du hast die Partielle Integration falsch
> angewandt:
>
> Du hast:
>
> [mm]\integral\bruch{1}{x\cdot\ln(x)}dx[/mm]
> [mm]\integral\bruch{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln(x)}dx[/mm]
>
> Nun gäbe es hier ja genau zwei Möglichkeiten u und v' zu
> definieren.
>
> Entweder:
>
> [mm]\int\underbrace{\frac{1}{x}}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{v'}dx[/mm]
>
> Hier kannst du aber v nicht bestimmen.
>
> Alternativ:
>
> [mm]\int\underbrace{\frac{1}{x}}_{v'}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{u}dx[/mm]
>
> [mm]=[\underbrace{\ln(x)}_{v}\cdot\underbrace{\frac{1}{\ln(x)}}_{u}]-\int\underbrace{\ln(x)}_{v}\cdot\underbrace{(-\frac{1}{x\cdot\ln^{2}(x)})}_{u'}dx[/mm]
> [mm]=1+\int\frac{1}{x\cdot\ln(x)}dx[/mm]
>
> Also:
>
> [mm]\int\frac{1}{x\cdot\ln(x)}dx=1+\int\frac{1}{x\cdot\ln(x)}dx[/mm]
>
> Auf beiden Seiten das Integral subtrahiert, ergibt nun die
> Falschaussage 0=1.
Da muß ich widersprechen ! Da steht keine Falschaussage ! Eine Stammfunktion ist nur bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt. Ist F eine Stammfunktion von [mm] \frac{1}{x\cdot\ln(x)}, [/mm] so steht oben nur, dass auch 1+F eine Stammfunktion von [mm] \frac{1}{x\cdot\ln(x)} [/mm] ist.
FRED
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> Marius
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